有趣的題目。在計算之前，我們先了解下馬利安納海溝的一些數據。
馬利安納海溝，位於太平洋西部地區馬利安納群島東南部。 其最深點距離海面以下約 11,034 米， 這使得它成為地球海底已知的最深點。
馬利安納海溝是由於太平洋板塊和菲律賓板塊相互碰撞而形成的，具體說是：太平洋板塊俯沖在較小、密度較低的菲律賓板塊下方形成的， 這種碰撞導致了地殼的下沈，形成了深海槽。如下圖紅框。
好了，下面我們回答三個問題。
問題一：鋼球沈入海底後會因為高壓破裂嗎？
當鋼球下沈並到達海溝底部時，它將受到水的極大壓力。那這個壓力是否會破壞鋼球？水在這個海底，約11千米，施加的壓強可以透過公式計算：
P = ρgh = 1.134×10^8 （Pa）
其中：P = 壓強（帕斯卡），ρ = 水的密度（1050千克/立方米，深海處的水密度略高於海面），g = 重力加速度（9.81米/秒²），h = 深度（11千米）。要判斷鋼球的狀態，我們要知道屈服強度（見參考資訊【1】），它是指施加在材料上使其永久變形的最小應力。鋼球的屈服強度，是250MPa，基本是水底壓強的兩倍多。另外，鋼球的Hugoniot彈性極限（衡量材料能夠承受的最大應力值【2】）約為10^9Pa，也大於水壓。因此， 鋼球到底海溝地步，水的壓強不足以導致鋼球永久變形或者破裂，即鋼球都將保持其形狀和結構。
然後， 水底壓力將擠壓鋼球並減小它的體積。我們鋼的體積彈性模量（B）來計算這一點【3】。體積彈性模量 = 施加的壓力 / 體積的變化比例，用公式表示為：P = −B(V − V0)/V0，其中P是將一定質素的材料的初始體積V0減小到V時產生的壓力。
我們知道馬利安納海溝底部的壓力差ΔP，以及鋼的體積彈性模量。如果我們假設球的體積為 1.0 m^3。 我們可以計算由於壓力差ΔV而導致的鋼球體積變化如下：
ΔV = VP / B = 0.000709 m^3
再來看溫度，假設馬利安納海溝上方海面的水溫約為24°C，而底部約為4°C，溫差為20°C也將導致球的收縮，但這不會影響球內的應力。由於溫度差異ΔT，可以使用以下公式計算體積減小 \Delta V_{t} ：
\frac{\Delta V_{t}}{V}=\alpha\Delta T
其中：
V = 1立方米（鋼球的初始體積）， \alpha = 36×10^-6°C^-1（鋼球的體積熱膨脹系數），ΔT = 20°C（溫度差異）。因此， {\Delta V_{t}} = 0.00072m^3。所以， 海底壓力和溫度差異一共導致鋼球體積減少0.001429立方米，也就是減少了0.1429％。換算成半徑，球的減小後半徑將為0.620055米（原始半徑0.6203505米）。
由於海底壓力小於屈服強度，所以這樣的 形變是彈性的，即如果球被帶回到地表，它將恢復其原始體積。
問題二：鋼球需要多久可以到達海底？
回答這個問題，我們需要知道 終端速度 （terminal velocity，詳見參考資訊【4】），其定義為物體落入流體中所達到的最高速度，即當阻力和浮力之和等於作用在物體上的向下重力時，所獲的的速度：
v_{t}=\sqrt{\frac{2mg}{\rho A Cd}}
v_{t} 是終端速度，m是下落物體的質素 6750kg ，g是重力加速度 9.8，Cd是阻力系數 0.47，ρ是流體密度 1000 kg/m^{3} ，A是物體投射的面積 1.209 m^{2} ，代入得到： v_{t} =15.3m/s。
所以，鋼球將在12分鐘左右到達馬利安納海溝底部（11km）。
問題三：沈入海底的鋼球會被海水腐蝕，多久會腐蝕完？
海水裏含鹽分，所以，沈入海底的鋼球會被海水腐蝕。
鋼材的腐蝕取決於水中溶解氧的量。 下圖為北太平洋溶解氧垂直分布圖，可以直觀地表示氧氣在海洋中的垂直分布情況。溶解氧量在深度超過 5000 米時保持恒定【8】，包括馬利安納海溝底部。海水鹽度大概在3000米以下變動很小。
