TREE(3)有多大这个问题其实知乎上已经有很多回答了，我本人也回答过，但是由于 A^{A(187196)}(1) 这个离谱的东西再一次被拿出来，所以我决定再回答一次。
先说结论： A^{A(187196)}(1) 和 TREE(3) 毫无关系，前者是后者的下界是一个在简中互联网广为流传的谣言。
要是实在抠字眼也算对，毕竟 TREE(3) 确实大于 A^{A(187196)}(1) ，不过要这么算的话，1也是 TREE(3) 的下界，毕竟 TREE(3) 也大于1。 A^{A(187196)}(1) 在作为 TREE(3) 下界时，和1没有区别，都毫无意义，因为 TREE(3) 早就已经有了远好过它们的下界。
下面我将用两个工具表示出 TREE(3) 的一个较好的下界。注意：本文下面所介绍的只是这两种工具「使用方法」，并不是它们的正确定义，我们只需要知道怎么用就可以了。
第一个工具叫做 FGH(Fast~~Grow~~Hierarchy) ，即快速增长层级。它是一系列函数：
f_0(n)=n+1\\ f_{α+1}(n)=f_α(f_α(f_α(..f_α(n))))←n层\\ 最基础的是 f_0(n)=n+1 ，它就是让自变量加一：
f_0(0)=0+1=1\\ f_0(1)=1+1=2\\ f_0(2)=2+1=3\\ f_0(3)=3+1=4\\ f_0(100)=100+1=101\\ 而第二条就是它的增长方法，这时有人可能疑惑：函数下标上的这个 α 是个什么东西？
α 是一个序数，可以是后继序数也可以是极限序数，但是这里我们不探讨这二者，也不用管这个定义，只是为了使用 FGH 的话，我们可以简单粗暴的将 α 看做「一坨东西」的简写。
比如在 f_{5}(n)=f_{4+1}(n) 中， α 就是4
在 f_{100×114514-1919810+4396^{777}+1}(n) 中，α就是 100×114514-1919810+4396^{777}
在 f_{@$^\&!+1}(n) 中，α就是 @$^\&! ——至于「 @$^\&! 」这坨我随便乱写的鬼画符是什么并不重要，who cares？
于是根据第二条的定义，我们就有了：
f_{5}(n)=f_{4+1}(n)=f_{4}(f_{4}(f_{4}(..f_{4}(n))))\\ f_{100×114514-1919810+4396^{777}+1}(n)=f_{100×114514-1919810+4396^{777}}(f_{100×114514-1919810+4396^{777}}(...f_{100×114514-1919810+4396^{777}}(n)))\\ f_{@$^\&!+1}(n)=f_{@$^\&!}(f_{@$^\&!}(f_{@$^\&!}(...f_{@$^\&!}(n))))\\ 对，即便 α 是一坨不知道什么玩意儿的鬼画符，我们也可以直接将其展开成套娃。而展开的层数，或者说套娃的层数，就是自变量n，n是多大，就有多少层：
f_1(2)=f_{0+1}(2)=f_0(f_0(2))=f_0(3)=4\\ f_1(3)=f_{0+1}(3)=f_0(f_0(f_0(3)))=f_0(f_0(4))=f_0(5)=6\\ f_1(5)=f_0(f_0(f_0(f_0(f_0(5)))))=10\\ f_2(3)=f_1(f_1(f_1(3)))=f_1(f_1(f_0(f_0(f_0(3))))=f_1(f_1(6))=f_1(12)=24\\ f_3(3)=f_2(f_2(f_2(3)))=f_2(f_2(24))=f_2(f_1(f_1(f_1(...f_1(24)))))←24层f_1\\ ~~~~~~~~~=f_2(24×2^{24})=f_1(f_1(f_1(...f_1(24×2^{24}))))←24×2^{24}层f_1\\ ~~~~~~~~~=24×2^{24}×2^{24×2^{24}}
于是这样，我们可以有无数个函数，每一个我们都可以算出它是多大，并且我们可以发现，比起让自变量n增长，让函数的下标增长是一个相当厉害的东西,： f_0(3) 只是4， f_1(3) 只是6， f_2(3) 只是24，而 f_3(3) 就已经是一个非常巨大的数字了，可以想象 f_4(3) 有多大。
【这里给出一个结果：葛立恒数的 G(1) ，它约等于 f_5(3) 】
于是，为了让函数的下标增长的更快，我们在下标上引入一个新的东西： \omega
它是第一个极限序数，是1+1+1+1....加无限次的结果，代表全体自然数的上界——太复杂了，我们只是要用它来算数而已，我们不用管它到底是什么东西，Nobody cares~
和之前的 α 一样，我们就把它当做一个符号，它的作用是在下标无法被展开时「变成自变量」，来看看例子吧！
