-----補充了幾個有趣的泛函反例-------
謝邀。這樣不是完全不行，但是之所以用「泛函」這個詞是因為它有它的特殊性。它的性質和一般多元函式的差別是非常非常大的， 你一定要意識到這點 。隨便舉一個例子吧，連續函式在有界閉集上可以達到最大最小值，連續泛函做不到。下面是實際例子：
X=C[0,1] ,F(f):=\int_0^1 f^2(t) dt ,這個泛函F 是連續的，但是在有界閉集V=\{\|f\|\leq 1, f(0)=0,f(1)=1\} 上不能達到最小值。取 f_n(t)=t^{n} ,F(f_n)=\frac{1}{2n+1} ,所以最小值為0，但是F(f)=0\implies f=0 ,f\notin V 。
根本的原因在於一般的拓撲向量空間比有限維的歐式空間差多了。 你認為函式成立的結果基本不可能簡單的遷移到泛函 ，實質在於拓撲性質的畸變。
再補充一個區別吧，歐式空間上任何線性的函式肯定是連續的，但是 線性的泛函不一定是連續的 。設P 是所有多項式構成的空間，給予範數\|p\|=\max_{-1\leq x\leq 1}|p(x)| ，註意這裏我們讓多項式可以定義在整個實數軸上，取泛函F(p)=p(3) ，自然它是線性的泛函，但是它卻不是連續的，實際上我們取p_n(x)=(\frac{x}{2})^n ,顯然\|p_n\|\to 0 (n\to\infty ),但是F(p_n)\to\infty .
再再補充一個區別，一個連續函式在單位球上肯定是有界的， 可是一個連續泛函卻不一定啊 ！設c_0 是所有收斂到0的數列\{x_n\} 的集合，這個空間上的範數為\|\{x_n\}\|=\sup_{n}|x_n| ,我們定義泛函
F(\{x_n\})=\sum_{n=1}^\infty x_n^n
,這個泛函是連續的，但是我們可以卻可以取e_n=(1,1,\cdots, 1,0,0,0)
（也就是前n個全是1，後面都是0）,那麽這個情況下F(e_n)=n
,所以在單位球上它是無界的。
之所以數學家給泛函一個名字是因為它很特別，但是用得比較多，比如一個拓撲向量空間上所有線性連續泛函構成的空間對刻畫這個空間具有非常大的作用，每次都說「無限維的函式」，不如「泛函」經濟省力得多，可以拯救很多樹和體能。還有，你把泛函看成「函式」沒有什麽特別的優點，還不如 把多元函式看成一個泛函的特例。
