學物理真能去二次元嗎? / 怎麽這個也算高數啊?

目録

3. 負責新手教程的村口大叔: 高等數學

3.1. 透過高等數學初探大學模式
3.2. 等號、定義和代入都是理性的基本精華
3.3. 高等數學這門課的重點內容

4. 怎麽這個也算高數啊?

4.1. 關於微分與導數的二三事
4.2. 物理學是一門關於近似的科學
4.3. 近似的起源之級數展開
4.4. 忽略高階項不會帶來誤差嗎
4.5. 積分變換
4.6. 多重積分測度、分部積分與邊界項
4.7. 積分與求和差不多就是一回事, 都能與求導瞎寄吧換位置

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東雲正樹: 學物理真能去二次元嗎? / 目録

東雲正樹: 學物理真能去二次元嗎? / 大致加點方案

東雲正樹: 學物理真能去二次元嗎? / 怎麽這個也算高數啊?

東雲正樹: 學物理真能去二次元嗎? / 如果你事線代, 也好

東雲正樹: 學物理真能去二次元嗎? / 歐拉公式 (Euler's formula), 物理人最後的 Euclid 幾何直觀

東雲正樹: 學物理真能去二次元嗎? / 你問 gamma 要學普物? 那其實跳掉也沒啥

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在學數學之前, 你更應該趕緊掌握的實際上是兩類軟體:

千萬不要覺得還早, 對這兩類軟體來說大一就已經很晚了.

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3. 負責新手教程的村口大叔: 高等數學

相信你早有耳聞, 開學第一堂課是一門叫做高等數學的炫酷課程對吧? 但其實你被騙了, 兩次.

(1). 開學的第一堂課叫軍訓, 某人痛恨軍訓, 但我不說他是誰 ^[1] .
(2). 高等數學並不酷炫.

我不知道這玩意兒為啥叫高等數學, 實際上你把所有的理工科課程都列一遍的話就會發現, 這個所謂的高數其實是最簡單最基礎的那一門··· 它高在哪兒呢? 別問我, 真不知道. 高數頂多就是用來讓你體驗大學學習模式的課程.

所以電影裏老喜歡拿微積分跟天才劃上等號的這種操作說實在的, 感覺有點搞 ^[2] .

反正, 記住這句話: 高數是極其符合直覺的一門課程.

我們學習數理內容的過程本質上就是直覺重塑的過程, 因為沒有人能記住那麽多的內容, 我們只是把它們直覺化了. 而高數作為起點是合理的, 因為高數所符合的直覺還真就是日常老百姓的直覺, 這裏面並沒有涉及多少直覺重塑的過程.

不過本文還是想預設你學過至少單元微積分了 ^[3] , 如果沒有:

3.1. 透過高等數學初探大學模式:

高數課我記得好像是從函式開始講起的吧? 其實從這裏開始就能看出大學模式和中學模式的區別了. 在中學永遠是一次只學一個特別特別小的知識點然後還給你翻來覆去地擺弄, 搞到最後學生都不知道書上到底講了啥, 甚至可能到畢業都沒按順序讀過哪怕一次課本. 反正高中數學最後給人留下的印象就是被科任老師嚼碎後翻來講去的一堆小知識點. 那高數呢? 高數開局講函式就會出現幾個高中沒見過的玩意兒, 比如說反三角函式之類. 而學這些東西的流程就是講一下它們的定義, 然後就結束了. 往後要用到這些東西的時候也就可以直接用了.

這時一顆中學的大腦可能就要感到違和不堪, 他想不通怎麽都還沒教過的東西你就能開始用了. 那實際上大學就是這樣的, 一個東西的定義給你講明白了就等於說是教過了. 如果說它還具有某些極其常用的好性質那可能也會順便提一下, 最多就這樣了.

而中學之所以能病態地給你把一個知識點相關的所有技巧都講一輪甚至幾輪, 本質上就是因為中學的知識點實在是太淺太少了. 最後面對的選拔性考試又十分畸形地發展到了純粹在考誰見得多背得牢··· 那顯然在這樣惡性迴圈下是沒有人能辦到不去浪費自己的生命的.

所以被荼毒的高中大腦在大學課堂上的第一個感想可能就是:『怎麽老師盡談些虛的, 不好好講講怎麽具體操作? 』. 那答案就是, 處理問題的思想還真就比具體的操作要重要. 思想才是課程的精華. 僅談操作的話都不說對學歷有沒有要求, 就算是一台電腦它也辦得到啊.

實際上學習前置知識的幾乎唯一目的就是能學習後續的知識:

對將來的科研人員而言, 我們就是希望最後能學會量子場論, 然後開始科研之路. 那這一路走來肯定是越直接越好, 能往後學了就往後學唄.

對純粹來大學感受高等教育混個文憑的同學而言, 也一樣是越往後學觀點越高, 對思維的提升也越快, 所以如果你只是在純粹追求大腦升級的話, 那也應該徑直不斷地往後學.

你不往後學, 老擱些低階地圖上艱難地搞全收集有啥意思? 這和打 ARPG 的道理其實差不多, 沒誰一周目全收集的. 先升級, 變強力了再回去一波帶走多痛快? 而且遊戲裏全收集是有前提的吧? 一是這款遊戲本身真的屬於佳作讓人難以割舍, 二是幾百塊的遊戲內容通常極其有限, 搞全收集也是無奈之舉. 那你擱這一個學科全搜集可就是迷惑操作了, 這裏邊兒的內容真的有限嗎? 大學課程和高中最本質的區別就是沒有考綱, 咱不搞八股了.

