太陽爆炸儀。
某人非常擔心晚上看不見太陽時候太陽會爆炸，於是制作了一台太陽爆炸檢測儀。這台儀器每秒鐘測一次讀數驗證太陽到底爆炸了沒。儀器做的很是精確，太陽爆炸時一定會報警，沒爆炸時只有百萬分之一的機率誤報。
某夜儀器報警當當當太陽爆炸了，請問有多少機率這事是真的。
根據經典機率論，太陽應該已經炸了，只有百萬分之一機率是誤報。常識告訴我們這儀器幾乎百分之百是誤報了。
談不上是悖論吧，這是貝葉斯機率論的一個典型的例子。（https:// en.m.wikipedia.org/wiki /Bayes'_theorem ）
這個問題嚴謹的答案是條件不足。貝葉斯機率論認為一切機率的判斷都要建立在過往經驗的基礎上。公式：
儀器響時太陽爆炸的機率 = （太陽爆炸時儀器響的機率 * 太陽爆炸的機率）/ 儀器響的機率
已知太陽爆炸儀器響機率為1，儀器響機率可以觀測得出（大約是百萬分之一，基本等於誤報率），但是我們不知道太陽爆炸的機率。從宇宙史來看極為接近0，所以整個等式結論是幾乎為0。
在儀器誤差區間遠大於目標觀測值的情況下，測量的結果的絕大部份都會是誤差，測量對最終結論的影響微乎其微。
一個更貼近生活點的例子。最近國外比較擔心恐怖分子，於是某牛掰AI公司發明了一種恐怖分子測試程式，只有千分之一的誤測率。這個程式認為你的鄰居是恐怖分子。所以你該搬家嗎？
看大夥討論熱烈再來一個機率與常識相左的例子吧。
很多人喜歡賭錢，賭錢最簡單的辦法就是擲硬幣了。現在我們有這樣一個玩法：
連續投硬幣，如果是正面就繼續投，直到出現反面為止。
根據投幣的次數來給錢：
1次 -> 2元， 2次 -> 4元，3次 -> 8元， 4次 -> 16元， 5次 -> 32元。。。 10次 -> 1024元
以此類推投N次就給 2^{N} 元。
這個遊戲平均能掙多少錢呢？這時候就要問機率論，我們來算數學期望：
學過機率的都知道，1/2機率第一次就是反面，1/4機率第二次，1/8機率第三次，以此類推投擲N次才出現反面的機率為 \frac{1}{2^{N}}
這個遊戲收益的數學期望為 2 / 2 + 4 / 4 + 8 / 8 + 16 / 16 + 。。。+ \frac{2^{N}}{2^{N}}
這個數列每一項都是1，一共有無限項。也就是說 這個遊戲收益的數學期望是無限的 。
這個牛掰的遊戲當然不可能是免費的，那麽問題來了，你願意花多少錢入場來玩一次這個遊戲呢？
大夥討論差不多了，我來試著解一下。
首先澄清下我們只玩一次投擲，也就是交一次入場費，出現反面就停，結算收益。
在無限的樣本空間裏，這個遊戲的單次平均收益真的是無限的不是我算錯了（不相信的童鞋可以編程模擬下，大量模擬時均值會漸漸上升）
然而！這是個超級大尾的收益曲線，絕大多數收益都集中在極小機率極高收益的曲線尾部。這個尾部並不能無限升高。例如連續出了50個正面後，世界上所有的的錢估計就不夠付了。考慮到莊家的經濟情況，保守估計連投30次就破產了。
將遊戲改成最多連續投擲30次後強制結算，收益如何呢？公式還是一樣，但是將30項以後的無限展開替換為再重復一次第三十項，數學期望為31.
所以這個遊戲定價多少合理呢？包裝成彩票的話賣個幾十塊還是可以的吧（純粹瞎說中