f_\omega(3)=f_{3}(3)\\ f_\omega(5)=f_{5}(5)\\ f_\omega(100)=f_{100}(100)\\ f_\omega(114514)=f_{114514}(114514)\\ 而当它套娃时，我们就要注意「自变量」到底是什么了： f_\omega(f_\omega(3)) ，最右边的 \omega ，它的自变量是3。但左边这个 \omega 呢？它的自变量可不是3，而是 f_\omega(3)=f_3(3) ，所以左边这个 \omega 会变成 f_3(3) ，也就是：f_\omega(f_\omega(3))=f_\omega(f_3(3))=f_{f_3(3)}(f_3(3))\\
这样，我们就实现了我们引入 \omega 的目标：让函数下标增大——把上一个函数的计算结果当做下标输入给下一个函数，这不比「加一加一加一」地增加下标快多了？
【这里给出第二个结果： A(187196) 的这个A函数有 A(n)≈f_\omega(n) 】
别忘了，函数下标上的 α 可以代指任何东西，它当然也可以代指 \omega ，于是我们自然可以有 \omega+1 这样的东西，我们给 \omega 加了1。它要怎么展开呢？难道 f_{\omega+1}(3)=f_{3+1}(3)=f_{4}(3)?
当然不是，让我们回看 \omega 的作用，它并不是在任何情况下都变成自变量而是在「下标无法被展开时」变成自变量。 \omega+1 显然可以展开，它就是：
f_{\omega+1}(n)=f_{\omega}(f_{\omega}(f_{\omega}(...f_{\omega}(n))))\\ 当然，自变量是多少，就展开多少层，不止现在是这样，以后所有我们需要展开的时候，都是「自变量是多少，就展开多少层」。
于是我们有了结论： f_{\omega+1}(3)≠f_{3+1}(3)=f_{4}(3) ，它是
f_{\omega+1}(3)=f_{\omega}(f_{\omega}(f_{\omega}(3)))\\ 【这里给出第三个结果：葛立恒数 G(64)≈f_{\omega+1}(64) 】
既然我们有了 \omega+1 ，自然也可以有 \omega+2、\omega+3、\omega+4... 等等一系列东西，它们都可以像上面那样被展开计算：
f_{\omega+2}(3)=f_{\omega+1}(f_{\omega+1}(f_{\omega+1}(3)))\\ f_{\omega+3}(2)=f_{\omega+2}(f_{\omega+2}(2))\\ f_{\omega+4}(4)=f_{\omega+3}(f_{\omega+3}(f_{\omega+3}(f_{\omega+3}(4))))\\ 【这里给出第四个结果： A^{A(187196)}(1)≈f_{\omega+1}(f_\omega(187196))<f_{\omega+1}(f_{\omega+1}(3)) 】
我们一直给 \omega 「加一」，直到这样的尽头，它会是......没错， \omega+\omega=\omega×2
就像 f_{\omega+1}(n)≠f_{n+1}(n) 一样， f_{\omega×2}(n) 自然也不是 f_{n×2}(n) ，而是：
f_{\omega×2}(n)=f_{\omega+\omega}(n)=f_{\omega+n}(n)\\ 就像之前一样，它也可以被加一：
f_{\omega×2+1}(n)=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(...f_{\omega×2}(n))))\\ f_{\omega×2+1}(3)=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(3)))=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega+\omega}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega+3}(3)))=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega+2}(f_{\omega+2}(f_{\omega+2}(3)))))=......\\ 可以看到， f_{\omega×2+1}(3) 这个数字已经相当可怕了， A^{A(187196)}(1) 连上面最内层的 f_{\omega+2}(3) 都打不过，而三层 f_{\omega+2} 算完之后的巨无霸数字，会被第二个 \omega×2 拿去「变身」，假如我们设这个巨无霸数字是"卧槽"，那么就有：
f_{\omega×2+1}(3)=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(卧槽))=f_{\omega×2}(f_{\omega+\omega}(卧槽))=f_{\omega×2}(f_{\omega+卧槽}(卧槽))\\ 然而，最外面还有一层 \omega×2 ......