所以所謂的大學模式就是, 咱只走主線, 後期需要啥支線素材了再回頭去拿一下這樣.

比如說你學完不定積分, 學完就學完了, 別成天瞎幾把背一些積分技巧, 個人愛好除外 (?).
比如說你開始學力學了, 千萬不要想著個『Yeah! 我要刷題當小滾軸兒高手!』
總之技巧是學不完的, 碰一個記一個吧.

不, 事實上我想說, 那些所謂的技巧其實越少越好, 因為技巧是不容易記憶的, 而且動機十分迷惑, 可能是因為我沒啥數學細胞吧, 反正我就很討厭這些動機不明的靈感操作.

最令人安心的其實還是那種樸實無華、直擊本質、符合直覺、直來直去的操作, 這些操作掌握的多就說明你是個明白人, 能一眼看透理論背後的本質結構, 只有追求這些我們才不至於迷失在數學的計算中. 這也是為啥我中學時期就喜歡物理多於數學, 因為物理沒難度, 求啥算啥直來直去, 不湊這個配那個搞些花裏胡哨的. 我最近的一個回答就是希望能多少傳達出點兒這種思想:

3.2. 等號、定義和代入都是理性的基本精華:

進入大學階段, 在我看來物理人開局的基本素養就是理解等號的含義、明確定義且辦到推導時步步有據與整體代入得思想這仨.

首先是等號的含義:

必須認識到等號所連線的兩端在我們討論的問題下是同一個東西.

這意味著你同時對等號兩邊做任何相同的操作, 這個等號都始終是要成立的, 所以不要困惑於等號兩邊同時取極限後仍然相等之類的事實.

為啥要強調是在討論的問題下嚴格相等? 關於這一點的理解在將來研究的理論框架復雜起來時是很必要的. 但這很難舉出初級的例子來, 因為剛入門確實碰不到這麽微妙的問題, 比如說兩個線性空間同構, 那線上性空間層面上我們就可以將二者劃等號, 但它們真的就相等嗎? 其實裏面的元素可以完全不同; 比如即使是在各自的基本表示 ^[4] 下仍可寫 \[\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)=\mathfrak{s}\mathfrak{o}\left( 3 \right)\] , 這麽寫大家都懂, 即這倆 Lie 代數同構對吧? 但實際上 \[\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)\] 的基本表示在矩陣的乘法下還構成 Clifford 代數, 但 \[\mathfrak{s}\mathfrak{o}\left( 3 \right)\] 的基本表示則不然, 所以二者的等號僅僅只是 Lie 代數意義下的等號. 其實從這個例子來看或許也說明了我們絕不應該用代數的表示替代代數本身.

好吧, 看不懂第三點的可以這麽想, 當我們說三個香蕉和三個林檎數量相等的時候, 那這個等號僅僅就只是數量意義下的等號, 我們知道林檎並不等於香蕉, 但如果我們現在只討論數量的話, 那就可以劃一個等號, 但前提是必須要明確討論的問題.

然後就是步步有據:

也就是重視定義、定理與推論, 其實也沒那麽費神, 用著用著就都記住了.

所謂步步有據就是絕對絕對絕對不能想當然, 在接下來的生活中, 你必須為每一次理論推導中的每一個步驟都找到可以這麽做的依據, 這裏的依據指的就是定義、定理與推論.

這絕不是強人所難, 大家都辦到了這一點, 習慣之後其實一切都很自然.

重視定義的重要性還體現在整個理論體系都是從基礎定義出發推匯出來的, 碰到不熟悉的問題, 我們的第一個想法就應該是從定義出發來剖析這個問題.

我記得上高中的時候數學老師就強調過要重視定義,
當時我也很不解, 難道不應該是重視解題技巧嗎?
我是說定義這種東西不是特別 trivial 考試根本不可能考到的嗎?
然而本科上了一年課後屬於是恍然大悟了.

最後就是整體代入:

絕對要有整體的思想.

比如說當你知道 \[{{\text{e}}^{x}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{x}^{n}}}{n!}}\] 後, 必須要能自信地寫出 \[{{\text{e}}^{f\left( x \right)}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{f{{\left( x \right)}^{n}}}{n!}}.\]

只要你面對的物件滿足某個定理的所有條件, 那這條定理就對它適用, 無論它是啥有多怪.

總而言之就是, 在將來你會在運算中碰到很多很多第一次見的情況, 具體到這些技術活兒, 可能的情況是無窮無盡的, 誰也不可能給你窮舉出來, 這個時候就要你自己發揮上面這仨本領細細地從定義出發來考慮一些全新操作的合理性.

3.3. 高等數學這門課的重點內容:

高數開局的函式與對映基本上就是送的, 你覺得高數很簡單, 然後第二節課··· 我擦, \[\varepsilon -\delta \] 語言是個什麽狗八玩應啊? 那其實像這種就不屬於重點內容, 我不知道你們期末考不考, 但這東西鐵沒啥用, 至少對理論物理學家而言是這樣的. 這些屬於分析學內容了, 分析學對我們的物理直覺沒多大幫助, 我們需要的是代數而不是分析, 我們需要的是直觀理解與形式上的運算規則. 所以只要是見到勸物理系新生學數學分析與泛函分析的, 你一律當放屁處理就好了.

