高三如何惡補數學？

2022-03-25知識

我發現一個很嚴重的事兒？
99%的同學都很樂於去做些那擅長的學科，
於是就會一直去做，最終一直只會擅長的那些事。
做得越多，就越擅長。
這樣一個閉合迴圈如同吸d一樣，我們深深為之吸引，因為我們的快樂和自信都來源於它。
很多同學喜歡做套卷，因為套卷裏面有難題，也有簡單的題目，有順暢的題目，有卡殼的題目，這樣悲喜交加，使得內心快感十足。
比如對於立體幾何這道題型，屬於中檔題目，
對於只有4，50分的同學，碰都不敢碰，聞之色變。
所以每次只會4，5道選擇，大題頂多做對第一問，做對了就很滿足。
它會讓我們產生一個誤區，讓我們相信我們擅長的事就是最有價值、最值得投入時間的。
所以弱科一直弱，優科一直優。
但是和提分沒半毛錢關系。
久而久之，做那些擅長的科目占據了我們絕大部份的時間，
使我們無暇顧及其他更有意義、更有價值的事情。
因為每天做的就是那4，50分的事兒，那你要如何提分呢？
我們就這樣被自身的優勢和最擅長的技能禁錮住了。
這裏我要放絕招了。
另外贊過50000，現在已經49380，分享一個超級學習方法！用了這個方法，我親內建了一個文科學生數學44分提到118分，總分從370分提到593分，僅僅花了2個多月，無圖無真相！

以下是原文

——————醜陋的我——————-
首先，給你補補腦。
我們要考數學，是不是首先要知道他考什麽？出什麽題？哪些經常出，哪些不出？
對嗎？俗話說：知己知彼，百戰不殆。
當我們拿到一份卷子，要知道這滿分150分的卷子，基礎70%，中等20%，難題10%。
那你要惡補數學，是不是要了解自己？心裏沒點13數，怎麽提高？
把自己最近5次考試成績的平均數，看作是自己的真實水平。
得出結果，對比下方2個範圍，
一、<90分——基礎太弱（畢竟基礎占比70%）
二、能穩定90-105分以上——重視方法與技巧的提升。
Sooooooo,你在什麽範圍？
——————醜陋的我——————-
一、<90分——基礎太弱（畢竟基礎占比70%）
怎麽搞？這也是最重要的，當然是惡補基礎啊！
很多人會說：你這不廢話嗎，TM誰不知道補基礎？關鍵是怎麽補！
數學很特殊，它的條理脈絡非常清晰，
復習的時候，順著脈絡，是很容易抓住整個主幹。
而且考試題型很明確，看看近幾年的文理高考試卷的考點分析就會明白。
首先是理科數學2016-2018（3年全國123卷的考點分析）

然後是文科數學2016-2018（3年全國123卷的考點分析）

然後2019年的題，我分析有以下幾個點。
1.基礎是學習數學的根本
除了全面考查考生的知識掌握程度。
還會考查考生運用知識去分析問題和解決問題的能力，
不僅僅考基礎，更測試了學生對於知識點的運用。
2.重基礎但又不缺趣味性，貼近生活。
理科Ⅲ卷第3題中，題目以學生閱讀「四大名著」的調查數據為知識背景進行設計，考查的就是基礎內容，同時又結合實際生活問題。
文科Ⅱ卷第5題中，以「一帶一路」相關知識為知識背景，讓考生認識到數學知識與社會經濟發展的關系。
文、理科Ⅰ卷第4題中，題目以著名的雕塑「斷臂維納斯」為知識背景，認識到數學美是數學不可缺少的一部份，也是認識美的重要工具。

