來寫一個機率論版本的例子。當然機率論復雜度和抽象度都遠無法和範疇相比（範疇學得頭禿），但其復雜程度，在普通人日常生活中最經常使用的「買菜用數學」中，大約還是首屈一指的。
一開始，我們只有頻數。我們擲骰子100次，51面向上，頻率0.51. 由此我們抽象出了機率——讓一個事件反復發生，我們猜測它的機率是 p 。當然這件事情的嚴格證明是大數定律的事情了，至少我們的直觀感受是這樣的。
既然有了機率測度，我們當然想要用它做一些事情。於是有了古典概型（事件數有限，點集測度）和幾何概型（事件數無限）。隨後又很自然的推廣到了無窮維空間（當然此時理解這件事情需要測度論）——是為隨機過程。
連續時間隨機過程裏，單個事件是一個從時間 t \in \mathbb{R} 到某個空間 V 的函式，並有某些規則約束我們考察的狀態空間。（你可能會問，為什麽不考察單個函式出現的機率？因為這可是幾何概型呀，單個事件發生機率為0）
最簡單的連續時間隨機過程是一維布朗運動（維納過程）W_t 。一個典型的維納過程滿足以下4個條件：
這樣4個條件可以唯一確定一個隨機過程，維納過程。你可能會期待維納過程有像高中學過的機率那樣簡單易懂——但是在隨機過程裏，這麽美好的事情顯然是無法存在的。無論如何，我們還是很容易想象這個過程的；給定一個區域（比如說要求在某些 t 的時候必須在某個區間），我們也很容易（相對來說）精確的計算這個機率。
Well，既然維納過程連續，我們可以形式上對它做微元（感謝評論區兩位大大更正），亦即對於一階可導函式 f(t) ，我們總可以計算 \lim_P \sum_P f \Delta W_t （其中P取遍所有劃分），並將其形式上記為\int f \text{d} W_t （分析手段進入了隨機過程）。（ @Owen Chen 指出，當 f 是 W_t 和 t 的函式的時候，只需考慮左值求和就好。）同時我們也有
\int_0^t (\text d W_t)^n = \begin{cases} W_t & \text{if } n = 1, \\ t & \text{if } n = 2, \\ 0 & \text{if } n \geq 3. \end{cases}
從而我們可以考察一個含有維納過程的隨機微分方程式（伊藤過程）
\text d X = a(X,t) \text d W_t + b(X,t) \text d t .
伊藤定理指出，對於任意一個關於 X 和 t 的二階連續函式 f(X,t) ，恒有下式成立：
\text d f = f_2 \text d t + (f_1 \text d X + \frac{f_{11}}{2} a^2 \text d t) .
Somehow這個展開很類似於泰勒展開，不過我沒有學伊藤定理的證明，所以不敢妄言。
機率最好玩的事情大概就是，（至少我學到現在，）無論我們走了多遠，最後都可以回到買菜的這件事上去。這樣我們就形成了一個巧妙的對比：高等數學在買菜生活中的實際套用。所以雖然我自身學的是代數，我還是很喜歡和別人講機率的故事。以下故事具體可以參見這個連結，這裏只是簡單描述。
Well，現在我們有一只股票的歷史價格 X （大家買菜一般還是不會那麽較真，不過你把這個價格函式當成大米的售價也是一樣思考的）。我們假定股票的波動率 \frac{\text d X}{X} 滿足如下維納方程式：
\frac{\text d X}{X} = \mu \text d t + \sigma \text d W_t ，則我們可以解得 \ln \frac{X_t}{X_0} \sim N((\mu-\frac{\sigma^2}{2})t,\sigma^2 t) （具體證明見上文）。無論如何，我們如果已知了 \mu 和 \sigma ，我們總可以計算出若幹時間後的價格期望。從而我們可以對未來某個時間的股票價格進行買賣——期權與期貨。期權與期貨都是平抑遠期風險的重要方法，在日常生活中有大量運用。
（當然對於普通玩家而言，能做的大概就是，知難而退，遠離股票，尤其是當你還在用「追漲殺跌」的原始方法的時候。）
另外，作為一個現在剛剛本科畢業的蒟蒻，就來給這位巨巨寫個前傳好了w
最開始，我們從「兩個‘一個蘋果’是兩個蘋果」抽象出了「1+1=2」；隨後對乘法逆封閉得到所有有理數，再有戴德金分割得到全體實數，在此不表。
我們將某些分配問題抽象成了方程式，比如說一元二次函式的經典例子「銷量是售價的一次函式，求售價使總銷售額最大化」。由於整數的優美性質，我們著重考察那些整系數多項式方程式。很經典的問題是，什麽時候這些方程式會有根式解？
透過考察一個方程式所有根構成的置換群（伽羅瓦群），伽羅瓦對這個問題作出了完美的解答——不僅僅是得出了一般的高次方程式不存在根式解，更是知道了一個方程式有根式解的充要條件。由此，一個新的數學物件——群，出現了。（誰能想到，我們發明群，一開始只是想在做一個問題的時候，偷個懶呢？）