不過話又說回來, 這個 \[\varepsilon -\delta \] 語言其實也不難理解, 跟著學一輪漲漲見識還是很有必要的, 只是不用太過於認真對待了. 你要說連續與極限的概念那到後期的拓撲學裏還有另一種定義形式呢, 你糾結一類具體的定義形式是沒啥必要的, 重點是理解這些定義背後的那些概念, 因為你將來計算的時候肯定不可能在腦子裏搬出一套什麽 \[\varepsilon -\delta \] 語言之類的火星文, 就極限本身真的是一個相當直觀的概念, 就是無限趨近嘛, 這不小學生都能理解?

那高數的精華內容是那些呢? 我閉卷回憶一下大概就是:

對映與函式: 一定要學會使用對映的語言, 將來碰到比較復雜的情況還是對映講得最清楚.

從對映的角度看函式大概就是這種感覺:

極限與無窮小的階: 這是一切的根基, 物理學是取近似的科學, 要是階都搞不清楚可就寄了.

一元微積分: 包括定積分與不定積分, 這基本上就是大學層次的乘除法, 裏面有許多的技巧, 然而比較重要的好像就是一個分部積分···

解析幾何: 常識級內容, 解析式與立體幾何影像的對應其實很直觀的. 其實解析式與影像的對應就是說, 影像本身是點構成的集合, 而這些點都能滿足解析式, 就這麽簡單. 對新手, 我個人推薦先把其中一個變量比如說 z 當作常數, 然後看看另外倆變量也就是 x-y 構成啥影像, 因為二維影像大家總是熟悉的了, 而這個二維影像實際上就是一個平面也就是 z=z_0 與所研究的立體圖形的截面, 然後研究截面隨著 z 如何改變, 這樣一層一層地把整個三維影像掃描出來就好了.

偏導數與全導數: 這個在理論推導中還是很有必要理清楚的, 實際上也不復雜, 後面會講講.

冪級數展開: 精華中的精華, 說是物理學的根基不為過, 是必須潛移默化的東西.

其實大概就這些, 像啥曲線曲面積分與微分方程式之類的東西其實很微妙.

曲線面積分在高數裏看著復雜的一批, 但等後期學到電動力學後會引入一個叫 nabla 的符號 \[\nabla \] , 然後配合所謂的 Green 公式與 Stokes 公式一切都會突然變得十分簡潔變得顯然起來, 所以沒啥必要認真對待高數裏教的那些亂七八糟的.

重積分就更簡單了, 你不用太在意那些所謂的化幾重積分為幾個定積分的幾種不同做法. 其實化 n 重積分為 n 次積分本質上就是用 n 次級分的 n 個上下限勾勒出 n 重積分的積分區域罷了. 你只要理解了這個目的, 接下來那些所謂的不同做法都是自然就會想到的. 哎, 你要真處理不來就別搞了, 說實在的往後我們都是全空間積分, 哪來的 n 重積分這麽復雜的東西啊?

至於微分方程式吧, 其實也不用怎麽掌握, 能記住二階常系數齊次方程式的解是平面波就行了, 那一階的怎麽辦? 解不出來再人為求一次導變二階唄 (笑) ^[5] .

要說的話還有個 Fourier 級數展開, 其實這個對物理系價值不那麽大, 倒是涉及訊號處理的工科用到的多, 物理系看重的其實是後期衍生出來的 Fourier 變換, 所以對這個級數展開只要稍作了解知道怎麽回事就行了.

4. 怎麽這個也算高數啊?

某人曾說過, 至少對於本科物理, 數學上就只需要掌握到高數和線代即可.

而這個某人就是我捏:

你去問任何一個物理人, 普遍應該會覺得我說的沒啥毛病, 但其實這裏有個比較黑話的地方, 那就是我們物理人口中的高數線代其實··· 稍微有點兒廣義.

先不談線代吧, 線代是下篇文章的主角, 暫且僅談高數, 那麽什麽是高數呢? 你大一的高數課程當然是高數, 但實際上, 在我們眼裏可以說所有要用到的不是線性代數的數學, 呃就, 都是高數··· 或者說所有研究怎麽折騰函式的數學都是高數.

比如說 Taylor 展開是高數, 其實洛朗展開 (Laurent expansion) 在我們看來也是高數, 其實不管啥級數展開我們都覺得是高數. 比如說傅立葉級數展開 (Fourier expansion) 是高數, 那其實傅立葉變換 (Fourier transform) 在我們看來也是高數, 進一步地所有積分變換比如說鮑萊耳變換 (Borel transform) 在我們看來也都是高數. 其實就算涉及到泛函的理論我們也還覺得是高數, 然後那一整本數學物理方法, 你猜我們還管它裏邊兒的內容叫啥? 沒錯, 高數.

但其實這麽說也沒錯, 因為, 它們真的和高數的形式差不了太多. 那接下來就講講這些高數課上講不到的或者不會這麽講的高數吧, 但它們的啟蒙確實都源於高數這門課.

4.1. 關於微分與導數的二三事:

首先最需要指出的是, 物理人的導數從來就只用 Leibniz 記號.

也就是說我們會寫 \[\frac{\text{d}y\left( x \right)}{\text{d}x}\] 而不會選擇寫成 \[{y}'\left( x \right)\] ,
這是因為我們確實就是把求導看作是倆無窮小量之比,
而前面帶有微分算符 \[\text{d}\] 的東西, 我們就看作是無窮小量.
所以對於解微分方程式時碰到的類似於 \[\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f\left( x \right)\Rightarrow \text{d}y=f\left( x \right)\text{d}x\] 的這種步驟,
我們還真就是認為這是將無窮小量 \[\text{d}x\] 給乘過去了, 且下面還會碰到更多類似的操作.
數學老師或許還專門跟你強調過不能這麽想,
但實際上, 我這麽整了這麽多年, 從來就沒出過錯 ^[6] .
所以我們更常寫微分, 需要導數的時候, 除過去就是了.