根據參考資訊【6】的數據，鋼鐵在海中5100m的腐蝕速率為每年0.06毫米。考慮到溶解氧量在較大深度是恒定的，而且在海水中無法形成持久的保護層來保護鋼材免受腐蝕，我們可以將用恒定的腐蝕速率來計算馬利安納海溝底部鋼球的腐蝕。
因此，我們對半徑為0.620055米的鋼球的腐蝕進行如下計算：
鋼球完全腐蝕所需時間 = 62.0055 / 0.06 = 10334.2年。
所以，如果鋼球靜止不動，大概會在10334年以後，被完全腐蝕掉。
但是，板塊是運動的，比如太平洋板塊向歐亞板塊方向的移動速率大概是每年7到14厘米【9】，一萬年以後，大概會移動一公裏左右；也就是說，如果鋼球隨著板塊移動，那麽 在鋼球被完全腐蝕之前，它會被下侵的太平洋板塊帶入到地殼內部。 如果不考慮地層壓力，這樣的缺氧環境會延緩腐蝕，鋼球存在的時間會遠超上述腐蝕時間，最終可能會隨著板塊進一步的下沈，在深部的高溫高壓下融入為上地幔的一部份。或者，在強大的地層壓力下，鋼球受變質作用影響，融為地殼的一部份。
謝謝閱讀和點贊。
參考資訊：
1 Yield Strength - Meaning, Features, and FAQs (vedantu.com)
2 The Hugoniot elastic limit
3 Bulk modulus | Physics, Elasticity, Compressibility | Britannica
4 Terminal Velocity Derivation With Simple Step By Step Explanation (byjus.com)
5 Geo explainer: Exploring the Mariana Trench - Geographical
6 (PDF) Corrosion of ferrous alloys in deep sea environments (researchgate.net)
7 Genomic Potential in Hydrothermal Vents | News | Astrobiology (nasa.gov)
8 Chemical characteristics of hadal waters in the Izu-Ogasawara Trench of the western Pacific Ocean - PMC (nih.gov)
9 Plate Tectonics
| Pacific Northwest Seismic Network .
10. Marianas Trench
9.12
謝謝大家的閱讀和點贊。看到很多有用的評論，都更好地完善了上面的回答，在此一並謝過。
如評論區所說，鋼球的腐蝕是一個復雜的過程，比如大家提到的 腐蝕的速率隨時間不是線性的 ，而且 隨著腐蝕，鋼球的體積變小會反過來影響壓強的變化 ，以及 水的密度隨深度變化不是常數 等。都是很切合實際的建議。本回答中的公式是一個線性的常數模型，更多的是想給大家一個思路，供探討。的確上面提到的這些建議，理論上，都會使得最終的預測時間更準確，也值得感興趣的人進一步推導。
說到這裏，我最後分享一個工作中一個小小的體會：很多建模或者預測問題，實際運用中最robust的方法反而是比較簡單的方法；而很多復雜的模型，因為參數多，且參數難以估計，往往實操中表現不盡如人意。
9.13
評論區很多問 海底的水密度 。 表層海水的密度約為 1020 到1029 kg/m3，具體取決於溫度和鹽度 ，給一個具體的數據，當海水溫度25℃、鹽度35g/kg、1個標準大氣壓，海水的密度為1023.6kg/m3。 在海洋深處的高壓下，海水的密度可以達到1050kg/m3或更高一點 。所以，深海的海水密度的確會高，但是與海面比，密度不會相差很大。大概就是1020 和1050的區別。
9.17
評論區有問屈服應力。屈服應力或者屈服強度，是金屬材料發生屈服現象時的極限應力，也就是可恢復的彈性變形和永久塑形變形的界限。小於屈服強度，變形可恢復。大於屈服強度，則變形不可恢復。這個概念在工程建築中十分常見，即要求工程受力在彈性可恢復的範圍內，小於屈服強度。
