我們已經開始接近黎曼猜想，回顧一下前兩篇的內容：
用最簡單的方式解釋黎曼猜想（一），理解質數定理
用最簡單的方式解釋黎曼猜想（二），黎曼ζ函式，質數之門的金鑰匙
我們已經知道，如果s是某個大於1的數，那麽zeta函式如下：
或者用求和符號表示：
我已經展示了，透過套用一個過程（非常像埃拉托色尼的篩選法），它是如何等價於：
整理得：
因此有：
歐拉乘積公式
到目前為止，一切都很順利。但什麽是非平凡零點？函式的零點是什麽？zeta函式的零點是什麽？它們什麽時候是「非平凡」的？我們繼續！
先忘記黎曼zeta函式，考慮下面的函式：
這個函式收斂嗎？為了對這個函式有個直觀的感受，我們先看一個例子。
拿一個標有四分之一、八分之一、十六分之一……的普通尺子。用鉛筆尖指著尺子上的第一個標記，零。把鉛筆向右移1（單位）。鉛筆尖在「1」的標記上，總共移動了1個單位，如下圖1：
圖1
現在，把筆尖向右移動0.5個單位，如圖2：
圖2
繼續把筆尖向右移動1/4，1/8，1/16，1/32，1/64。現在，你的筆尖在圖3的位置：
圖3
筆尖移動的距離是：
容易算出的結果是：
顯然，如果能像這樣繼續下去，每次減半距離，會越來越接近2，但永遠也到不了2（可以無限接近）。我們可以把這個事實表示成：
假設筆尖先向右移動一個單位，再向左移動0.5個單位，再向右移動1/4個單位，再向左移動1/8個單位……，如圖4：
圖4
因為從數學的角度來看向左移動等於向右負移動，這就等於：
結果是43/64。如果繼續加、減無窮項，就會得到：
如果是1/3呢？
如果你自己動手去移動，不難發現，移動總距離不超過3/2，也就是：
同理可以知道：
回到函式S（x），計算S（x）函式值如下：
畫出函式圖如下：
在-1的左邊和1的右邊，函式沒有值，也就是這個函式的定義域是[-1,1]。
但我可以換個方式表達函式，如下：
看出什麽了嗎？右邊括弧裏的內容不就是S（x）嗎？也就是說：
把最右邊的一項移到等號左邊：
也就是：
因此：
也就是：
對嗎？某種程度上是。因為它們的定義域不同。1/（1-x）函式圖如下：
上面的例子說明的是，無窮級數可能只定義了函式的一部份，函式的其余部份可能隱藏在某個地方，等待著被某些技巧發現（解析延拓），就像我用S(x)做的那樣。
這就引出了一個問題： 黎曼zeta函式也是這樣的嗎？ 有沒有可能zeta函式：
比（1，∞）更大？
是的，zeta函式的自變量可以小於1。事實上，像1 / (1 - x)一樣，除了x = 1之外，它在每個數位上都有一個值。
了解一個函式需要時間、耐心和仔細的研究。我可以畫出zeta函式的函式圖：
當s＜1時，zeta函式的函式圖。
當s小於1時，我如何得到ζ (s)的這些值的呢？前面我們已經討論過，,s是要大於1，zeta函式才有值。如果我要計算ζ（-7.5），我該如何開始？
這個我不能完全解釋，因為它需要太多的微積分。不過，我可以給出大致的思路。首先，讓我定義一個新函式，即eta（η）函式：
不是不斷地增加數位，而是交替地增加，然後減少，所以每一個數都會在一定程度上抵消前一個數的影響。數學家可以證明，這個新的無窮級數在s大於0時收斂。這是對zeta函式的一個很大改進，zeta函式只在s大於1時收斂。
這對我們了解zeta函式有什麽用呢？首先註意代數的基本事實：A − B + C − D + E − F + G − H + …等於（A + B + C + D + E + F + G + H + …）減去2 × （B + D + F + H + …）。
所以我可以重寫η(s)：
減去
第一個括弧當然就是ζ (s)，我可以提出1/（2^s），得到：
或者，反過來寫，最後整理一下：
這意味著，如果我們計算出η(s)，那麽我就能得到ζ (s)的值。由於我能算出η(s)的值在0和1之間，我也能得出ζ (s)的值也在那個區間上， 盡管事實上原始的ζ (s)在這個區間不 收斂。
假設s為1/2。η(s)的前100項之和為0.555023639…；前1000項之和為0.599898768….。事實上η （1/2）的值為0.604898643421630370。有了這些，我可以計算ζ（1/2）的值了，得到−1.460354508…，這看起來很正確。
但是，當s為1/2時，我如何處理這兩個無窮級數，畢竟它們有一個收斂，有一個發散。嚴格地說，我不能，而且我在這裏的數學運算上有點跑偏了。但是我得到了正確的結果，在區間（0,1）上，可以用這個方法計算出任何ζ (s)的值。
現在，除了在s=1處，我們已經可以把ζ (s)的定義域擴大到大於0的區間上。 但是小於等於0的情況呢？ 問題開始變得復雜了。黎曼1859年論文中的一個結果證明了一個由歐拉在1749年首次提出的公式，用ζ (1 − s)代替ζ (s)。例如，如果你想知道ζ (−15)的結果，你可以計算ζ (16)，然後帶回到公式中，這是一個很復雜的公式：
黎曼能想到這一點，確實驚為天人，很多專業數學家都非常驚訝！
這個公式中涉及到了階乘，學過高等數學的或許知道，有一種方法可以定義除負整數之外的所有數的階乘函式，我不在這裏討論。下圖是-4到4的階乘函式圖：
如果你覺得有點上頭，只要相信有一種方法可以得到任何數位s的ζ (s)的值，除了s = 1這個唯一的例外。
我想說的是「 1 / 2」 在ζ(1−s)和ζ (s)之間的關系中具有特殊的地位！
因為如果x=1/2，那麽1-s=s。很明顯，從上面的影像看，zeta函式不是關於s=1/2對稱的；但1/2左邊的函式值與1/2右邊的映像值以一種緊密而復雜的方式聯系在一起。
回頭觀察一下s＜1時的函式圖，會發現zeta函式在負偶數處的值都為0。
如果一個函式在某些值處的函式值為0，這些值就是該函式的零點。
因此，−2，−4，−6，…和所有其他負偶數都是zeta函式的零點。
這裏回顧一下黎曼猜想的陳述：
黎曼zeta函式的所有「非平凡零點」的實部都是1/2。
這裏麵包含了「非平凡零點」，我們已經越來越接近了！負偶數確實是zeta函式的零點，但是它們不是「非平凡零點」，而是「平凡零點」。 對於非平凡的零，我們還需要深入研究
