前n項平方和公式怎麽推導？

\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0

很容易證明該公式，只需約去中間的一些項。求 \sum\limits_{i=1}^ni^2 ，只要求出數列 a_n 使得 a_i-a_{i-1}=i^2(1\leq i \leq n) ，所求結果為 a_n-a_0

列出方程式 n^2 = (3n^2-3n+1)x + (2n-1)y + z

比較對應次冪，得到方程式組

\begin{cases} 3x = 1 \\ -3x+2y=0\\ x-y+z=0\\ \end{cases}

解該方程式組得 x=1/3,y=1/2,c=1/6 ，於是待求數列為 a_n=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

把 n=0 代入得到 a_0 = 0 ，公式右端 a_n-a_0=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) 即為所求的結果。

以前看過一篇文章裏也有用類似的方法推導平方和公式，我改進了一下證明過程，變得更加容易理解。最後吐槽一下，無法在表格內插入公式，又無法在插入latex公式中使用表格。