为何自然数列和为平方数是每6倍出现一次？

题主发现的其实是一个比较经典的数学问题了，

f(n) 叫做三角形数， m^2 是平方数，其实也可以叫四边形数、正方形数，求这两种数字的交集实际上是解一个 Pell 方程：

x^2-2y^2=1 ，其中 x=2n+1,y=2m

求这个方程的正整数解可以参考：

根据 Pell 方程的理论，我们知道方程的所有正整数解 (x_k,y_k) 可以由一组最小解 (3,2) 生成：

x_k+y_k\sqrt 2=(3+2\sqrt 2)^k ，

根据 Q(\sqrt2) 的自同态

\sigma:a+b\sqrt 2\rightarrow a-b\sqrt 2 ，可以知道：

x_k-y_k\sqrt 2=(3-2\sqrt 2)^k ，

根据上面两个式子可以解得：

y_k=\frac{\lambda^k-\lambda^{-k}}{2\sqrt 2}, \lambda=3+2\sqrt 2 ，

所以 m_k=\frac{\lambda^k-\lambda^{-k}}{4\sqrt 2}

然后我们可以计算mk数列的后一项比上前一项的比值：

\frac{m_{k+1}}{m_k}=\frac{\lambda^{k+1}-\lambda^{-k-1}}{\lambda^k-\lambda^{-k}}=\lambda+\frac{\lambda^2-1}{\lambda^{2k+1}-\lambda}

我们可以发现，

这个比值是随着 k 增大而减小的，

数列的极限是 \lambda=3+2\sqrt 2\approx 5.8284

事实上，从 k=4 起，这个比值就已经比较接近 \lambda 了。

其中横线是 y=\lambda

另外，三角形数还有更多规律，比如：

①如果 n 是一个三角形数，那么

9n+1 仍是一个三角形数，

25n+3 仍是一个三角形数，

... ，

k^2n+\frac{k^2-1}{8} 仍是一个三角形数，其中 k 是正奇数，此处读者可尝试推导。

②相邻的三角形数的和是平方数，

\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=(n+1)^2

③第 n 个三角形数的平方是前 n 个立方数的和，

(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3

根据上面公式还可以得到：

第 2n^2-1 个三角形数是前 n 个连续正奇数的立方和：

1+2+...+(2n^2-1)=1^3+3^3+...+(2n-1)^3

此处读者可尝试推导。

④高斯三角形数定理：每一个正整数都可以表示为最多3个三角形数的和。

⑤偶完全数都是三角形数，其中完全数就是它除了本身以外的因数和等于其本身，比如6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14，

欧拉证明了偶完全数的形式：2^{p-1}(2^p-1)

其中 p 是素数，且 2^p-1 也是素数(即梅森素数)，

因为

2^{p-1}(2^p-1)=1+2+...+(2^p-1)

所以偶完全数是三角形数。

⑥第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617716）、第111111个三角形数（6172882716）、第11111111个三角形数（61728399382716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11111个和第1111111个三角形数不是。

⑦55、5050、500500、50005000……都是三角形数，分别是第10个，第100个，第1000个，第10000个三角形数。

⑧三角形数倒数和极限是2，

\lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+...+\frac{1}{1+2+...+n})}=2

裂项相消即可。

事实上多边形数字的研究是一个古老的问题了，费马，拉格朗日，高斯，柯西都做过研究，比如费马多边形数字定理：每一个正整数都可以表示为最多n个n边形数的和，拉格朗日证明了四平方和定理(n＝4)，高斯证明了三角形数的情况(n＝3)：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ，柯西证明了一般情况，还有平方金字塔问题，前n个平方数的和是否可能是一个平方数，答案只有n＝1，24，在100年前得到完整证明。