严格意义上来说，还真不是只能等于2的……
讨论这个问题之前，我们必须先明确"1+1=2"这个式子里每个元素指代的是什么：
"1"和"2"是两个数字，按一般的意义，认为"2"是"1"的后继自然数；否则，问题在常规认知下即不成立，没有继续讨论的必要了；
"="是一个逻辑表达，在其两端的元素完全等价，即使它们的表示方式可能存在差异；
那么……"+"是什么呢？按一般的认知， a+b
是指"取 a
的第 b
个后继数"，但它的定义一定是这样吗？
按照线性空间的表述，对于元素 a,b,c
与空间 V
，构成"加法"只需要满足以下条件：
1."加法"对空间封闭： \forall a,b \in V , a+b \in V
；
2."加法"可交换： \forall a,b \in V, a+b=b+a
；
3."加法"可结合： \forall a,b,c \in V, (a+b)+c=a+(b+c)
；
4."加法"存在零元： \exists a_{0} \in V, \forall a \in V, a+a_{0}=a
；
5."加法"存在逆元： \forall a \in V, \exist a^{'} \in V, a+a^{'}=a_{0}
另外，在此空间 V
下的"乘法"只需额外满足以下条件(由于"乘法"的定义对"加法"有一定的要求，所以在这里也一并提出)：
6."乘法"对空间封闭： \forall a,b \in V, a\times b \in V
;
7."乘法"可结合： \forall a,b,c \in V,(a \times b) \times c=a \times (b \times c)
；
8."乘法"存在单位元： \exist a_{1} \in V, \forall a \in V, a \times a_{1}=a
；
9."乘法"与之前定义的"加法"可分配： \forall a,b,c \in V, (a+b) \times c=a \times c+b\times c 且 a \times (b+c)=a \times b+a\times c
我们在小学的时候就已经学过，按取后继数方式的定义的"加法"和将连续相加转写的"乘法"，也就是"+"与"×"，是必然可以满足以上条件的。
但既然定义没有描述唯一性，那么满足以上定义的运算法则必然不是只有一种。接下来举一个简单一点的例子，为区别常规的"加法"与"乘法"，这里的"加法"与"乘法"以" \oplus
"与" \otimes
"表示。(见于【高等代数与解析几何】课后习题）
在空间 N^{+}
中，定义 a \oplus b=ab ,a \otimes b=a^{b}
。
可以证明这个运算法则定义完全可以满足以上对"加法"与"乘法"的所有要求——那么，在这个空间与这个运算法则下，有 1\oplus1=1
成立。
相应地，选取一些别的空间(只要这个空间里还有"1"和"2"这两个元素)，再通过别的方式定义"加法"(按题目要求，甚至可以不存在这个定义下的"乘法")，1"+"1可能得到各种意料之外的结果。