單說 \[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\] 又是個什麽玩意兒?

然後就是微碎形式的不變性.

我們喜歡寫微分其實就是因為有這個微碎形式不變性,
就是說對函式 \[f\left( u \right)\] 求微分可得 \[\text{d}f=\frac{\text{d}f}{\text{d}u}\text{d}u.\]
如果後來又發現 u 是 x 的函式, 那上面的式子也依然是成立的.
不過你也可以進一步地寫為 \[\text{d}f=\frac{\text{d}f}{\text{d}u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x.\]
所以無論怎樣, 你寫微分總是一個正確的式子,
而在 Leibniz 記號下這一切都是如此之容易記憶, 鏈式法也是如此顯然.
就是說你完全可以認為這是在除一個無窮小量再乘一個無窮小量, 同理還能約掉.

學完微分學積分, 積分其實就仨重點:

(1). 定積分是一個值, 這個意思就是說定積分僅依賴於上下限, 積分變量不重要可以隨便換.

具體而言就是 \[\int_{a}^{b}{f(x)\text{d}x}=\int_{a}^{b}{f(t)\text{d}t}\ne \int_{a}^{c}{f(t)\text{d}t}.\]

(2). 不定積分是與求導互逆的操作, 而其結果就是原函式, 是個函式 ^[7] .

具體而言就是 \[f(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ \int{f(x)\text{d}x} \right]\ne \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ \int{f(t)\text{d}t} \right]=f(t).\]
這很好理解, 就是 \[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\] 與 \[\text{d}x\] 約掉了嘛 (笑), 然後 \[\int{\text{d}f(x)}=f(x).\]
所以互逆指的就是對一個函式不定積分完再求導還是等於它自己. 但是求導完再不定積分會多出一個常數是怎麽回事? 其實這個常數是要透過求導前的函式在某一點處的值來確定的, 確定完就又等於回它自己了.

(3). 所以不定積分做完別忘了加一個任意常數, 因為任意常數的導數是零.

\[\int{f(x)\text{d}x}\equiv F(x)+c\Rightarrow \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[ F(x)+c \right]=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\text{F}(x)=f(x).\]
其實你也可以把 c 吸收到 \[F(x)\] 裏面去, 而這裏將 c 寫出來的本質目的其實想表達的是這個常數是任意的, 也就是說不定積分的解不唯一, 任意一個解函式加一個常數得到的仍然是所研究函式的不定積分. 而這個任意常數一般是由初始條件或邊界條件確定的, 呃··· 不用想得那麽玄乎, 這些所謂的條件其實就是某點的函式值罷了. 相比之下求導就沒有這個性質, 導函式加一個任意常數顯然就不再是所研究函式的導函式了.

(*). 其實你可以認為 \[\int\] 和 \rm d 互逆, 所以有 \[\text{d}\int{\equiv }\int{\text{d}}\equiv 1.\]

比如說有 \[\int_{a}^{b}{f(x)\text{d}x}=\int_{a}^{b}{\text{d}\int{f(x)\text{d}x}}=\int{f(b)\text{d}b}-\int{f(a)\text{d}a}.\]
又比如說有 \[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int{f(x)\text{d}x}=\frac{\cancel{\text{d}}}{\text{d}x}\cancel{\int}{f(x)\text{d}x}=\frac{1}{\text{d}x}f(x)\text{d}x=f(x).\]
或者 \[\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int{f(x)\text{d}x}=\int{\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)\text{d}x}=\int{\text{d}f(x)}=f(x).\]
很詭異對吧? 但推匯出來的這些結論都是正確的.

最後到重頭戲了, 一元可能沒啥意思對吧? 最困擾你們這幫 young ass 的終究還是那個偏導與全導的問題對吧? 其實還是微碎形式不變性, 這個問題我看很多地方都講的繞來繞去, 然而我發現你就只需要記住一個式子就完了.

你就只需要記住 \[\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}} \right)=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\text{d}{{x}_{1}}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\text{d}{{x}_{n}}\] 這個式子就夠了.
全微分你總是會做的, 那 這裏的系數就是偏導數, 完全可以把這個當作偏導數定義來看.
如果 \[{{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}}\] 都是變量 \[t\] 的函式之類的無非就是可以再做一步:
\[\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}} \right)=\left( \frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\frac{\text{d}{{x}_{1}}}{\text{d}t}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\frac{\text{d}{{x}_{n}}}{\text{d}t} \right)\text{d}t,\]
然後全導數就是 \[\frac{\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}} \right)}{\text{d}t}=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\frac{\text{d}{{x}_{1}}}{\text{d}t}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\frac{\text{d}{{x}_{n}}}{\text{d}t}\] 唄.
不過即便 \[{{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}}\] 都是變量 \[t\] 的函式, 最下面的這個式子依然是成立的:
\[\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}} \right)=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\text{d}{{x}_{1}}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\text{d}{{x}_{n}}.\]
而最迷惑新手的就是 \[f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}},t \right)\] 的情況, 這時搞不明白 \[\frac{\text{d}f}{\text{d}t},\frac{\partial f}{\partial t}\] 的區別對吧?
微分, 還是微分 \[\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}},t \right)=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\text{d}{{x}_{1}}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\text{d}{{x}_{n}}+\frac{\partial f}{\partial t}\text{d}t.\]
那 f 關於 t 的全導數無非就是先寫出:
\[\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}},t \right)=\left( \frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\frac{\text{d}{{x}_{1}}}{\text{d}t}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\frac{\text{d}{{x}_{n}}}{\text{d}t}+\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\text{d}t}{\text{d}t} \right)\text{d}t,\]
然後得到 \[\frac{\text{d}f\left( {{x}_{1}},\cdots ,{{x}_{n}},t \right)}{\text{d}t}=\frac{\partial f}{\partial {{x}_{1}}}\frac{\text{d}{{x}_{1}}}{\text{d}t}+\cdots +\frac{\partial f}{\partial {{x}_{n}}}\frac{\text{d}{{x}_{n}}}{\text{d}t}+\frac{\partial f}{\partial t}\] 就結束了.
如果 \[{{x}_{n}}\] 不是 t 的函式呢? 沒關系, 上式依然成立, 無非就是有 \[\frac{\text{d}{{x}_{n}}}{\text{d}t}=0\] 罷了.
那現在 \[\frac{\text{d}f}{\text{d}t},\frac{\partial f}{\partial t}\] 之間的區別就很寄吧清晰了對吧?