让我们继续，因为能加一，就肯定能一直加，就肯定会有这样的东西出现： \omega×3=\omega×2+\omega
自然也可以把它当做下标丢进 FGH 里：
f_{\omega×3}(n)=f_{\omega×2+\omega}(n)=f_{\omega×2+n}(n)\\ 于是...... \omega×3+1 说，你好：
f_{\omega×3+1}(3)=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×2+\omega}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×2+3}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×2+2}(f_{\omega×2+2}(f_{\omega×2+2}(3)))))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=......
我说停停，不要再算了，要坏掉了。
到这里，聪明的小伙伴肯定已经发现了，我们可以把 \omega 当做一个特殊的数字计算：
1+1+1+1...加无限次，就是ω。
ω+1+1+1+1....加无限次，就是ω+ω=ω×2。
ω×2+1+1+1+1...加无限次，就是ω×2+ω=ω×3。
ω×3+1+1+1+1...加无限次，就是ω×3+ω=ω×4。
于是这样重复无限次，就有了ω×ω=ω^2，反正咱们把它当数字算，这很合理.jpg
还没完呢，咱们可以继续加：
ω^2+1+1+1...加无限次，就是ω^2+ω。
ω^2+ω+1+1+1...加无限次，就是ω^2+ω+ω=ω^2+ω×2。
直到再来一轮无限次的重复，就有了ω^2+ω^2=ω^2×2。
顺着这样操作，ω^2×3，ω^2×4...都会自然出现，在它们的最后，是ω^2×ω=ω^3。
继续这样一直操作，我们还可以有ω^4、ω^5....而在它们的最后，是ω^ω。
当然这还依然没有结束，ω^ω还可以继续操作，ω^ω+1一样是可以的。不仅可以+1，还可以乘2：ω^ω×2，还可以乘ω：ω^ω×ω= ω^{ω+1} ......直到ω的指数也变成了ω^ω： ω^{ω^ω}
直到ω指数上的ω的指数也变成了ω^ω： ω^{ω^{ω^ω}} ，直到ω的指数叠加了ω层......
为什么我要说这些呢？因为顺着走这条路，我们可以一直往上爬得到非常巨大的ω的运算，而把它们丢进 FGH 里展开时，需要将它们拆开，也就相当于逆着走这条路。来看看例子吧！
f_{ω^3}(3)=f_{ω^2×\omega}(3)=f_{ω^2×3}(3)=f_{ω^2×2+ω^2}(3)=f_{ω^2×2+ω×\omega}(3)=f_{ω^2×2+ω×3}(3)=f_{ω^2×2+ω×2+\omega}(3)=f_{ω^2×2+ω×2+3}(3)=f_{ω^2×2+ω×2+2+1}(3)
随着我们让 \omega 不断地变成自变量，我们最后一定总是会得到 α+1 这样的形式，我们就可以用 FGH 的第二条规则来展开，就比如上面的例子中， α 就是 ω^2×2+ω×2+2 。
更复杂的例子一样可以像这样通过让 \omega 不断变成自变量来得到 α+1 的形式：
f_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3)=f_{\omega^{\omega^{3}}}(3)=f_{\omega^{\omega^{2}×\omega}}(3)=f_{\omega^{\omega^{2}×3}}(3)...参考上面的展开例子,有原式=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+3}}(3)=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+2}×\omega}(3)...这一步或许有的朋友看不太懂，这是因为:\\\omega^{α+1}=\omega^α×\omega，在这里α=ω^2×2+ω×2+2，于是我们可以继续：\\ 原式=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+2}×3}(3)=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+2}×2+\omega^{ω^2×2+ω×2+2}}(3)=......