基礎一定是圍繞著【考試大綱】和【考試說明】這兩本書，
幫助大家全面學習掌握基礎知識和重點內容。
所以具體怎麽做呢？做到以下5點，基本就能90+

抓重點

透過上面的分析，可以知道，惡補數學是需要重點的。
自己哪歷奇礎差，哪裏薄弱，重點搞就行了。
而且高三的課只有兩種形式：復習課和評講課，
要能檢測出知道什麽，哪些還不知道，哪些還不會，
因此在復習課之前一定要有自已的思考，聽課的目的就明確了。
在老師講之前，應該先做和預習一遍，找到不足，聽課重點突破。
在這裏，可能很多人會問：怎麽找重點？（劃重點了哈）
拿著自己過往的數學試卷，分析自己哪塊知識學得不好，那就重點突破。
比如三角函數錯誤率很高，OK那就接下來一周，全身心投入，
那就重點突破三角函數的公式。怎麽搞公式呢？別急，下方我會總結送出。
當然結合課本，以及課本後面例題。做到吐！
一定不要貪多，先把課本上的例題，做到吐，
習題做什麽？
OK，就把高考題上的三角函數部份拿來反復重復練習。
切記不太貪多，保證會的，一定要全對。
最後，看一組試卷內容及分配比例：
(1)集合、簡易邏輯10分
(2)數列19分
(3)三角函數19分
(4)立體幾何18分
(5)圓錐曲線18分
(6)概率與統計18分
(7)導數18分
(8)演算法5分
(9)線性規劃5分
(10)不等式5分
(11)向量5分
(12)復數5分
(13)三檢視5分
看完這13個點，你是不是心裏就有數了，結合自己，
重心在哪裏，是不是一定要放在分值最高的幾個核心點；
(2)數列19分，(3)三角函數19分，(4)立體幾何18分，(5)圓錐曲線18分，(6)概率與統計18分，(7)導數18分，
如果這幾點，你都不能掌握，肯定分數上不去。

看課本

剛開始一定要老老實實的從課本開始，不要求快，
要復習一個章節，掌握一個章節。
具體的方法是，先看公式、理解、記熟。另外我這裏整理了高中公式大全
如下圖

暫時放這些。

重習題

不懂就問，保證課本例題都會做，
先做教科書上的例題和習題，當你能把教科書上的多數題目解出來的時候，
去做復習資料上常規難度的題目，基本上就知道如何下手了。
把教材上的每一個例題、習題再做一遍，
然後再翻課本看公式定理是怎麽推導的，尤其是過程和套用案例。
特別註意這些知識點為什麽產生的。
切記：數學後面的例題，一定要做到吐為止。

重錯題

這裏說的「錯」，是指把平時做作業中的錯誤收集起來。
首先分好類，盡量每一個分類，有一個筆記本。
錯題分3類：
1、沒思路，不知從哪裏開始。
2、有點思路，做不完。
3、會做，粗心大意錯誤算錯。
查漏補缺的過程就是反思的過程。
除了把不同的問題弄懂以外，還要學會「舉一反三」，及時歸納總結。
等到最後2，3輪復習，你就會知道錯題是有多麽重要。記住嘍
錯題最後，一定是單獨自己能做出來，不用思考就能做出來那種。
盡量形成慣性思維。
除了第三種粗心大意的情況，剩余的都應該好好做筆記總結，
務必記下自己當時是卡在哪個地方，由於什麽導致沒做出來。
這比抄完錯題記個答案步驟效果強多了。

