本答案將從四種角度來解釋動能的為什麽是 \frac{1}{2}mv^{2} ，本答案以牛頓力學與伽利略不變性為背景，不涉及相對論的內容。
一、初級版
由高中的物理知識可知，力做功的定義為： W=F l （為簡單起見，假設直線運動），其中 F 為物體受到的力， l 為物體在這個力的推動下運動的距離。假設物體從靜止開始運動。
牛頓第二定律： F=ma ，
物體做勻加速直線運動的路程為： l=\frac{v^{2}}{2a} ，其中 v 是運動的末速度。
根據功能關系，這個力做的功一定變成了物體的能量。此處力的作用是使得物體運動起來了，那麽物體的動能了：
E=W=Fl=ma\cdot \frac{v^{2}}{2a}=\frac{1}{2}mv^{2} 。
所以可以看到，物體的動能就是 \frac{1}{2}mv^{2} 。
二、高級版
實際上上述計算比較繁瑣，而且只對勻加速運動（恒力）的情況下成立。更一般的推導需要用到微積分的知識，考慮某一個瞬間，力 F ，位移 dl （同樣假設直線運動）：
dW=F\cdot dl=F\cdot v dt ，
根據更一般的牛二運算式：
F\cdot dt=dp ，其中 p 是動量，
上式為：
dW=vdp=mvdv=d(\frac{1}{2}mv^{2}) ，
同樣可得動能的運算式為 \frac{1}{2}mv^{2} 。
三、進階版
上述過程還覺得不過癮嗎？隱隱覺得難道生命中有某種宿命在作用嗎？動能的運算式一定就是 \frac{1}{2}mv^{2} 這樣的嗎？有什麽不為人知的力量在背後運作嗎？
那麽我們拋棄一下這些東西，從更高級的對稱性的角度出發來考慮。在拉格朗日力學體系下，考慮一個自由運動的粒子的拉氏量 L （自由粒子的拉氏量和動能相等），由空間的平移不變性和時間平移不變性可知：
\frac{\partial L}{\partial r}=0 ,
\frac{\partial L}{\partial t}=0 ，
再考慮空間旋轉不變性已經速度是個向量，因此自由運動的粒子的拉氏量只能是速度大小的函式：
L=L(v^{2}) 。
但是這樣的話，速度的任意偶數次方的組合都滿足這個條件，為何一定是二次方呢？
在一個參考系 S 中考慮粒子的拉氏量為 L(v^{2}) ，在另一個與此參考系有一個相對速度 u 的參考系中看，這個粒子的拉氏量為：
L(v'^{2})=L(v^{2}+2vu+u^{2}) ，
假設相對速度 u 非常小，對上述 L 在 v^{2} 處做泰勒展開，忽略高階項，得：
L(v'^{2})\approx L(v^{2})+\frac{\partial L}{\partial v^{2}} 2 v u ，
而伽利略變換不變性說 L 可以有一個時間全導數項，所以為了上式第二項全導數項，並且 v=\frac{d r }{d t} ，所以 \frac{\partial L}{\partial v^{2}} 最好是個常數，所以 L\propto v^{2} ，因此動能只能是速度的平方的函式！
四、番外版
不管那麽多，考慮因次看看。功的因次是：
[W]=[F][ l]=kg \space m^{2} s^{-2} ，
那麽動能的因次也應該是這個。但是我們只有速度和品質兩個量，所以就得湊，哎！竟然能湊起來：
[m][v^{2}]=kg \space m^{2} s^{-2} ，
把品質和速度的平方湊在一起恰好是功的單位，所以
E\propto mv^{2} 。
好了，不知道題主明白了沒有，如果有啥問題，就
我擦！啥！！！題主還是個初中生，
當我沒說。
還有一個相對論版：
上一個回答 ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ 下一個回答