所以有時候偏導數和全導數混著寫也不一定會出錯, 因為它們確實可以相等.

事實上物理人都老寄吧會混著寫了, 但他們心裏清不清楚這些操作的合法性我就不好說了.

噢對了, 用我這套記號搞個什麽變上限積分函式求導之類的可就太過於顯然了:

也就是說你盡管做全微分就是了, 全微分出來的式子無論在什麽情況下都是成立的, 所以我們喜歡寫微分啊, 印象中曲率的定義與計算也可以成為一個不錯的練習:

再細致一點兒的情況可以用 Jacobi 行列式來解決, 我曾在熱力學的相關的 note 裏詳細介紹過相關操作, 感興趣的話可以去看看:

你的高數老師或許不喜歡看到我這麽講 ^[8] , 但你得承認這都很直觀很實用.

4.2. 物理學是一門關於近似的科學:

近似是物理學的靈魂, 近似是物理學的根基. 普遍意義上的物理學就是指的唯像學, 也就是試圖透過一些簡潔普適的理論來最大程度上地預言這個世界的演化過程. 那麽主導這個世界演化的規律是什麽呢? No one knows. 這個規律是宇宙的終極密碼, 是物理學的最終目標, 如果哪天我們發現了它, 那天迎來的將是理論物理的終結.

所以, 當下的所有物理理論, 都只是宇宙終極密碼的一個近似. 就當下而言, 物理學有三類理論: 在研究極小尺度的系統時, 我們有量子理論; 而在研究極高速的系統時, 我們有相對論; 最後就是在正常尺度與正常速度範圍內的理論, 即經典理論. 現在已知的是, 經典理論既是量子理論的一個宏觀尺度近似理論又是相對論的一個低速近似理論.

但你會說經典力學是錯誤的嗎? 如果要這麽說的話, 那麽量子理論與相對論就必須也都是錯誤的, 因為它們一定不是終極理論. 所以如果你執意要認為近似的理論是錯誤的, 那麽整個物理學就都沒有正確的部份了 ^[9] , 即使是標準模型它也對 Planck 能標往上走的精度是完全無知的, 而事實上終極理論究竟存在與否都還不好說.

所以一個更理智的做法是為每一個理論確定好適用的範圍, 即使你說經典力學是一個近似理論, 它的精確程度也一定超乎你的想象. 我們不妨看看與相對論相關聯的 Lorentz 修正因子的大小: Lorentz 因子即 \[\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{\text{c}}^{2}}}}}\] , 它一般作為系數乘在一些物理量上, 好那我們日常生活的速度如何? 想一個最快的感覺是高鐵吧? 但其實戰鬥機更快, 但也就是 \[4000\;{\text{km}}/{\text{h}}\] 的樣子吧, 代進去算出來的系數約等於 1.000000000007 , 我相信這和 1 相比沒啥區別吧? 所以經典物理的價值永遠不會消失, 只要人類還需要計算日常生活相關的數據的話.

正是因為存在這樣的近似關系, 所以一個物理量在不同精度的理論下雖然有著不同的表現形式, 比如說動量可以是 \[m\vec{v},-\text{i}\hbar \nabla ,\sqrt{{{E}^{2}}-{{m}^{2}}}{{\vec{e}}_{p}}\] , 但我們賦予它們的都是同一個記號 \[\vec{p}\] . 然後不同的物理量在不同精度的理論下, 它們之間的關系確實類似的, 這也就是我們上一篇提到的所謂物理影像的概念. 真的是很奇妙的一個事兒, 外人聽著混亂不堪但物理人看來一切都是如此親切, 因為我們實在是太懂近似了.

當你不需要相應精度時如果選擇了更精確的理論, 則這一切只會讓你的計算過程毫無意義地急劇復混成甚至根本算不出來. 事實上在近似理論中各個物理量之間的函式形式也都是近似的, 所以在人類無法掌控的精度上, 這些物理量之間的關系完全可能是任意的.

所以物理學就全都是近似求解? 可千萬不能這麽想.

雖然你嚴格求解的結果一定是現實世界的一個近似, 但這並不影響這個結果可以是相應物理理論中的嚴格解析解這一事實. 也就是說即便現有物理理論是終極理論的近似理論, 或者甚至是現有的更精確的理論的近似理論, 也絲毫不影響它本身可以構成一個完備自洽嚴謹的理論這一事實. 經典力學是嚴謹自洽的一套公理系統, 是數學上完備的一套物理理論模型, 只不過這個模型並不是真實世界所采用的那一款罷了. 所以當我們說某一實驗結果否定了經典力學時, 並不是在說經典力學出現了矛盾, 而只是發現現實世界的終極模型並不是經典力學罷了.