重檢查

最後針對<90分的同學最重要的一點。
會的必須全對。
會的必須全對。
會的必須全對。
重要的事情說3遍。為何要說這句話？
其實明明很多題，學生會做，
卻審題失誤、計算錯誤，本來得到一分都很不容易，
還造成諸多錯誤，這是非常不應該的。
這也是高三數學的大忌。
很簡單例子：假如每科失誤10分，6科總共60分，60分是什麽概念？
對於那些，提分很難的同學，想必你比我更加清楚。
動動你的小手指花1秒鐘點個攢同吧！
——————醜陋的我——————-
二、能穩定90-105分以上——重視方法與技巧的提升。
在基礎很好的情況下，重點主攻簡答題部份，當然也要保證選填盡量少失分。
這裏不排除前面選填得分較低的同學。
高中裏有句話，得數學者得高考，你知道嗎？清北學生難見數學不足140的。
還有一點，高考是全國篩選，即使是大題，都有非常簡單的，只要你不失誤，
那些容易被扣分的就要保證不失分。所以這叫 保分題 。
其實大題保分，是數學學科的「腰」，你發力的軸承。
保分大題的範圍就是除去解析幾何與導數的所有大題，這些題難度一般，
是所有人都可以透過一定訓練穩穩拿在手裏的題。
如果你是 水平中等的話，要爭取把46分的保分大題拿到手，
為自己的解析幾何與導數留下「犯錯」的余地。
如果你是較差的同學，保分大題由於其「套路固定，思維簡單，計算量較小」的特點，
也是提升與得分的基礎。當然這裏相對於105以上的同學，是不允許錯誤的。
即使是對於數學能力強的同學，高手過招時，導數、解析幾何不分伯仲，
保分大題卻是體現差距的關鍵所在。
再次說明，引起重視。。
從歷年高考數學命題來看，可以看到文理123卷的簡答題出題考點。
理數舉例（2016-2018全國123卷的簡答題部份考點分析）

文數舉例（2016-2018全國123卷的簡答題部份考點分析）

可以看出高考數學總共分為七種類別的大題，所以在一輪復習時，
應該著重復習這六大基礎知識點：（下方部份文字和圖片整理來自網絡，涉及侵權請告知）
1、數列

建議： 這部份知識的復習重點放在基本知識上，要明確掌握數列的各種公式，如通項公式、求和公式等。結合相關題型，多訓練，徹底掌握。
一定要註意數列的離散性，在自然數集合裏討論數列，便多了許多有用的限制條件，
如。其次也可以從函數的角度看數列，即每一項的數值為n的函數，
這是於利用變量替換的方法求解通項公式的思維基礎。
數列中常見的遞迴關係，可以理解為數列某種變換形式的「導函數」，
尋求通項公式時套用的方法也不過累加，累乘，叠代等。。。。
從習題中尋找規律，尋找易錯點和考點，總結思路方法，熟悉基本定義與數列的常用性質。
及時整理，及時反思，時刻警醒自己。
首先基礎知識

其中，基於等差或等比數列的性質會考察第一問。
一般利用的為數列遞推運算式或者和的性質。
這些內容老師會在上課時為大家詳細說明，也是復習的重點，
甚至輔導書上都會有比較全的總結，這裏不一一贅述。
題設中會給出的條件一般為：某幾項數值，含和式的等式，含數列運算式的等式，數列遞推運算式。
常見思路
經過總結，大致有以下一系列常見思路。

易錯點
1.忽視等遞迴關係成立的條件，從而忽視檢驗前幾項。
2.忽視n為正整數的預設條件，冒然求導，或利用不等式得到非整數的取等條件。也會因此心理忽視這一個很好用的條件。
3.裂項相消忘記留下了幾項。可以先寫幾項驗證。
4.透過方程式求解的數列可能會漏下情況。
5.等比數列註意公比為1不等同於常數列（如0）。
6.下角標的不規範可能會使「-1」模棱兩可，需要註意。
7.累加法或累乘法漏掉第一項。
等等，這些易錯點大家各有不同，還需要的是及時整理與反思。
2、三角函數

建議： 以圖形為基礎，挖掘角與邊的不等關系。
善於利用邊角互換，善於利用公共邊與已知邊。
註意範圍限制，註意多解與存在問題，
不能忘記解三角形本身為幾何問題（幾何本意即為大地測量）
要善用幾何方法，利用高線、垂線等特殊輔助線。
解三角形的基礎是測量，問題多為求值或者求範圍。
解三角形一般也會結合輔助角公式或者函數最值來考察，思維靈活而套路固定。
在學習過程中，依然要總結規律，參照沈文選教授的話「積累基本圖，適時總結規律」。
基礎知識

常見思路
1.利用已知邊（長度已知）進行邊角互化。
2.反復利用公共邊。
3.挖掘角度條件，邊長條件
4.若出現四邊形，一般有兩種思路。延長成為三角形或者尋求對角線，分隔為兩個三角形。
5.若出現圓的內接四邊形，利用好對角互補。
6.邊角互化後若出現了求面積範圍的問題，一般建議利用角。見例題。

