昨晚看到某群群友分享了大炮打蚊子做法。我也想试一下（
首先我们知道 \mathbb{Q} 可以看做 \\\mathbb{Z}\stackrel{1}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{2}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\stackrel{3}{\longrightarrow}\mathbb{Z}\rightarrow\cdots\mathbb{Z}\stackrel{n}{\longrightarrow}\cdots
的direct limit，其中 n 代表映射 q\mapsto nq .
考虑 f_n:\mathbb{S}^1\to\mathbb{S}^1:e^{\sqrt{-1}\theta}\mapsto e^{\sqrt{-1} n\theta} ，从 \\\mathbb{S}^1\stackrel{f_1}{\longrightarrow}\mathbb{S}^1\stackrel{f_2}{\longrightarrow}\mathbb{S}^1\stackrel{f_3}{\longrightarrow}\mathbb{S}^1\rightarrow\cdots\mathbb{S}^1\stackrel{f_n}{\longrightarrow}\cdots
构造mapping telescope，得到一个CW复形 X ，注意到它的万有复叠是 \\\mathbb{R}\stackrel{1}{\longrightarrow}\mathbb{R}\stackrel{2}{\longrightarrow}\mathbb{R}\stackrel{3}{\longrightarrow}\mathbb{R}\rightarrow\cdots\mathbb{R}\stackrel{n}{\longrightarrow}\cdots
的mapping telescope，它是可缩的。并且 \pi_1(X)=H_1(X;\mathbb{Z})=\mathbb{Q} ，因此事实上 X=K(\mathbb{Q},1) .
如果 \mathbb{Q} 是有限生成的，那么我们有 \mathbb{Q}\cong \mathbb{Z}^{\oplus m} 对某一 m\in\mathbb{N} 成立，因此又有 K(\mathbb{Q},1)=\mathbb{T}^m=(\mathbb{S}^1)^m .
由于所有 K(\mathbb{Q},1) 都同伦等价，我们知道 X\simeq \mathbb{T}^m . 于是 H_\ast(X;\mathbb{Z})\cong H_\ast(\mathbb{T}^m;\mathbb{Z}) .
但 H_m(X;\mathbb{Z})=\lim_{\longrightarrow}H_m(\mathbb{S}^1;\mathbb{Z})=\begin{cases}0&m>1\\\mathbb{Q}&m=1\end{cases} ， H_m(\mathbb{T}^m;\mathbb{Z})=\mathbb{Z} .
因此 m=1 且 \mathbb{Q}\cong\mathbb{Z} . 设 \mathbb{Q}=\langle \frac{p}{q}\rangle, (p,q)=1 ，则 \frac{1}{p}\notin\mathbb{Q} ，矛盾。
