圍棋存在先手必勝／後手必勝的情況，又是否所有回合制遊戲只要算力達到了就一定有先手必勝或者先手必輸法則？

2022-03-28財經

本來這題只需要五個字（策梅洛定理）就可以解決，參見此答案圍棋有沒有必勝策略？ - 知乎。

但是這類問題在知乎上反復出現，我有必要針對題主的問題說明添加一些補充。

題主的疑問是，圍棋雙方每一步棋都有幾百種合法的選擇，一盤棋又有幾百個回合，排列組合一下以後是天文數碼。一個必勝策略，能夠包含這些天文數碼嗎？

1、「搶三十」

我們先來看一個小學生都能理解的遊戲：（來源：資優網）

小聰與小明在搶30。兩個人從1 開始，輪流往下報數， 每次至少報一個數，至多報三個數 ，誰報到30 就勝了。「1，2」，小聰開始報數。「3，4，5」，小明接著往下報。「6」。「7，8」。結果，小聰報到30，小明輸了。
接連報了幾次，總是小聰勝。「怎麽老輸？我的運氣真不好。」「這不是運氣。勝有勝的道理，垐有輸的原因。換個玩法，你就明白了。」小聰取出一副撲克，說：「我們輪流取牌，每次至少取一張，至多取三張。這回取最後一張的算輸。」
玩了幾次，還是小明輸。
「老是你贏，把訣竅告訴我吧。」
「訣竅很簡單，把問題倒過來想。假設是你報30，那麽，在這之前的一次，你應當報到多少呢？」
「不能報到29，也不能報到28 或者27。要是我報到27，28，29，你就可以報30。所以，我應該報到26。要是我報到26，那麽，不管你怎麽報，我都能報到30 了。」
「對。要搶30，先搶26。那要搶26，先搶什麽呢？」
「先搶22。」
「對。這樣，我們就得到了一串取勝的數——30，26，22，18，14，10，6，2。這樣，第一個人應當報到2，他就可以陸續報到6，10，14，18，22，26，30。」
「這麽說來，總是第一個報數的人勝了。」
「是這樣的。不過，要是他不知道訣竅，讓第二個人搶去一個取勝的數，勝利就可能易手了。」

這個問題，我想對於在座各位都是很清楚的。「搶三十」，先手方有必勝策略，而且可以精確地描述：先手方先報1,2；之後，若後手方報n個數（n=1,2或3），則先手方立即回以4-n個數。最終，先手方總能搶到30.

這個具體的必勝策略，包含了多少種不同的變化呢？後手方每次有3種選擇，先手方每次只有一種回應。6個回合之後，先手方就能搶到30. 因此，總變化數是3^6=729種。

那麽，如果小明和小聰搶的不是三十，而是每次可以報1-299個數碼，報出1,000,000者為勝呢？類似於剛才的分析，我們照樣可以為先手方找到必勝策略：先手方只需先報100。然後，若後手方報n個數（n=1,2,...,299），先手方立即回以300-n個數。先手方總能搶到100,400,700,1000,...999700,1000000這一串數，從而獲勝。

我們來看這一套必勝策略包含的變化。後手方每次有299種選擇，先手方每次也只有一種回應。3330個回合之後，先手方就能獲勝。因此，總變化數是299^3330, 不管這數多大，反正肯定比圍棋的總變化數（遊戲樹復雜度，限定棋局在400手以內完成）要多。然而，這個數碼終究是有限的. 因此，這個無聊的遊戲，就算是上帝來跟我玩，只要我先手，我穩操勝券。相信各位能夠理解其中的邏輯。

2、有限遊戲

由此，我們引出策梅洛定理（維基百科）

定理表示在二人的有限遊戲中，如果雙方皆擁有完全的資訊，並且運氣因素並不牽涉在遊戲中，那先行或後行者當一必有一方有必勝/必不敗的策略。

這條定理雖然是用自然語言描述，但其中的概念都很直觀，沒有定義上的爭議。重點在於「有限」二字。上面講的「搶一百萬」遊戲，雖然變化巨多，但終究有限。在2002版（最新）中國圍棋規則的限定條件下，圍棋也是有限遊戲。

中國圍棋競賽規則（2002年版）
第一章總則

第6條禁止全域同形

著子後不得使對方重復面臨曾出現過的局面。

這一條防止了一盤圍棋無限進行下去。需要說明的是（盡管我已經說明了N次，若我不再重復，一定會有人挑刺。請了解禁全同規則的朋友原諒我的啰嗦。），「三劫迴圈」、「長生」等特殊棋型，在中國規則下嚴格說不構成迴圈，參見陳祖源老師的研究。現在部份比賽中將三劫迴圈判和棋/無勝負，是一種權宜之計，或者對局雙方對規則不了解的情況下達成的協定，或者采用的是日本/南韓規則。