註意銳角三角形的限制。
我們的數學直覺告訴我們可以用影像找到極值（直角時與正三角形時），
我們不妨計算一下與答案相比較。

之後大家再展開計算即可，其實最大值的取得有規律的，
可以從下圖看出來（即兩個sin數值相等的時候有最大值，看圖就很直觀了，我取的是弧度為1的非特殊角）。

若換為邊，則有4=b^2+c^2-bc，b和c是出現了，
但是你發現利用不等式求最大值還好，最小值時既要利用「銳角」找出b與c範圍，
又由於多變量的牽扯，還要利用規劃思想。
心煩意亂的你利用三角換元（這個三角換元也很講求技巧），
卻正好又匯出了第一種方法的式子，真是費力不討好。

易錯點
1.忽視角的範圍。任何函數必然有其定義域，三角形中最普遍的是三角和為一百八十度，有時會有「銳角三角形」等的限制。
2.忽視多解，正弦值為正說明的資訊很少。一般與邊綜合判斷。若改角對應的邊不是最長邊，則比為銳角。但是若是，其銳鈍要再次判斷，無法判斷時則為多解。
3.忽視公共邊，已知角，已知邊等。條件利用不足。
4.面對大量計算懷疑自己的能力（一般情況下，你應該檢查一下，解三角形的計算式一般是美觀的)。
5.基本公式出錯。我在這裏不列舉那和角公式了，可以自己用向量證明。
3、概率統計
建議： 高中要求的有兩個事件（相互獨立，互斥）、兩大概型（古典概型與幾何概型）、四種抽樣與四類分布（兩點分布，二項分布，超幾何分布與正態分布）。
其中都有一個很重要的關鍵詞即「等可能」。
有同學可能會在處理相同模型時采取的方法不同而得到不同的結果，
此時就應該考慮「等可能」這一條件是否被滿足。
概率是與情況總數相聯系的，因此必須打好排列組合的基礎（對，基礎就可以）。
總體來講，要積累與思考幾類情況與模型的使用條件與計算方法。
在答題時，分類不重不漏。
積累自己犯下的錯誤，時刻警醒。
概率統計需要大家回歸課本，分析課本案例，
熟悉課本上出現的一切概念：
樣本的重心值什麽，回歸系數R有什麽意義，與k作用相似的w等
才可以自如應對高考的變化。
基礎知識
1.分類的思想。
2.分步完成的思想。
3.上述幾類事件、概型，抽樣，分布的一切相關計算與套用都應爛熟於心。
4.樣本數據的幾大特征。
5.回歸方程式的相關知識。15年高考考察了一次，也是一個容易被忽視的方面。
6.分布列的寫法。
7.善用對立事件。
8.排列數與組合數的計算。（有時會有最值問題）
9.掌握對頻率分布直方圖，莖葉圖與正態曲線的處理。
常見思路
1.先設事件，便於表示。每種情況以事件的組合寫出，便於依此列出計算式。
2.找到所適用的模型，套用公式，直接計算。註意是要找到，認真閱讀條件，觀察取樣方法，列出相關計算式。
3.按照一定依據分類不重不漏地列舉出所有可能情況。
4.線性規劃問題，構造可行區域，尋求面積比。
5.區別對待特殊量（如「某人是xx的粉絲，投票時必投xx，其余兩票隨機」）。
6.分解問題，如「3:2贏」可以分解成「贏在第幾局」，從而列出計算式。
7.利用對立事件求得難求的概率。
8.抓住「至少」「至多」「恰好」等關鍵詞。
9.利用E(ax+b)與D(ax+b)的計算公式。而離散型隨機變量的期望和均值一般相等（他們的定義式長的都一樣）。有一個現象是一般最「混亂」的情況概率最大。
10.明白並記憶正態曲線的參數意義，記住運算式的樣子（見課本）以及曲線的形狀決定，以及原則。概率是以定積分的方式表示的。