我再说停停， \omega^{\omega^{\omega}} 这个东西已经足够大了，即便自变量只取3，要想把它变成 α+1 的形式也要写上好久了。这个数字的结果已经是葛立恒数和 A^{A(187196)}(1) 望尘莫及的了，事实上，即便是 f_{\omega^3}(3) ，对这两者来说也一样是望尘莫及。
但是，想要表示 TREE(3) 的一个较好下界，我们还得继续。
刚才，我们得到的最大的东西是一个 \omega 的无限层指数塔，也就是 \omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}} 这样的一个东西。那不如......咱们想个办法，让这个指数塔的层数也可以随着自变量的增加而增加？
于是就引出了我们的第二个工具： OCF ，它的中文名字可以叫「序数坍缩函数」，听起来不明觉厉，所以咱们也不管它本来的定义与规则是咋样的，反正，又不是不能用.jpg
OCF 是类似这样的东西： \psi(α) 。同样地，这里的 α 也是代指任何东西。和 FGH 一样，我们也需要知道如下两个规则：
1、\psi(0)=\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}\\ 2、\psi(α+1)=\psi(α)^{\psi(α)^{\psi(α)^{.^{.^{.^{\psi(α)}}}}}}
有了这两个规则，我们就可以把它丢进 FGH 里当做函数的下标来展开计算了，同样地， OCF 的展开咱们也是遵循「自变量是多大就展开多少层」这个规则：
f_{\psi(0)}(3)=f_{\omega^{\omega^\omega}}(3)\\ f_{\psi(0)}(5)=f_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}(5)\\ f_{\psi(0)}(10)=f_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}}}}}}}(10)\\ f_{\psi(0)}(100)=f_{\omega^{\omega^{总之这里一共有100层}}}(100)
同样地，咱们也可以把一个 OCF 的表达式，也就是 \psi(...) 这样的东西看做 α ，然后给它做和 \omega 一样的运算。事实上，聪明的朋友在看到 OCF 的第二条规则时，肯定就已经想到这一层了。能运算，就能展开：
f_{\psi(0)+1}(n)=f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(...f_{\psi(0)}(n))))\\ f_{\psi(0)+\omega}(n)=f_{\psi(0)+n}(n)\\ f_{\psi(0)×2}(n)=f_{\psi(0)+\psi(0)}(n)=f_{\psi(0)+\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}}(n)\\ f_{\psi(0)×\omega}(n)=f_{\psi(0)×n}(n)\\ f_{\psi(0)^2}(n)=f_{\psi(0)×\psi(0)}(n)=f_{\psi(0)×\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}}(n)\\ f_{\psi(0)^{\omega}}(n)=f_{\psi(0)^n}(n)\\ f_{\psi(0)^{\psi(0)}}(n)=f_{\psi(0)^{\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}}}(n)\\
想象一下 f_{\psi(0)+1}(3)=f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(3))) ，仅仅是 f_{\psi(0)}(3)=f_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3) ，3层 \omega 的指数塔已经是一个远远超越葛立恒数和 A^{A(187196)}(1) 的数字了，而它却仅仅是 f_{\psi(0)+1}(3) 展开的第二层里，那个 \psi(0) 会变成的 \omega 的指数塔的层数！更别提第二层之外还有第三层，这还仅仅只是 \psi(0)+1 ，TREE(3) 的深渊才刚刚起步......
我们在上面写了 \psi(0)^{\psi(0)} 这样的东西，根据 OCF 第二条规则，我们自然知道， \psi(0) 的无限层指数塔就是 \psi(1) ，把它丢进 FGH 里，我们就可以用自变量的大小当做 \psi(0) 的指数塔层数，而每一个 \psi(0) 又都是 \omega 的指数塔堆砌而成的：
f_{\psi(1)}(3)=f_{\psi(0)^{\psi(0)^{\psi(0)}}}(3)=f_{\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^\omega}}}}(3)=f_{\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^3}}}}(3)=......
