本节，我们将考察磁旋转不稳定性，这对像形成中的恒星，中子星和黑洞这样的大质量致密中心天体周围的吸积盘特别重要。
图10.11 对椭圆星系半人马座A的可见光，微波和X射线观测（上）揭示了中止于瓣的河外喷流的存在。（图源ESO/WFI（可见光）；MPlfR/ESO/APEX/A. Weiss et al.（微波）；NASA/CXC/CfA/R. Kraft et al.（X射线）。）这些喷流的理论建模一般在MHD框架下进行（Ferreira, 1997）。在星系中心附近放大的图像（下）显示了喷流起源处重达太阳质量的 10^7 倍以上的超大质量黑洞的位置。（图源NASA/TANAMI/Müller et al.）
吸积盘由环绕着中心天体的等离子体，气体和尘埃组成，如图10.11。在近似的最低阶，盘中物质处于中心天体引力（忽略盘自身的引力）和离心力间的平衡。这些物质于是符合Kepler第三定律，这对圆轨道给出 r^{-1/2} 形式的Kepler速度。物质在粘性介质中 先验 地运动时，盘的径向各层相互摩擦，将机械能转化为热。盘中物质于是落向中心天体，释放热辐射：这正是引力势能转化为辐射能的机制。例如，在活动星系核（AGN）中，光功率可达 10^{42} \mathrm{~J} / \mathrm{s} 。在多数情形，吸积伴随着垂直于盘面的喷流形式的质量抛射，如图10.11。为打破离心力和引力间的平衡，从而物质吸积入中心天体，必须存在能从旋转物质中提取角动量的物理过程。上面说过，粘性摩擦可能有贡献，但事实上一些估计表明，粘度差了好几个数量级，太弱而无法解释观测。在其它可能的过程中，湍流似乎是输运物质的高效方式。但直到最近，人们还未意识到存在相应的线性流体动力学不稳定性，因而它如何产生过去一直是个谜团。1991年，磁旋转不稳定性被重新发现 [1] （Balbus和Hawley, 1991），并被认为是磁化吸积盘中湍流和物质输运的主要起源。
我们将在（非相对论）标准不可压缩理想无粘性MHD的简化框架下证明磁旋转不稳定性的存在。我们将考虑薄吸积盘；在柱坐标下，对速度场有
\begin{gathered} \frac{\partial u_{r}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{r}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}=-\partial_{r} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{r}-\frac{b_{\theta}^{2}}{r}-\partial_{r} \Phi &(10.129)\\ \frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{\theta}+\frac{u_{r} u_{\theta}}{r}=-\frac{1}{r} \partial_{\theta} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{\theta}+\frac{b_{r} b_{\theta}}{r}&(10.130) \\ \frac{\partial u_{z}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{z}=-\partial_{z} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{z}&(10.131) \end{gathered}
我们在盘中 r=r_0 处（如图10.12）的一参考点附近作局域考察，我们取这点处的旋转速度 u_{0 \theta}=r_{0} \Omega_{0} 为参考速度， \Omega_{0}=\Omega\left(r_{0}\right) 是轨道频率。那么速度改写成 \mathbf{u} \rightarrow r \Omega_{0} \mathbf{e}_{\theta}+\mathbf{u} ， \mathbf{u} 现在衡量相对Kepler速度的偏离，假定它很小。问题是轴对称的，我们得到
\begin{gathered} \frac{\partial u_{r}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{r}-\frac{u_{\theta}^{2}}{r}-2 \Omega_{0} u_{\theta}-r \Omega_{0}^{2}=-\partial_{r} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{r}-\frac{b_{\theta}^{2}}{r}-\partial_{r} \Phi &(10.132)\\ \frac{\partial u_{\theta}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{\theta}+\frac{u_{r} u_{\theta}}{r}+2 \Omega_{0} u_{r}=-\frac{1}{r} \partial_{\theta} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{\theta}+\frac{b_{r} b_{\theta}}{r} &(10.133)\\ \frac{\partial u_{z}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla u_{z}=-\partial_{z} P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla b_{z}&(10.134) \end{gathered}
即
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}+2 \Omega_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} \times \mathbf{u}=-\nabla P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{b}+\left(r \Omega_{0}^{2}-\partial_{r} \Phi\right) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}\quad \quad (10.135)
我们可以认出Coriolis力 -2 \Omega_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} \times \mathbf{u} 和潮汐项 \left(r \Omega_{0}^{2}-\partial_{r} \Phi\right) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} 。平衡时，假定在径向引力和离心力主导，那么盘中（ r_{1} \leq r \leq r_{2} ）任意点处有
r \Omega^{2}=\partial_{r} \Phi\quad \quad (10.136)
其中 \Phi=-\mathcal{G} M / r ， \mathcal{G} 是引力常数， M 是中心天体的质量。特别地，参考点附近在一阶有
r \Omega_{0}^{2}-\partial_{r} \Phi=r\left(\Omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)=-\left.2 \Omega_{0} r_{0}\left(r-r_{0}\right) \partial_{r} \Omega\right|_{r_{0}}=2 \Omega_{0}\left(r-r_{0}\right) S_{0}\quad \quad (10.137)