易錯點
1.情況有重復或遺漏，分類依據不好。
2.計算時盲目用公式，不檢查。
3.答非所問。
4.對公式記憶不清，應該當套用時反而去利用原理式計算，耽誤時間。
5.對抽樣的特點分析不清就動手，註意區分「放回」與「拿出後不放回」。
6.分析無條理，心煩意亂。建議將條件列表表示。
7.將非等可能的事件套用到幾何概型（最常見，如角與線段）或古典概型。
8.不會利用P(B|A)=P(AB)/P(A)來判斷AB是否相互獨立。
9.概型判斷不清，誤認為出現座標系就是幾何概型。
4、幾何問題
建議： 將立體幾何中的三公理熟記於心，並牢記證明所用的八條定理。
將立體問題轉化為平面問題是所有高中立體幾何的核心思路。
為了照顧一些同學初中知識的欠缺，
立體幾何中涉及的平面知識局限於特殊三角形，
特殊四邊形以及圓的直徑所對圓周角為九十度等。
甚至有了「出等腰就做高」等慣常而有效的做法。
在學習過程中，主要是加強對公理、定理以及推論的證明及掌握，加強計算能力。
在向量引入後，理科立體幾何幾乎成了「弱智」題，不需要大量思考，
只需要仔細認真的計算就可以完成大部份習題。
基礎知識
1.立體幾何三公理（其中三個不共線的點確定一個平面在選擇題立體幾何與排列組合部份都有考察）。
2.證明平行（線線，線面，面面），垂直（線線，線面，面面）的幾何方法與向量方法。
3.求線段長度（幾何方法與向量方法）。
4.求角度（線線，線面，面面）幾何與向量方法。
5.基本形體的定義。
6.關於球的基本問題。
7.直四棱柱模型的靈活套用。
8.三檢視（大題中出現較少，作用是提供投影長度）。
9.棱錐模型。
10.三垂模型。
11.三余弦模型。
12.向量基底方法與建系方法（建系是利用特殊基底）。

常見思路

建系，見直角就建系。但是可以靈活一些。

2.利用基底向量求解異面直線的夾角。（即用其他簡單向量表示已知直線的一部份）
3.利用體積不變，改變頂點求高線。
4.利用平移，多數利用中位線。
5.利用三垂線定理。
6.將部碎形體放入直四棱柱框架便於研究。
7.存在性問題一般設，作答時應說明點的位置（如：AC中點處）。
8.關於法向量：
a)一般是用於求二面角，就會面臨判斷銳鈍的問題。一定要判斷向量的方向！！！

b)利用法向量求高我就不說了，原理是利用點乘的幾何意義。
c)利用其求線線夾角，證明線面平行或垂直等也很簡單。
d)求線面角時不要忘記線面角與線與法線的成角是互余的。

易錯點

1.公理定理等參照錯誤，條件不足。
2.建系不嚴謹，預設直角等行為應當註意。
3.計算失誤。
4.判斷二面角的銳鈍錯誤。
5.線面角的正弦值與余弦值應當註意。
6.存在性問題一般都是存在的，不存在的情況一般可以從幾何上直接找矛盾。
各種角的取值範圍不清楚，如線面成角一定是大於0小於等於Pi/2的。