到这里我已经失去了想象每一个数字间差距的能力，或者说早就失去了。 f_{\psi(1)}(4) 和 f_{\psi(1)}(3) 之间究竟差了多远？无法想象。
【但有趣的是，我们又可以说， f_{\psi(1)}(4) 和 f_{\psi(1)}(3) 是基本相等的。因为你看，他们只不过是一个自变量取3一个自变量取4而已呀，后面还有5、6、7、8...乃至 f_{\psi(1)}(3) 本身呢。而且就算再套两次娃，达到 f_{\psi(1)+1}(3) ，好像 \psi(1) 和 \psi(1)+1 也没什么区别呀？毕竟从 \psi(0) 到 \psi(1) 都有不知道多少个无限的+1了。】
还是先继续前进吧。有了 \psi(0) 与 \psi(1) ，我们理所当然的可以有任何自然数的 \psi(n) ，在这之上，我们还可以有 \psi(\omega) ，它可以把 \psi() 内的数字变成自变量。
f_{\psi(\omega)}(3)=f_{\psi(3)}(3)=f_{\psi(2)^{\psi(2)^{\psi(2)}}}(3)=...\\ f_{\psi(\omega)}(100)=f_{\psi(100)}(100)=...
就像最开始的那样， \omega 不是终点， \psi(\omega) 自然也不是，它之后还可以有 \psi(\omega+1) 。同样如同展开 f_{\omega+1}(n) 那样， f_{\psi(\omega+1)}(n) 也不是 f_{\psi(n+1)}(n) 而是 f_{\psi(\omega)^{\psi(\omega)^{\psi(\omega)^{.^{.^{.^{\psi(\omega)}}}}}}}(n) 。
\psi() 的内部开始不断地增加，就如同 \omega 到 \psi(0) 一样， \psi() 的内部也到达了 \psi(0)
即： \psi(\psi(0)) ，展开例子如下：
f_{\psi(\psi(0))}(n)=f_{\psi(\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}})}(n)\\ f_{\psi(\psi(0))}(3)=f_{\psi(\omega^{\omega^{\omega}})}(3)=f_{\psi(\omega^{\omega^{3}})}(3)=...
即然 \psi() 内部可以变成 \psi(0) ，那这个内部的 \psi() 里面自然也可以变成 \psi(0) ，即:\psi(\psi(\psi(0)))
如此可以重复直至 \psi() 嵌套了无限层，即 \psi(\psi(\psi(...\psi(0)))) 。还能继续吗？当然可以！接下来我们要引入一个新的东西以及 OCF 的第三个规则。
那就是 Ω 以及 Ω 的展开方式。
Ω 是最小的非递归序数，而 \psi(Ω) 定义为......又要开始听不懂的东西了，老规矩，统统不管！我们只关注这东西怎么用就行了。
我们把 Ω 看做一个「折叠符号」即可。
谁的折叠符号？答：包含它的那个 \psi 函数的。
它折叠什么东西？答：包含它的那个 \psi 函数括号内部的、除了 Ω 自己以外的其他所有东西。
让我们来举例说明这二点，首先，包含它的那个 \psi 函数指的是最近一层的那一个，毕竟我们已经知道了 \psi 函数可以套娃，所以它可以被许多 \psi 函数包含，比如：
\psi(Ω^2+\psi(Ω))\\ 对于内部这个 Ω ，也就是 \psi(Ω^2+\psi(Ω_{看我看我})) ，它被两个 \psi 函数包含着，而内部这个 \psi 离它最近，所以它是内部这个 \psi 的折叠符号： \psi(Ω^2+\psi_{是我的}(Ω_{看我看我})) 。
然后，它折叠除了它自己以外的其他所有东西。什么意思呢？
1、我们看它对应的 \psi 和 \psi 的括号里都有什么东西： \psi_{是我的}(Ω_{看我看我})
2、去掉 Ω 它自己还剩下： \psi_{是我的}() ，于是它就折叠这些内容，折叠无限层：
\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(...))))\\ 最内层如果是空的，我们就给它补一个0： \psi_{是我的}(\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(...\psi_{是我的}(0))))
所以最初的式子展开即为：
\psi(Ω^2+\psi(Ω))=\psi(Ω^2+\psi(\psi(\psi(...\psi(0)))))\\ 把它放进 FGH 里面，就是自变量是多大，就展开多少层——这句话好像说过好多次了。
细心的朋友就发现了，我们先前的终点 \psi(\psi(\psi(...\psi(0)))) 就可以写成 \psi(Ω) 。
我们可以这样按「三步走」的方式说明 Ω 的展开：
第一步：找到要展开的 Ω 所对应的 \psi 函数
第二步：把要展开的 Ω 变成一个方框，比如上面的例子 \psi(Ω^2+\psi(□))
第三步：不断地用对应的 \psi 函数和它内部剩下的东西替换掉方框：
第1次替换：\psi(Ω^2+\psi(\psi(□)))\\ 第2次替换：\psi(Ω^2+\psi(\psi(\psi(□))))\\ 第3次替换：\psi(Ω^2+\psi(\psi(\psi(\psi(□)))))\\ ...
