Mathematica有一个最起码的能力上限,它不能处理数学上本身无法处理的问题.5次以上方程无一般根式解.
其实初中数学可知就算有根式解你也不能判断是不是有理数.两个三次方根之和是有理数的经典问题.
既然你已经证明了方程唯一实根,当然已经发现了函数是单调的,下面就不证了
不妨设有理根 \frac{p}{q},(p,q)=1,q>0;p,q\in \mathbb{Z}
1+\frac{p}{q \cdot 1!}+\frac{p^2}{q^2 \cdot 2!}+\dots+\frac{p^{2021}}{q^{2021}2021!}=0 \\
两边乘以q^{2020} \cdot 2020! ,可得
q^{2020} \cdot 2020!(1+\frac{p}{q \cdot 1!}+\frac{p^2}{q^2 \cdot 2!}+\dots+\frac{p^{2020}}{q^{2020}2020!})+\frac{p^{2021}}{2021q} =0 \\
\frac{p^{2021}}{43 \times 47 \times q} \in \mathbb{Z} ,考虑(p,q)=1
可得,q=1,43 \mid p,47 \mid p ,从而x=p 是2021 的整数倍
但是由
f(x)=(1+x)+\frac{x^2}{3!}(3+x)+\dots+\frac{x^{2020}}{2021!}(2021+x) \\
显然f(-2021)<0,f(0)>0 ,故x \in (-2021,0) ,没有2021 的整倍数
从而方程无有理解