基本功
相當一部份的解析幾何題目可以直接透過暴算的方法直接解出，
可以說對基本功紮實的同學來說沒有什麽技術含量。

計算能力在數學物理化學等學科十分重要，不只是數學，
包括理綜都會出現這樣的情況：在考試當中可能出現大量復雜的計算內容，並不是很難，卻會拉開相當大的區分度。

因此，計算速度和準確度都應該大量訓練。
在這裏我也分享一些提高計算能力的建議：

1 .先從心理上戰勝： 不要畏懼，而是要學著接受甚至熱愛有大計算量的題目，

因為如果從現在開始重視，你的計算能力就會提高，
從而更容易在計算量大的題目中占得先機

因為計算量大意味著此題並不需要什麽新奇的想法，出題的難度總是平衡的
從而更加重視計算、熱愛計算，形成良性迴圈。

2. 從練習上突破： 平時的題目一定要算到底，不要有了思路就跳過。
不論是平時練習小測還是考試犯的計算錯誤，都一定要把這個題目重新計算，

直到算出正確結果為止。
計算是一種跨越學科的基本能力，計算極弱的同學，

在上面多花點時間，收益的會是共計450分學科的成績騰飛
建議積累幾道典型的計算難題在積累本上（如2013山東卷理科圓錐曲線，話說逝去的山東卷大多以計算難而聞名）

考前找個自習算一算題目，不求多，專門找計算相對困難的練，
如果算對就會大幅提振信心，並起到熱身的作用，臨陣磨槍，不快也光。

3. 從細心上根治： 據測算，算錯的題目95%都是抄錯的，所以一定要規範書寫，
尤其要規範草稿紙的用法。

草稿紙一定要分題號分區域寫清楚，不要太省紙，方便剩余時間回查低階失誤。
草稿紙建議折起來用，我推薦將A4紙較長的一段折成三部份，

既有效利用空間，又避免了中間結果字母過多時一行寫不下的尷尬情況。
平時也要采取措施對自己的計算錯誤進行適當的總結和懲罰。

4. 走正道： 老師和同學總結過大量的圓錐曲線小題中間結論，看似十分簡單有效，

但根據實戰經驗，一定不要在考前突擊這些中間結論還以為如獲至寶。
這些結論確實省時間，但一般的題目不會因為他們而簡單太多，一旦記錯結論還是致命的。

所以，只需掌握所有的定義以及通用解題方法，然後完全交給自己的計算能力來解決。
這些結論在能準確記憶住幾個的情況下可以適當利用，

（畢竟他們還是幾何方法推出，而新考綱似乎有弱化幾何的趨勢）
用一個算賺，不用也不虧。

當然，如果可能，可以在了解結論的情況下熟練它們的推出方法，然後考試會現推（這不強求）。
說到結論，我這裏有一份高中數學結論集錦。

5. 分類別： 圓錐曲線小題基本只有三種方法：

使用定義；暴算求解；特殊值排除（解決定值問題有奇效）。
大題一般有以下幾種：

1、求特定的值（求某一條直線或者某個值），因為太簡單所以一般不考，
在考試中如果出現一定是比較難算的，那就耐心算

2、求定值：我們先取幾種特殊情況確定定值，心中有數，然後寫上必要的步驟（問老師什麽必須寫在卷面上）
然後裝作十分費力的消去一些值，整理出我們早已試驗得到的正確答案。

3、求範圍：一般會整理出一個含未知數的式子，大多可用基本不等式解決，
較難的題目考慮求導。自己可以總結什麽情況下設x還是設y會更簡單一些。

找到最值別忘了檢驗取等條件（也可以更為直觀的得到最值在什麽情況下取得）。
4、求軌跡：基本方法有幾何法（都是初中幾何知識+高中要求的定義）和消參法，

沒有什麽特別之處，註意檢查取值範圍（某條曲線的一部份）
總之，圓錐曲線並不難，計算能力是關鍵。

希望大家不要畏懼，而是努力把它化為自己保分題目中的一部份。
另外，如果有的題目一時想不到特別好算的辦法，可以考慮直接解出點座標（有一些題目是故意這麽設計的）。

5、不等式

建議： 不等式向來是思維靈活的，選考部份的熱門是不等式串，柯西不等式和絕對值三角不等式。
又由於絕對值三角不等式思維簡單（分類討論），一般出現時就會讓大家很開心。

但是對於柯西不等式與不等式串，技巧性就更加強。
學習時建議多積累方法，註意觀察多種方法證明的可行性，

不同的不等式有不同的適應範圍，放縮能力也有「好壞之分」。
所以要多多積累，多多思考。嚴抓條件，及時整理。

終於完了，考高分的你，記得來還願。
整理不易，一定要點個攢同