不過當你的理論在其適用範圍內有著極高的精度時, 它就是正確的理論, 所以不同尺度下實際上有著不同的正確理論, 而且它們有時很難或者完全不可能從精度更高的理論直接近似出來, 而是你研究出來之後會發現, 噢, 確實可以解釋為一個近似關系. 但實際上這也只是形式上的結論, 真要實操的話, 你在不同尺度下就是要選擇不同尺度的物理定律. 在量子場論裏我們要做重整化就是基於對這個思想的認可, 我們承認我們的理論無法處理無窮高的能標, 所以我們要透過所謂的正規化將高能標的部份扭曲掉, 並堅信高能標的物理不會影響到我們現在所研究的能標. 由此我們就能重整化出一個在相應能標下的正確理論或者說有效理論.

我擦, 不小心把留給場論的內容給講漏嘴了.

其實這一套就是 Wilson 的有效場論的思想, 你不得不承認這非常酷, 感覺就像是物理學的本質給他整明白了. 而這個不同尺度下有著不同正確理論的思想就源於 Anderson 那篇大名鼎鼎的 More is different , 這也就是大家平時吵來吵去的所謂建構論 vs. 湧現論.

這一切都表明, 凝聚態和粒子物理是一樣本質的東西, 別搞什麽鄙視鏈了 ^[10] .

4.3. 近似的起源之級數展開:

要用上級數展開的近似手段, 首先你得了解高階無窮小的概念.

數學中的無窮小實際上都是關於某一極限過程而言的, 比如 \[\sin \left( x-3 \right)\] 在 \[x\to 3\] 這個極限過程下是無窮小的, 但在 \[x\to 0\] 時則不是無窮小量.

而在同一個極限過程下的無窮小量是有階數之分的, 判斷兩個無窮小量階數之高低的方法就是對二者的比值取極限, 如果極限為零那麽分子上的就是高階無窮小, 如果極限為無窮那麽分子上的就是低階無窮小, 如果極限是一個有限量則二者為同階無窮小.

這個判斷方法是清晰明了的, 比如 \[x\to 0\] 的過程下,
顯然 \[{{x}^{2}}\] 就是 x 的高階無窮小, 因為 \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{x}=0\] ;
而此過程下 \[{{x}^{4}}\] 與 \[10000{{x}^{4}}\] 則是同階無窮小, 因為 \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{10000{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}}=10000\] ,
同時 \[{{x}^{4}}\] 與 \[10000{{x}^{4}}\] 也都是 x 的高階無窮小, 原因你懂的.

當然你可能會說判斷起來哪有這麽簡單, 一般見到的無窮小量不都是一堆亂七八糟的函式嗎? 那這就是冪級數展開的威力了.

如果你問我上過大學和沒上過大學的人最明顯的區別是什麽, 那我可能會說在一個上過大學的人眼裏一個性質良好的函式就是一個冪級數, 這樣當年學過的那些形態各異的光滑函式在形式上就被徹底地統一了, 而對於沒受過本科教育的人而言這一切將是難以想象的. 函式可以做展開的思想必須成為一個根深蒂固的常識與信仰, 物理人是如此之依賴這類操作以至於到了量子場論裏碰到了發散的級數還執意要研究所謂的漸進級數來做展開.

而在算符與代數的領域, 這些冪級數實際上就是函式符號的根本定義了.

讓我們做一個冪級數展開:

\[f\left( x \right)=\sum\limits_{n=0}{{{\left. \frac{1}{n!}\frac{{{\text{d}}^{n}}f\left( x \right)}{\text{d}{{x}^{n}}} \right|}_{x={{x}_{0}}}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}}}\equiv \sum\limits_{n=0}{{{a}_{n}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}}}.\]
取展開點為原點的話就是 \[f\left( x \right)=\sum\limits_{n=0}{{{\left. \frac{1}{n!}\frac{{{\text{d}}^{n}}f\left( x \right)}{\text{d}{{x}^{n}}} \right|}_{x=0}}{{x}^{n}}}\equiv \sum\limits_{n=0}{{{a}_{n}}{{x}^{n}}}.\]
取展開點為原點可以理解為令 \[x-{{x}_{0}}=y\] 這樣的變量代換.

至於冪級數展開系數的來源你可以這麽理解:

如果我們要求一個函式可以寫成冪級數的話就可以設 \[f\left( x \right)=\sum\limits_{n=0}{{{a}_{n}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}}}.\]
既然兩邊是相等的, 則關於 x 求任意階導都應該嚴格相等,
現在先不求導, 令 \[x={{x}_{0}}\] 有 \[{{\left. f\left( x \right) \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{\left. \sum\limits_{n=0}{{{a}_{n}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n}}} \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{a}_{0}}.\]
現在求一階導, 再令 \[x={{x}_{0}}\] 有 \[{{\left. \frac{\text{d}f\left( x \right)}{\text{d}x} \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{\left. \sum\limits_{n=1}{n{{a}_{n}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n-1}}} \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{a}_{1}}.\]
類似地 n 階導即 \[{{\left. \frac{{{\text{d}}^{m}}f\left( x \right)}{\text{d}{{x}^{m}}} \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{\left. \sum\limits_{n=1}{m!{{a}_{n}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{n-m}}} \right|}_{x={{x}_{0}}}}=m!{{a}_{m}},\]
所以有 \[{{a}_{m}}=\frac{1}{m!}{{\left. \frac{{{\text{d}}^{m}}f\left( x \right)}{\text{d}{{x}^{m}}} \right|}_{x={{x}_{0}}}}.\]

