題主的意思應該是要把奇偶性推廣到有理數體上，先轉譯一下題主的定義：對一個有理數（不妨先讓它是正數）r=p/q，其中p，q是互質的正整數，若r/2=p/2q化成既約形式後分母仍然是q，則稱r是偶數，否則r是奇數。那麽，r=p/q是偶數等價於p/2是正整數，即p是偶數。
如果把整數的唯一因子分解定理擴充套件到有理數上（允許分解式中素因子指數為負即可），那麽有理數r是偶數相當於是它的「廣義素因子分解」中2的冪次為正。
這個定義本身是不存在問題的（只是對0可能單獨定義下），但個人認為它沒有繼承整數的「奇偶性」在大多數環境下的實質。所以或許不是那麽有用。（可能是由於我學的東西太少…）
奇數偶數的實質是整數模2的剩余類，簡單說就是把Z分成兩堆，一堆看成一個東西（更一般的說法是「等價類」，即商集的元素）。在此基礎上我們可以研究Z上的所謂整除等性質，而「整除」之所以被提出就是因為Z上的乘法可逆元只有±1，其他元都是不可逆的，所以需要「帶余除法」、「整除」、「質數」的概念。
換句話說，「剩余類」有價值的原因是，它讓我們對Z這個環的「不那麽完美」的乘法結構有了更深入的認識；而有理數是個域，它的性質好到不需要上面那些花裏胡哨的東西，每個元都可逆，結構上的對稱性很強。這種情況下，研究Z時的那些概念和思想或許不那麽有用了。
（如有錯漏歡迎討論/賜教XD）
