谢邀，这个问题其实挺有意思的，而且推导也并不trivial，我这里简要sketch一下怎么导出施瓦西解，具体详细的推导大家可以任意找一本广义相对论的书进行学习。
首先要明确我们要做的事情，对于广义相对论而言，我们需要解的是 爱因斯坦场方程
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu} \tag{1}
这里的 R_{\mu\nu},R=R^{\mu}_{\mu} 分别是 里奇张量(Ricci Tensor) ， 里奇标量(Ricci Scalar) ， g_{\mu\nu} 是 度规(Metric) ， G 是 万有引力常量 ， T_{\mu\nu} 是 能量-动量张量 。这个公式看起来比较吓人，很大一部分原因是出现了希腊字母 \mu,\nu 等，但是它们 仅仅表示的是分量 ，也就是 \mu,\nu = 0,1,2,3 ,0分量就是时间，1,2,3分量就是空间分量，或者我们可以理解为，这些张量 T_{\mu\nu},R_{\mu\nu},g_{\mu\nu} 就是一些 4\times4 的矩阵，这样就没那么吓人了。
这个公式(1)有一个所谓的 trace-reversed版本 ，如下
R_{\mu\nu} = 8\pi G(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}Tg_{\mu \nu}) \tag{2}
其中 T = T^{\mu}_{\mu} 是我们对能动量张量求 迹(trace) 以后得到的标量，这个方程(2)就好解多了，因为我们要求的是球对称引力源周围真空中的解，那么此时 T_{\mu \nu} = 0,T=0 ，上述方程直接简化成如下形式
R_{\mu \nu} =0 \tag{3}
我们只要从方程(3)里解出来 g_{\mu \nu} 就好了。这时候就有人会问了，这里都没有出现度规 g_{\mu \nu} ，你怎么解呢？这里我们复习一下基础的广义相对论，对于一个度规 g_{\mu \nu} ，我们有 克里斯托弗联络(Christoffel Connection)
\Gamma^{\rho}_{\mu \nu} = \frac{1}{2}g^{\rho \sigma} (\partial_{\mu} g_{\nu \sigma} + \partial_{\nu} g_{\mu \sigma} - \partial_{\sigma} g_{\mu \nu}) \tag{4} 其中我们对相同的指标（哑指标） \sigma 求和，然后那个有上标的度规 g^{\mu \nu} 是我们正常度规 g_{\mu \nu} 的逆，即 g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} = \mathbb{1}_{4\times 4} ，然后我们有 黎曼张量(Riemann Tensor)
R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_{\mu} \Gamma^{\rho}_{\nu \sigma} - \partial_{\nu} \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma} + \Gamma^{\rho}_{\mu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma}-\Gamma^{\rho}_{\nu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma} \tag{5}
我们把黎曼张量的第一和第三个指标缩并，就得到了 里奇张量(Ricci Tensor) ，如下
R_{\mu \nu} = R^{\rho}_{\mu \rho \nu} = \partial_{\rho} \Gamma^{\rho}_{\nu \mu} - \partial_{\nu} \Gamma^{\rho}_{\rho \mu} + \Gamma^{\rho}_{\rho \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\nu \mu}-\Gamma^{\rho}_{\nu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\rho \mu} \tag{6}
当然，我知道如果我这样从头写下来，第一次接触广义相对论的人肯定已经被劝退了，实际上我第一次接触到这些复杂的表达式的时候，也无法第一时间消化，但是我们可以从直觉上intuitively地理解这些个公式在做什么，我们看到公式(4)包含了度规 g_{\mu\nu} 的 一阶导 ，然后在公式(5)的前两项，我们 又对克里斯托弗联络求了一次导 ，所以实际上 黎曼张量 是一个度规 g_{\mu\nu} 的 一阶导和二阶导的一种组合 ，然后公式(6)无非是对公式(5)的指标进行了缩并而已，它自然 还是度规的一阶导和二阶导的组合 。
这让我们想到了什么？没错，不论是我们的 牛顿引力场方程
\nabla^{2}\phi(\vec{x}) = 4\pi G\rho(\vec{x})\tag{7} 还是 电动力学里的泊松方程
\nabla^{2}\varphi(\vec{x}) = f(\vec{x})\tag{8}
都是呈一个 对场的势取二阶导（公式左边） 等于 该场源的分布（公式右边） 的形式，在爱因斯坦场方程(1)里，公式左边 对引力场的势，也就是度规 g_{\mu \nu} 求了二阶导 （以及一些一阶导）， 右边的能动量张量就是引力场的源分布 ，因此这个方程和我们已经学会的这些场方程是非常相似的。
但是也有不同，爱因斯坦场方程是一个高度 非线性(non-linear) 的方程，所以我们几乎只能在有很高的对称性的情况下，才能找到它的解，一般来说，给定一个任意的能动量张量 T_{\mu \nu} ，要想通过爱因斯坦场方程解出度规，是几乎不可能的。
好的，那回到我们 施瓦西度规(Schwarschild Metric) 的求解，首先因为这是真空，然后我们又要求整个时空是球对称的，在球坐标 \{t,r,\theta,\phi \} 下，我们就有如下的 试解(Ansatz)
ds^{2} = -e^{2A(r)} dt^2 + e^{2B(r)}dr^{2} + r^2(d\theta^{2}+\sin^{2} \theta d\phi^2) \tag{9}
这里我简化了一些步骤，具体的步骤可以参考任意一本广义相对论的书。一般来说，我们解偏微分方程的唯一方法，就是猜一个Ansatz然后代进去看解出来的结果对不对，在广义相对论里我们也是这么做的，但是因为这个非线性方程的试解太难猜了，所以我们只有有限的解。为了方便大家理解，我这里把这个度规(9)写成矩阵的形式