綜上所述，圍棋是個有限遊戲。因此，取決於貼先數（貼子、貼目）的不同，黑方或白方之一必然有必勝/不敗的策略。

圍棋盡管變化繁多，但實際變化總數仍然不敵「搶一百萬」這個無腦遊戲。因此，圍棋有一個包羅萬象的必勝策略並不是什麽奇怪的事。

（註：行文簡潔起見，下文可能出現「黑/白方必勝（不敗）」等表述，其含義為，在此局面下，黑/白方有一個必勝（不敗）策略。）

3、非構造性證明

也許有些思維活躍的讀者還有疑問。「搶一百萬」這個遊戲變化雖多，但掌握規律以後沒有任何難度，因為我們有一個簡單易行的必勝策略。但是圍棋呢？你找得出一個具體的必勝策略嗎？吳清源不能，柯潔不能，甚至AlphaGo也不能。就算是棋藝已臻化境的AlphaGo，距離圍棋之神還遠得很。你找不出具體的必勝策略，怎麽敢打包票說要麽先手必勝，要麽後手必勝？

數學上，能夠證明存在，而構造不出一個具體例子的概念，海了去了。我們把這樣的證明叫作「非構造性證明」。

我們還是以遊戲舉例（來自維基百科）

A、B兩人進行這樣一個數學遊戲：在黑板上輪流寫下1到2000中的任意一個整數（含邊界，A先寫），但不能寫下任何黑板上已存在的數的因子。問：誰有必勝策略？
證明：
考慮一種新的遊戲：A'、B'在黑板上輪流寫下2到2000中的任意一個整數（含邊界，A'先寫），但不能寫下任何黑板上已存在的數的因子。在這個遊戲中誰有必勝策略？
如果A'有必勝策略，那麽A在原遊戲中也采用這個策略。註意，1在以後的過程中再也不能寫上了（因為它是任何數的因子）。由於在新遊戲中A'有必勝策略，所以在原遊戲中，A有必勝策略。
如果B'有必勝策略，那麽A在原遊戲中先寫上1。這就相當於構建了上述新遊戲，B是新遊戲中的A'，A是新遊戲中的B'。由於在新遊戲中B'有必勝策略，所以在原遊戲中，A有必勝策略。
綜上所述，A有必勝策略。
上述證明過程中並沒有找出具體的必勝策略，但是仍然證明了A有必勝策略。

這個遊戲沒有剛才的「搶一百萬」那麽無腦，找出一個具體的必勝策略很有難度。但是，我們透過邏輯推理，仍然能夠證明先手方必勝，不必找一個具體的策略。

同理，我們可以證明，圍棋在 貼先為零 的情況下，執黑一方有必不敗策略。

預備知識：

中國圍棋競賽規則（2002年版）
第一章總則
第7條終局
1、棋局下到雙方一致確認著子完畢時，為終局。
2、對局中有一方中途認輸時，為終局。
3、雙方連續使用虛著，為終局。
第9條計算勝負
著子完畢的棋局，采用數子法計算勝負。將雙方死子清理出盤外後，對任意一方的活棋和活棋圍住的點以子為單位進行計數。
雙方活棋之間的空點各得一半。
棋盤總點數的一半180.5點為歸本數。一方總得點數超過此數為勝，等於此數為和，小於此數為負。

證明：假設白方有必勝策略，將此策略記為S。則黑方可以在第一手選擇虛手（即停一招）。現在棋盤為空枰，輪白方落子，相當於雙方交換了先手。即白方變為先手方，黑方變為後手方。若白方在棋盤任意位置落子，則黑方可以模仿前文假設後手方存在的必勝策略S，獲得勝利，黑勝。若白方同樣選擇虛手，則雙方連續虛著。按照規則第7條第3款，棋局終止，計算勝負。按規則第9條，雙方各得空枰的一半，平局。綜上，白方不存在必勝策略，因此黑方不敗。

註意：這不是模仿棋。

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4、有貼先的圍棋

當然，無貼先的圍棋並不公平，只在歷史上存在。現行中國規則，黑棋須貼先3.75子，以平衡先手優勢。小數部份是0.75的貼先杜絕了和棋的可能。在排除和棋之後，黑白雙方有且只有一方存在必勝策略。AlphaGo最新公布的自戰50局，白方贏得其中38局，勝率76%。現行圍棋的合理貼目 - 知乎專欄 @濕貓一文中，提到3.75子的貼先規則下，職業棋手的對局，白方勝率約為53%。由此，我們可以認為，現行中國規則，對於職業棋手，白方稍優。雖然不能下確定的結論，我們也可以認為，白方必勝的可能性大於黑方必勝。因此，中國規則或許有必要引入收後還子、細化貼先，以便允許貼先數等同於日本南韓規則的6.5目。若此問題得到解決，中國規則可以說接近完美，圍棋規則統一指日可待。

以圍棋變化之多，我們已經了解的，誠為滄海一粟。必勝策略客觀存在，卻又是人力不能所及。人類千年探尋圍棋之道，又引入高科技手段造出Alpha狗，仍不終極真理的百分之一。然而，我們不會放棄繼續探索。這是圍棋的魅力。