拉格朗日量 （Lagrangians，簡稱為拉氏量）是一種數學運算式，它包含了一個物理系統中幾乎所有我們關註的資訊。拉氏量通常具有 對稱性 ，這意味著當我們以某種特定方式轉動或移動它們時，它們並不會發生改變。對稱性和拉氏量非常重要，因為我們可以利用它們構造 守恒量 。
守恒量是在整個物理系統演化過程中保持不變的可觀測物理量。
物理學家喜歡尋找守恒量，因為它們不僅具有深刻的哲學意義，還在解方程式過程中非常有用。當你知道有些量保持不變時，用它們可以簡化方程式的求解。
旋轉 這樣 「平滑」的對稱性是 連續對稱性 。 諾特定理 表明，對於每一個連續對稱性，我們都可以構造一個守恒量。例如，如果一個系統具有旋轉對稱性，我們就可以得到角動量守恒 。
更令人驚訝的是，諾特定理可以證明能量守恒是時間平移對稱性的結果，時間平移不變性 意味著拉氏量本身 不顯含時間 。
換句話說，如果物理系統所處的背景不隨時間改變，那麽該系統的總能量將不隨時間改變。
對稱性 的概念在力學、經典和現代物理學中隨處可見。例如，在量子物理學中，量子力學系統的對稱性可以與量子角動量守恒對應。在電子理論中，電子的電荷和自旋守恒 源於電子所遵循的對稱性。
用數學如何詳細描述對稱性起的作用？首先，需要解釋 最小作用量原理 ，以及如果我們知道了拉氏量，我們如何用它來計算場的行為。
作用量和拉氏量
假設有一個粒子或場，在兩個預先確定的時間點 t1 和 t2 之間演化。如果它是一個粒子，我們可以透過繪制一條在空間中延伸的路徑來描繪粒子的演化過程，從時間 t1 開始，到時間 t2 結束。如果它是一個場，我們可以想象一個熱力圖 隨著時間慢慢演化。
透過這些粒子和場的行為，我們能知道些什麽？我們怎麽才能知道粒子將走什麽路徑？在物理學中，我們從一個可以描述物理系統的模型開始，其中典型的一種是拉氏量。拉氏量是一個數學量，它通常寫成 動能和勢能之差 ，拉氏量在任何時間點都可以給出一個具體的數。我們之所以喜歡用拉氏量是因為它 獨立於觀察者 ，不隨參考系的改變而改變。
觀察者是正立的還是倒立的，或者以接近光速的速度移動，這些都不重要。通常，物理量的數值會因座標選擇的不同而不同；然而，拉氏量不隨座標的選擇而改變，無論對於哪個觀測者，它的取值都是一樣的。和參考系 無關的這種性質是非常有用的，因為它讓我們可以進行清清楚楚的計算。
為了理解到底發生了什麽，我們需要構造一個稱為 作用量（action） 的量。例如，如果已知一個拉氏量，我們可以計算拉氏量在兩個時間點之間的 積分 ：
積分意味著將拉氏量在多個時間點上的值進行相加。從t1 到t2之間的總積分被稱為作用量。它通常用大寫字母 S 表示。拉氏量前面的豎直曲線 ∫ 表示積分。
上面的運算式是作用量的數學定義。拉氏量通常是位置和位置的 一階導數 的函式 。希臘字母 φ 表示粒子在空間中的位置；第二項 ∂φ 是粒子位置的一階導數，表示粒子位置隨時間的 變化率 。
拉氏量 在幾何上看起來是怎麽樣的？我們可以用一些插圖來說明，透過這些插圖可以了解關於它的一般概念。如果拉氏量只包含自由空間中的動能，對於不同於直線的路徑，往往會得到更大的作用量。該圖顯示了粒子在時間t1和t2之間采取不同路徑對應的作用量大小。正如您所看到的， 最復雜的路徑作用量最大 。作用量最小的路徑就是直路線徑。
如何得出物理規律？
在我們眼中，拉氏量是數學物件，我們只把 作用量 看作是物理的。這有一個哲學上的原因。結果表明，不同的拉氏量可以產生相同的作用量。所以，在某些情況下，存在兩個拉氏量，但只有一個作用量的情況。這意味著我們可以透過兩個不同的拉氏量，得出相同的物理定律 。
為什麽會這樣？原因是，當我們對某些被稱為「 全微分 」（total derivative）的數學運算式進行積分時，積分結果是零。
在下面的公式中，我們有一個作用量，被寫成一個特定的拉氏量和一個全微分項。但是，我們可以把積分拆分成兩個不同的部份。一旦我們把它分開，我們就消掉了全微分項，因為當我們積分時它變成了零。
這是一件令人興奮的事情！這意味著，存在兩個不同的拉氏量，在一個不那麽嚴格的限制下，可以認為它們是「等價」的。我們不需要讓它們完全等價就能得出相同的物理現象。如果拉氏量僅在「全微分」項上存在差異，則它們可以被看作是相互等價的。例如，在下圖中，函式 f 、 g 和 h 都與全微分項有關，它們三個產生相同的作用量。（我已經用不同的顏色寫出了這三個函式來表達這個觀點。）
數學上，我們可以用下面的運算式來表達拉氏量之間「等價」，盡管它們之間相差一個全微分項。在下面的運算式中，函式 f 是 可微函式 。
如果對函式可以使用「變化率」的概念，那麽這個函式就是可微的。如果函式值在某些地方發生跳躍、出現尖銳的拐點或沒有 良定義 ，那麽就有可能不能使用「變化率」的概念，這種情況下，只有許多嚴格的數學條件被滿足時，「變化率」的概念才變得可以接受。所有可微函式的集合為C¹。關於微分和積分 等運算是否具有良定義的研究稱為數學分析，是一個令人著迷的研究領域。
歐拉-拉格朗日公式
「最小作用量原理 」告訴我們，場或粒子的行為正是使作用量取 極小值 的行為。所以如果我們知道這個作用量，我們可以透過一些數學運算，求出使這個作用量取極小值時場的行為。有一個被稱為 變分法 的數學分支，研究的是「函式的變化率」。（譯者註：變分法告訴我們，場或粒子的行為可以用歐拉-拉格朗日方程式匯出。）
粒子版的歐拉-拉格朗日方程式如下所示。方程式左邊，我們首先取拉氏量對速度的偏導數 ，然後繼續對其求時間的導數。方程式右邊，我們對拉氏量在空間中進行求導。然後讓方程式的左邊等於右邊，就可以得到一個令作用量取最小值的路徑。
場論版的歐拉-拉格朗日方程式 和粒子版的很相似，方程式如下所示：
它可以給出場在時空中的 演化方式 。
以下為譯者註：
守恒量
前面我們介紹可以用對稱性匯出守恒量，接下來我們將介紹如何做到這一點。諾特定理告訴我們，每個對稱性對應一個守恒量。
如果物理系統具有時間平移不變性，也就是說拉氏量不顯含時間，那麽可以得到運算式：
等式左側的括弧裏就是能量(哈密頓量 )，它隨時間的導數是零恰恰表明它不隨時間改變。
如果物理系統具有空間平移不變性，也就是說拉氏量不顯含空間座標，那麽可以得到運算式：
等式左側括弧內正是(共軛)動量，它不隨時間改變，這就是 動量守恒 。
作者：Afiq Hatta
轉譯：Nothing
審校：Zhenni
原文連結：
https://www. cantorsparadise.com/noe thers-theorem-and-the-principle-of-least-action-c84b789c51b6
