謝不邀。
當然是有的,但是這要求你給的這一組函式滿足一些條件且是空間的 "完備基" .
(在後文會提到這個完備和通常的完備性有所區別)
我們不妨假設我們有這樣一個連續函陣列 \{f_n\}=\{f_1,f_2,f_3,...\} 和一個目標函式 A(x) .現在我們期望將 A(x) 展開成 \{f_n\} 的線性表示
A(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nf_n(x)\\
當然,為了專心的找系數,我們還需要一點額外的假設:
(i) \{f_n\} 完備
(ii) \sum_{n=1}^{\infty}a_nf_n(x) 在區間 (a,b) 上均勻收斂到 A(x)
好了,到現在一切該有的都有了,我們要怎麽找系數?
類比是最好的方法,我們不妨來看這樣一個問題,如何把 1+x+x^2 展開到 \{1,x,x^2\} 上？
你可能會說,這不是在逗我嗎?這能一樣?當然是一樣的.
如果真的要你去算系數,你該怎麽算?
當然,方法很多啊,但是有一種最簡單的,我們小學就學過的,那就是 插值法 .
我們在 1+x+x^2 上取 3 個以上的點用多項式去插值,就能得到最後的結果.
把這句話做一下替換:
在 A(x) 上取 n 個點用 \{f_n\} 插值.
這就是方法!
下面我們具體來算一下.
將區間 (a,b) 做 n+1 個劃分,前 k 個劃分長度和記作 \Delta T_k ,第 k 個區間長度記作 \Delta L_k 我們在 n 個點
(a+\Delta T_k,A(a+\Delta T_k))(k=1,2,...,n)\\
上用
\{f_1,f_2,f_3,...,f_n\}\\
做插值.
很快的我們得到 n 個方程式
A(a+\Delta T_j)=\sum_{k=1}^na_kf_k(a+\Delta T_j)(j=1,2,3,..,n)\\
寫成矩陣形式
\begin{pmatrix} f_1(a+\Delta T) & f_2(a+\Delta T) &... & f_n(a+\Delta T) \\ f_1(a+\Delta T_2) & f_2(a+\Delta T_2) &... & f_n(a+\Delta T_2) \\ &&...\\ f_1(a+\Delta T_n) & f_2(a+\Delta T_n) & ... & f_n(a+\Delta T_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ ...\\ a_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A(a+\Delta T_1) \\ A(a+\Delta T_2)\\ ...\\ A(a+\Delta T_n) \end{pmatrix}\\
我們定義方程式右端矩陣的逆為如下形式
\frac{2}{b-a}\begin{pmatrix} \varphi_1(a+\Delta T_1)\Delta L_1 & \varphi_1(a+\Delta T_2)\Delta L_2&... & \varphi_1(a+\Delta T_n)\Delta L_n \\ \varphi_2(a+\Delta T_1)\Delta L_2 & \varphi_1(a+\Delta T_2)\Delta L_2&... & \varphi_2(a+\Delta T_n)\Delta L_n \\ &&...\\ \varphi_n(a+\Delta T_1)\Delta L_1 & \varphi_n(a+\Delta T_2)\Delta L_2&... & \varphi_n(a+\Delta T_n)\Delta L_n\end{pmatrix}
當 \max\{\Delta L_k\}\to 0 時我們就得到了一個函陣列 \{\varphi_k\} 滿足:
\frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}f_i\varphi_j\mathbb{d}x=\delta_{ij}\\
而這裏如果 \{f_k\} 不完備的話, \{\varphi_k\} 顯然不唯一.
最後,我們就可以得到
a_k=\frac{2}{b-a}\int_{a}^{b}\varphi_k(x)A(x)\mathbb{d}x\\
顯然 \varphi_k(x) 只由函陣列 \{f_k\} 唯一決定.
完了嗎?其實還沒有,我們還要找到 完備基 .