这样进行无限次（在 FGH 中就是自变量的数值那么多次），就是它的展开了。
而更细心的朋友则注意到了，我在例子中写了一个 Ω^2 这样的东西。这说明， Ω 这个「折叠符号」也可以做运算！ \psi(Ω+1) 这个东西是存在的，它可以直接用 OCF 的第二条规则展开。
\psi(Ω+1)=\psi(Ω)^{\psi(Ω)^{\psi(Ω)^{.^{.^{.^{\psi(Ω)}}}}}}\\ Ω 与自然数或者之前提到的 \omega 以及 \psi() 的运算的展开方式是一模一样的：f_{\psi(Ω+\omega)}(3)=f_{\psi(Ω+3)}(3)=f_{\psi(Ω+2)^{\psi(Ω+2)^{\psi(Ω+2)}}}(3)\\ f_{\psi(Ω+\psi(1))}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(0)^{\psi(0)^{\psi(0)}})}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^\omega}}})}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^3}}})}(3)\\ 接下来让我们来看一个最简单的 Ω 与 Ω 运算应该怎么展开：
\psi(Ω×2)=\psi(Ω+Ω)\\ 就和把 \omega 变成自变量是有顺序的一样，展开 Ω 也要按顺序展开。上面里我们要展开的就是它：
\psi(Ω+Ω_{就是我})\\ 按照我们三步走第一步，找到它对应的 \psi 函数，就是包含他、且离它最近的那一个，当然就是唯一的这一个了：
\psi_{我包含他且离它最近}(Ω+Ω_{就是我})\\ 第二步，把要展开的 Ω 变成方框：
\psi_{我包含他且离它最近}(Ω+□)\\ 第三步，用对应的 \psi 函数以及 \psi 函数里剩下的东西替换掉方框：
原式：\psi_{都知道是我了就不一直说了}(Ω+□)\\ 第1次替换:\psi_{记住我啊}(Ω+\psi_{记住我啊}(Ω+□))\\ 第2次替换:\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+□)))\\ 第3次替换:\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+□))))\\ ...\\ 直到最后一次，最内层的□给它去掉(如果最内层是空的，就补个0):\\ \psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+...\psi(Ω)))))
这样，展开就完成了。让我们把它放进 FGH 里看看：
f_{\psi(Ω×2)}(3)=f_{\psi(Ω+Ω)}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω)))}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(\psi(\psi(0)))))}(3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(\psi(\omega^{\omega^{\omega}}))))}(3)=......
