你說的這個不僅有意義，而且名字就叫混合分布（有限混合分布）。其實回答你的問題關鍵點是數據擴張（data augmentation），而你給的這篇文獻已經很好的提到這一點了，也就是引入 z 。唯一缺失的部份就是怎麽透過 z 來推匯出 y （因為這些推導屬於繁而不難的基礎，所以作者就不想贅述了）。
原始的問題可以這樣描述，一組樣本 y_i 服從回合分布
y_i\sim \left\{\begin{aligned} &f_0, \qquad\text{以$p_0$的機率;}\\ &f_1, \qquad\text{以$1-p_0$的機率.}\\ \end{aligned}\right.
求 y_i 的分布 f 。
數據擴張引入一個服從白努利的潛變量 z_i 滿足 z_i\sim Bernoulli(1-p_0) ，則密度函式為
f_Z(z_i)=p_0^{1-z_i}(1-p_0)^{z_i}
而 z_i 可以用來表示前面說到的「以……的機率」這個東西，就有條件密度函式
f_{Y|Z}(y_i|z_i)=f_0(y_i)^{1-z_i}f_1(y_i)^{z_i}
你可以把 z_i 等於1或者0帶入，看看這個分層結構是不是等價於之前的那個原始問題。然後，把這兩個密度乘起來，就可以得到一個聯合密度函式
f_{(Y,Z)}(y_i,z_i)=f_{Y|Z}(y_i|z_i)f_{Z}(z_i)=f_0(y_i)^{1-z_i}f_1(y_i)^{z_i}p_0^{1-z_i}(1-p_0)^{z_i}
到這裏都沒問題吧，接下來的步驟就很直接了。知道了聯合密度函式，要求邊際密度函式，無非就是把其他變量求和或者積分積掉，即
f_Y(y_i)=\sum_{z_i=0}^1f_{(Y,Z)}(y_i,z_i)
結果正是那個「加權平均」。
混合分布或者混合模型（這裏說的是mixture model，不是mixed model）本來就是一大塊研究方向，比如著名的EM演算法也是用的這個原理。而且，你這還只是離散有限的情況，對於連續混合，這裏的方法同樣適用，不過就是把求和變成積分就行了，即
f_{Y}(y)=\int f(y|z)f(z)dz
最常見的例子比如大家都熟悉的 t 分布——一種特殊的高斯尺度混合分布(Gaussian scale mixture)。