而我們在展開時總是會刻意地關於一個趨於 0 的量做展開, 即如果情況是 \[x\to {{x}_{0}}\] 那我們就關於 \[x-{{x}_{0}}\] 做展開就是了, 展開完就是這麽個效果:

\[f\left( x \right)={{a}_{0}}+{{a}_{1}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{a}_{2}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+\cdots +{{a}_{\infty }}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{\infty }}.\]

顯然越後面的無窮小階數越高, 所以越往後面的項就越不重要了, 行話叫越往後面的項貢獻就越小, 所以如果我們寫出 \[f\left( x \right)\approx {{a}_{0}}+{{a}_{1}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{a}_{2}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}\] , 那就是一種近似了.

如果我們近似到一階項, 即保留到 x 的一次冪項的話, 就叫 線性近似 , 算是內行黑話了, 線性近似就是近似取到線性項, 線性就是一次冪的意思.

其實這個展開最初叫泰勒展開 (Taylor expansion), 你在高數課上剛學的時候還要研究幾種不同的余項對吧? 其實那個是不重要的, 因為更高階的東西反正都扔掉了. 在後續的學習中你還會學到無窮級數的概念, 而無窮階的 Taylor 展開就構成了無窮級數中所謂的冪級數, 所以我就直接管這個叫冪級數展開了.

想進一步了解冪級數展開的話, 可以看看這篇幾百年前寫的介紹多元冪級數展開的 note:

在這篇 note 裏我很貼心地分析了幾種不同記號的轉換方法,
因為我估計很多 young ass 會對這些感到比較頭疼.

好那現在舉一個物理例項看看:

在狹義相對論裏, 動量與速度、品質的關系是 \[\vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{\text{c}}^{2}}}}}\] ,
如果說我們要取一個經典低速理論近似的話,
那顯而易見, 這裏的無窮小量就是 \[\frac{v}{\text{c}}\] , 關於 \[\frac{v}{\text{c}}\] 展開看看:
\[\vec{p}=\frac{m{{{\vec{e}}}_{v}}\frac{v}{\text{c}}\text{c}}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{\text{c}}^{2}}}}}\]
\[\ \ =m{{{\vec{e}}}_{v}}\frac{v}{\text{c}}\text{c}+\frac{1}{2}m{{{\vec{e}}}_{v}}\frac{{{v}^{3}}}{{{\text{c}}^{3}}}\text{c}+\frac{3}{8}m{{{\vec{e}}}_{v}}\frac{{{v}^{5}}}{{{\text{c}}^{5}}}\text{c}+\frac{5}{16}m{{{\vec{e}}}_{v}}\frac{{{v}^{7}}}{{{\text{c}}^{7}}}\text{c}+\cdots \]
如果我們取一階近似的話就是 \[\vec{p}\approx m{{\vec{e}}_{v}}\frac{v}{\text{c}}\text{c}=m\vec{v}\] 即回到了經典力學的動量定義.
即便取到無窮階, 也只是收斂到狹義相對論的動量定義, 因為就是在對它做展開.

如果將來發現了比相對論更精確的理論, 那麽它的展開近似將能得到狹義相對論的結論. 但我們根本不知道更高精度的理論是怎樣的. 事實上對於更高精度的部份你完全隨便瞎寄吧亂寫, 只要能保證寫完的理論在有限階的近似下能給出相對論來那就可以把它當作與相對論等價的正確理論去使用. 所以說動量與速度、品質之間的關系在更高的精度下完全可以是任意的.

4.4. 忽略高階項不會帶來誤差嗎:

曾經就有人問過這個問題, 他是這麽想的, 對一個函式在 \[{{x}_{0}}\] 的小領域展開後是這樣的:

\[f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+\frac{\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}{{x}_{0}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{\text{d}}^{2}}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}x_{0}^{2}}{{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+\cdots \]
小領域指的是 \[x\to {{x}_{0}}\] , 記 \[\text{d}x=x-{{x}_{0}}\] 的話就有:
\[f\left( {{x}_{0}}+\text{d}x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+\frac{\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}{{x}_{0}}}\text{d}x+\frac{{{\text{d}}^{2}}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}x_{0}^{2}}{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+\cdots \]
如果只保留前面兩項就叫小領域的 線性近似 \[f\left( {{x}_{0}}+\text{d}x \right)\approx f\left( {{x}_{0}} \right)+\frac{\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}{{x}_{0}}}\text{d}x.\]
那微分運算其實某種意義上確實可以理解為是 \[\text{d}f\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)\] ,
這樣就有 \[\text{d}f\left( x \right)=\frac{\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}{{x}_{0}}}\text{d}x+\frac{{{\text{d}}^{2}}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}x_{0}^{2}}{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+\cdots \]

但平時怎麽好像只保留了第一項? 就是說 \[\text{d}f\left( x \right)=\frac{\text{d}f\left( x \right)}{\text{d}x}\text{d}x\] 是啥意思?