聪明的小伙伴又注意到了：我们所折叠、替换的东西，是包括加号，也就是「+」这个运算符号的。那么乘号，也就是「×」呢？当然也是一样的！来看：
\psi(Ω^2)=\psi(Ω×Ω)\\ 三步走第一步，找到要展开的 Ω 和它对应的 \psi 函数：
\psi(Ω^2)=\psi_我(Ω×Ω_我)\\ 三步走第二步，把要展开的 Ω 变成方框，：
\psi(Ω^2)=\psi_我(Ω×□)\\ 三步走第三步，用对应的 \psi 函数和它里面剩下的东西不断地替换掉方框：
\psi(Ω×□)\\ \psi(Ω×\psi(Ω×□))\\ \psi(Ω×\psi(Ω×\psi(Ω×□)))\\ ......\\ 最终就得到了它的展开式：
\psi(Ω^2)=\psi(Ω×\psi(Ω×\psi(Ω×...\psi(Ω))))\\ 再来一个混合型的：
\psi(Ω^2+Ω)\\
第一步，找 Ω 和它的对应 \psi 函数，大家应该都很熟练了。
第二步，变成方框：
\psi(Ω^2+□)\\
第三步，不断地替换掉方框：
\psi(Ω^2+□)\\ \psi(Ω^2+\psi(Ω^2+□))\\ \psi(Ω^2+\psi(Ω^2+\psi(Ω^2+□)))\\ \psi(Ω^2+\psi(Ω^2+\psi(Ω^2+\psi(Ω^2+□))))\\ ......\\ 再来一个混合型的混合型：
\psi(Ω^2×2)\\ 这里，我们先把这个 Ω 的运算拆开，就像拆开 \omega 的运算那样：
\psi(Ω^2×2)=\psi(Ω^2+Ω^2)=\psi(Ω^2+Ω×Ω)\\ 于是我们要展开的就是它了：
\psi(Ω^2×2)=\psi(Ω^2+Ω^2)=\psi(Ω^2+Ω×Ω_我)\\ 老规矩，不要看这里加号乘号混在一起，就一个字：不管！我们直接变方框再接替换：
\psi(Ω^2+Ω×□)\\ \psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×□))\\ \psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×□)))\\ \psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×□))))\\ ......\\ 最后再来看看指数上的 Ω ：\psi(Ω^Ω)
一样是老规矩！变方框： \psi(Ω^□) ，再接替换：
\psi(Ω^□)\\ \psi(Ω^{\psi(Ω^□)})\\ \psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω^□)})})\\ \psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω^□)})})})\\ ......\\
指数上的运算：
\psi(Ω^{Ω+1})=\psi(Ω^{Ω}×Ω)=\psi(Ω^{Ω}×\psi(Ω^{Ω}×\psi(Ω^{Ω}×\psi(Ω^{Ω}×...))))
指数上的Ω与Ω的运算：\psi(Ω^{Ω×2})=\psi(Ω^{Ω+Ω})\\ 先变成方框：
\psi(Ω^{Ω+□})\\ 再替换：
\psi(Ω^{Ω+□})\\ \psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+□})})\\ \psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+□})})})\\ \psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+□})})})})\\ ......\\ 稍微有些复杂的混合型： \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)})\\ 不管再复杂都是一样的先找对应的 \psi ，再变成方框：
\psi_{不是我，我没里面那个近}(Ω^{Ω^2×\psi_{注意哦，我才是包含它且离它最近的\psi}(Ω^Ω+□)})\\
最后替换：
\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+□)})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+□))})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+□)))})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+□))))})\\ ......\\ 最后再来一个有些复杂的混合型：
\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^Ω)\\
\psi_{这次是我了，里面那个\psi没包含要展开的那家伙}(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{Ω_{要展开的是我}})\\ 标注一下，别找错了 Ω 和它对应的 \psi 。然后还是变方框再接替换：
\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)})})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)})})})\\ ......\\ 于是，在写了这么一大篇之后，我们终于可以表示 TREE(3) 的一个较好的下界了：
TREE(3)>f_{\psi(Ω^{Ω^\omega}×4)×\psi(Ω^{Ω^\omega})}(f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(3)+1))\\~\\ ~\\~\\~\\ps：严格来说，应该是f_{\psi(Ω^{Ω^\omega}×4)×\psi(Ω^{Ω^\omega})}(tree(tree(3)+1))\\ 最最后，让我们尝试展开一下最里面的这个 f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(3) ：
f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^3})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×Ω})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2})})})}(3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×Ω})})})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω})})})})})}(3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω)})})})})})})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(\psi(\psi(0)))})})})})})})}(3) ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(\psi(\omega^{\omega^{\omega}}))})})})})})})}(3)\\=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(\psi(\omega^{\omega^{3}}))})})})})})})}(3)\\ =......
失败了，展开它至 α+1 的形式是不可能的，因为需要的步数太大了。
事实上，即便是 f_{\psi(Ω^{Ω+1})}(3) ，仅仅是将它展开至 f_{α+1}(3) 的形式所需的步数——
注意！
是展开它所需要的步数而不是它的具体数值本身，仅仅是这个步数——
就已经超过了葛立恒数和 A^{A(187196)}(1) 。
本回答所讲的 FGH 和 OCF 均不是它们原本的定义，也不是正确的定义，是一个非常不严谨的、只是为了讲解 TREE(3) 有多大而阉割出来的版本。
