我来搞一个比较普适的方法.
令 A(x)=4^{a+x} , B(x)=5^{a} , (a,x>0)
\ln{A(x)}=(a+x)\ln4 , \ln{B(x)}=a\ln5
\frac{\ln{A(x)}}{\ln{B(x)}}=\frac{(a+x)\ln4}{a\ln5}
令 \frac{\ln{A(x)}}{\ln{B(x)}}>1 , 得 :
x>a(\frac{\ln5}{\ln4}-1)=a\frac{\ln\frac{5}{4}}{\ln4}=a\log{_4}{\frac{5}{4}}
对于本题来说, a=4321, x=1000
所以, 本题相当于证明
1000>4321\times\log{_4}{\frac{5}{4}}
不能用计算器, 如果用计算器为什么不在题目一开始就用? 对吧?
等价于: 1000>5000\times\log{_4}{\frac{5}{4}}>4321\times\log{_4}{\frac{5}{4}}
等价于: 1>5\log{_4}{\frac{5}{4}}
等价于: 4>(\frac{5}{4})^5
等价于: 4>\frac{3125}{1024}
该不等式成立, 所以在 a=1000, x=4321 时, A(x)>B(x) , 所以 4^{5321}>5^{4321} .
Q.E.D
如果能用计算器的话就不用这么麻烦,
相除取对数大于0, 所以 4^{5321}>5^{4321}
ln()是我自己写的一个MATLAB函数, 作用和log()函数一模一样
那如果这个题更普适一点呢, 对于任意的 a^b, c^d 怎么比较大小?
睡觉了, 明天再搞.
令 A=a^b, B=c^d
当 (a,c>1) 时, (\ln{A}, \ln{B}>0)
令 \frac{\ln{A}}{\ln{B}}>1 , 解得 \frac{b}{d}>\log{_a}{c}
所以当 \frac{b}{d}>\log{_a}{c} 时, a^b>c^d