g_{\mu \nu} =\begin{pmatrix} -e^{A(r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{B(r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0& r^2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2{\theta} \end{pmatrix}_{\mu \nu} \tag{10}
好了，现在我们的任务就是把这个Ansatz (10)代入爱因斯坦场方程(3)去解出未定的函数 A(r), B(r) ，在广相课上，我曾经写过一个 mathematica的程序 ，可以把度规和坐标输入进去，直接得出里奇张量，当然你也可以按照公式(4)-(6)一步一步往下求偏导，把里奇张量算出来，一般来说 手算的话需要大概一天的时间 。我用我的Mathematica的程序，得到如下的里奇张量及它们应该满足的爱因斯坦场方程 R_{\mu \nu} = 0
R_{tt} = e^{2(A-B)} (A^{\prime \prime} + A^{\prime 2} - A^{\prime} B^{\prime} + \frac{2}{r}A^{\prime}) = 0 \tag{11}
R_{rr} = -A^{\prime \prime} - A^{\prime 2} + A^{\prime} B^{\prime} + \frac{2}{r}B^{\prime} = 0 \tag{12}
R_{\theta \theta} = e^{-2B} (r(B^{\prime} - A^{\prime}) - 1) +1 = 0 \tag{13}
其中那些 ^{\prime} 是对坐标 r 求的偏导。结合公式(11)及(12)，我们得到
e^{-2(A-B)} R_{tt} + R_{rr} = \frac{2}{r}\frac{d}{dr}(A+B) = 0 \tag{14}
这直接给出
B = -A + const \tag{15}
这个积分常数是trivial的，我们可以通过坐标变换 t \to e^{-const} t 把它给吸收掉，所以实际上我们得到了一个重要的关系式 B = -A ，把这个关系式弄到公式(13)里，我们得到了
R_{\theta \theta} = e^{2A} (-2rA^{\prime} - 1) +1 = -\frac{d}{dr}(re^{2A}) +1 = 0 \tag{16}
这个微分方程解出来我们有
re^{2A} = r + \mu \tag{17}
其中\mu 是一个需要靠边界条件决定的积分常数，到这里我们已经把 A,B 都解出来了，结果如下
e^{2A} = e^{-2B} = 1 + \frac{\mu}{r} \tag{18}
而 施瓦西度规(Schwarschild Metric) 就是
ds^2 = -(1+\frac{\mu}{r})dt^2 + \frac{1}{1+\frac{\mu}{r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) \tag{19}
考虑边界条件，在 离引力源无穷远 的地方，我们希望这个度规 退化成闵可夫斯基度规(Minkowski Metric) ，即 时空是平直时空 （或者接近平直时空）。在弱场极限下（此处我不作推导），度规 g_{\mu \nu} 的 00 分量为
g_{00} \approx -1 -2 \Phi_{grav} \tag{20}
其中 \Phi_{grav} = -\frac{GM}{r} 就是经典的牛顿力学里的 重力势能 ，那么我们最终得到施瓦西度规的解就是
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r})dt^2 + \frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) \tag{21}
这就是大家经常见到的施瓦西度规了。有意思的是，这个度规会给出一个黑洞的 「视界(horizontal event)「 ，也就是在 r \to 2GM 的时候， 时间会膨胀并且发散到无穷大 ， 而长度会收缩到趋近于0 ，这里我不做具体的解释，大家有兴趣地可以参考我的另一个回答
以上就是施瓦西度规的推导过程了。这里还有个小故事，爱因斯坦在写下他的爱因斯坦场方程以后，自己都不相信这个方程有解，但是施瓦西非常坚信爱因斯坦是对的，而且他在军队服役的过程中学习了相对论，并且给出了这样一个解，让爱因斯坦非常叹服。但是施瓦西却在给出这个解后英年早逝，没有等到他的这个解被实验验证的那一天，唉，真的是英雄气短，我觉得这可能是一个对科研如此虔诚的人最大的遗憾了吧。
思考题
在 2+1维的时空 中（施瓦西度规是3+1维的时空的解），我们可以有如下的类似的Ansatz
ds^2 = -e^{2A} dt^2 + e^{2B} dr^2 + r^2 d\phi^2 \tag{22}
而它的 里奇张量 我直接给出
R_{tt} = e^{2(A-B)} (A^{\prime \prime} + A^{\prime 2} - A^{\prime} B^{\prime} + \frac{1}{r}A^{\prime}) \tag{23} R_{rr} = -A^{\prime \prime} - A^{\prime 2} + A^{\prime} B^{\prime} + \frac{1}{r}B^{\prime} \tag{24} R_{\phi \phi} = e^{-2B} r(B^{\prime} - A^{\prime}) \tag{25}
在宇宙学常量 \Lambda \neq 0 时，真空中（ T_{\mu \nu} = 0 ）的爱因斯坦场方程变为
R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu \nu} = \Lambda g_{\mu \nu} \tag{26}
请问你能够按照类似的方法，把 A,B 给解出来吗？答案应当和我给出的式(18)类似，只保留到一个未定的常数 \mu ，解出来的朋友欢迎在评论区留言，我会及时回复的~
References
Jacob Barandes, Lecture Notes 30,33, Physics 210: General Theory of Relativity, Spring 2021, Harvard University