其中 S_{0}=-\left.r_{0} \partial_{r} \Omega\right|_{r_{0}} 解释成引力潮汐效应造成的层流平均剪切。最后，我们在参考点 r_0 处引入局域Descartes坐标系，如图10.12。这给出
\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}+2 \Omega_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} \times \mathbf{u} &=-\nabla P_{*}+\mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{b}+2 \Omega_{0} y S_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{y}} &(10.138)\\ \frac{\partial \mathbf{b}}{\partial t}+\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{b} &=\mathbf{b} \cdot \nabla \mathbf{u}&(10.139) \end{aligned}
这里，感应方程同先前一样。
我们寻找上述方程组的线性解。为此，注意到 \mathbf{u}=S_{0} y \mathbf{e}_{\mathbf{x}} 是线性方程的一个特解很有用。均匀磁场 b_{0} \mathbf{e}_{\mathbf{z}} 穿过吸积盘时，可在这剪切解附近得到线性解 \left(\mathbf{u}_{1}, \mathbf{b}_{1}\right) 。线性化的柱对称方程组可写成
\begin{aligned} &\frac{\partial \mathbf{u}_{1}}{\partial t}=\left(2 \Omega_{0}-S_{0}\right) u_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}-2 \Omega_{0} u_{1 x} \mathbf{e}_{\mathbf{y}}-\nabla P_{*}+b_{0} \partial_{z} \mathbf{b}_{1} &(10.140)\\ &\frac{\partial \mathbf{b}_{1}}{\partial t}=b_{0} \partial_{z} \mathbf{u}_{1}+S_{0} b_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}&(10.141) \end{aligned}
我们引入记号
\begin{aligned} &\mathbf{u}_{1} \rightarrow \mathbf{u}_{1} \exp \left(i\left(k_{y} y+k_{z} z-\omega t\right)\right) &(10.142)\\ &\mathbf{b}_{1} \rightarrow \mathbf{b}_{1} \exp \left(i\left(k_{y} y+k_{z} z-\omega t\right)\right)&(10.143) \end{aligned}
那么
\begin{aligned} -i \omega \mathbf{u}_{1} &=\left(2 \Omega_{0}-S_{0}\right) u_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}-2 \Omega_{0} u_{1 x} \mathbf{e}_{\mathbf{y}}-i \mathbf{k} P_{*}+i k_{z} b_{0} \mathbf{b}_{1} &(10.144)\\ -i \omega \mathbf{b}_{1} &=+i k_{z} b_{0} \mathbf{u}_{1}+S_{0} b_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}&(10.145) \end{aligned}
最终有
\left(\omega^{2}-k_{z}^{2} b_{0}^{2}\right) \mathbf{b}_{1}=i \omega 2 \Omega_{0} b_{1 y} \mathbf{e}_{\mathbf{x}}-k_{z} b_{0} P_{*} \mathbf{k}-2 \Omega_{0}\left(S_{0} b_{1 y}+i \omega b_{1 x}\right) \mathbf{e}_{\mathbf{y}}\quad \quad (10.146)
一些操作后，我们得到色散关系
\omega^{4}-\left(\alpha^{2} \kappa^{2}+2 k_{z}^{2} b_{0}^{2}\right) \omega^{2}-k_{z}^{2} b_{0}^{2}\left(2 \Omega_{0} S_{0} \alpha^{2}-k_{z}^{2} b_{0}^{2}\right)=0\quad \quad (10.147)
其中 \kappa^{2} \equiv 2 \Omega_{0}\left(2 \Omega_{0}-S_{0}\right) 是本轮频率， \alpha \equiv k_{z} / k 。通解是
\omega_{\pm}^{2}=k_{z}^{2} b_{0}^{2}+\frac{\alpha^{2} \kappa^{2}}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{4} \kappa^{4}+16 k_{z}^{2} b_{0}^{2} \Omega_{0}^{2} \alpha^{2}}\quad \quad (10.148)
对解 \omega_{-}^{2} 的考察揭示了，特定条件下会出现不稳定性：稳定性条件 \omega_{-}^{2}>0 给出
k b_{0}>\sqrt{2 \Omega_{0} S_{0}}=\sqrt{\frac{4}{3}} S_{0}\quad \quad (10.149)
最后一个等号对Kepler盘成立，它满足 S_{0}=3 \Omega_{0} / 2 ， \kappa^{2}=4 S_{0}^{2} / 9 。因此，强磁场 b_0 可稳定化盘。但弱些的场 b_0 造成 磁旋转不稳定性 ，这基本上发生在大尺度上，也就是 k 很小时。因此，对一定范围内的 b_0 ，吸积盘是不稳定的。最后，容易证明Kepler情形下磁旋转不稳定性的增长率在
k b_{0}=\sqrt{\frac{5}{12}} S_{0}\quad \quad (10.150)
时最大。特别地， \alpha=1 时，我们得到 \omega_{-}^{2}=-S_{0}^{2} / 4 ，那么增长率是
\gamma_{\max }=S_{0} / 2\quad\quad (10.151)
这是相当大的数：为体会这点，我们可以计算盘旋转一周，也就是 \tau=2 \pi r_{0} / u_{0 \theta}=2 \pi / \Omega_{0} 时不稳定性增长了多少。这给出
\exp \left(\gamma_{\max } \tau\right)=\exp \left(\frac{3 \pi}{2}\right)>110\quad \quad (10.152)
在这时标下，磁旋转不稳定性的增长是爆炸性的。图10.13对不同 \alpha 显示了 S_0=1 时的解 \omega_{-}^{2} 。注意，在这些条件下，强场下磁旋转不稳定性系统地消失。
参考
- ^ 事实上，E. Velikhov（1959）和S. Chandrasekhar（1960）第一次强调磁旋转不稳定性的存在。