實際上這是物理人符號混亂的鍋, 但其實不深究 ^[11] 的話也沒那麽大問題,
就按照我前面說的那些野雞數學思考模式, 其實還是可以理解的,
關鍵就在於搞清楚極限與高階無窮小的概念, 所以我說高階無窮小的概念很重要吧:
名言警句之 『就以後, 碰到不同階的無窮小時, 高階的都可以直接扔掉.』
這就是說碰到了類似於 \[{{c}_{1}}\text{d}x+{{c}_{2}}{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{c}_{8}}{{\left( \text{d}x \right)}^{8}}\] 之類的式子,
那可以直接寫出等式: \[{{c}_{1}}\text{d}x+{{c}_{2}}{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{c}_{8}}{{\left( \text{d}x \right)}^{8}}={{c}_{1}}\text{d}x.\]
在極限 \[\text{d}x\to 0\] 的過程下這個等式是嚴格成立的, 理由如下:
\[\ \ \ \ \ \ {{c}_{1}}\text{d}x+{{c}_{2}}{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+{{c}_{8}}{{\left( \text{d}x \right)}^{8}}\]
\[=\text{d}x\left[ {{c}_{1}}+{{c}_{2}}\frac{{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}}{\text{d}x}+{{c}_{8}}\frac{{{\left( \text{d}x \right)}^{8}}}{\text{d}x} \right]\overset{\text{d}x\to 0}{\mathop{=}}\,\text{d}x\left( {{c}_{1}}+{{c}_{2}}\cdot 0+{{c}_{8}}\cdot 0 \right)={{c}_{1}}\text{d}x.\]
這實際上就是高階無窮小的定義, 那你又要問了為啥這個 \[\text{d}x\] 還留著? 不是零嗎?
那你要那麽喜歡零的話是零也行咯, 得到啥? 不就是 \[0+0+0=0\] ? 也就是比較燒罷了.
這當然沒錯, 但這有意義嗎? 我們保留最低階是因為在後續的運算中只有它的資訊有意義 ^[12] .
然後如果一堆無窮小量與個常數 ^[13] 相加, 那這些無窮小量就都可以扔了, 它們排不上用場:
比如說 \[{{x}_{0}}+\text{d}x={{x}_{0}}\] 之類的.
那有了這些, 就好辦了:
\[\text{d}f\left( x \right)=\frac{\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}{{x}_{0}}}\text{d}x+\frac{{{\text{d}}^{2}}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}x_{0}^{2}}{{\left( \text{d}x \right)}^{2}}+\cdots \]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\text{d}f\left( {{x}_{0}} \right)}{\text{d}{{x}_{0}}}\text{d}x=\frac{\text{d}f\left( x-\text{d}x \right)}{\text{d}\left( x-\text{d}x \right)}\text{d}x=\frac{\text{d}f\left( x \right)}{\text{d}x}\text{d}x.\]
你平時可以就這麽理解, 反正我這麽多年也沒出過錯, 雖然更嚴謹的定義我也懂吧···
其實微分幾何裏關於這個問題的討論就更是重量級, 很值得玩味, 不過這裏就先不講了.

所以, 我們日常生活中通常就是這麽判斷無窮小量的階數的:

帶個微分算子的量, 比如說 \[\text{d}x,\text{d}y,\text{d}m(x)\] 之類的東西, 就都是一階無窮小量.
所以你對一個函式求全微分後, 它就成了一個無窮小量, 當然不定積分後又會變回有限量 ^[14] .
而 n 個一階無窮小量乘起來的 \[\text{d}x\text{d}m(x)\text{d}z\cdots \text{d}t\text{d}p(y)\] 這樣的就是 n 階無窮小量.
另外就是, 針對某個小量做冪級數展開時, 那個小量的冪就是階數.

你有很多手段可以將無窮小量疊加為有限量, 最常見的就是積分, 而現在要清楚的就是一重積分只會讓所有無窮小同時升一階, 而一階無窮小就升格為有限量. 當然你要是對有限量進行積分的話就會發散, 因為積分本質上就是無窮求和, 我們對無窮個一階無窮小量進行求和得到的就是有限量, 對無窮個有限量求和自然就會發散, 而對二階無窮小量進行一次積分它也就是變成一階無窮小罷了. 如果二階無窮小邊上有個一階無窮小的話, 那現在人家積分完就是有限量了, 如果再積分一次人家就會帶著整個式子一起發散, 所以無論如何, 高階無窮小都無法作為有限量給我們帶來有效資訊, 也就可以直接刪掉沒有任何問題.

寫出來就是類似於 \[\text{d}y=p\left( x \right)\text{d}x+q\left( x \right)\text{d}x\text{d}z\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \int{\text{d}y}=y+\text{constant}=\int{p\left( x \right)\text{d}x}+\int{q\left( x \right)\text{d}x}\text{d}z\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =P\left( x \right)+Q\left( x \right)\text{d}z=P\left( x \right)\] 這種感覺吧,
總之高階無窮小就是可以直接刪掉的.

最後要提的一點就是, 物理中經常對一個有限但比較小的量做展開, 這種情況下每一項都是有意義的, 因為都是有限量只是越來越小罷了, 然後就只求前幾項, 因為越到後面影響就越來越小··· 好吧其實是因為越到後面就越難算了.

以前還有人問我為啥全微分是寫成 \[\text{d}f\left( x,y \right)=\frac{\partial f}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\text{d}y\] 這樣的.

我問他那你覺得應該啥樣? 他問為啥不是 \[\text{d}f\left( x,y \right)=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}\text{d}x\text{d}y\] ?
那麽電視機前的小盆友們, 你們知道答案嗎?
沒錯, 你這麽寫不就是在說一個一階無窮小等於一個二階無窮小了嗎? 豈不荒唐?

其實全微分的意思就是說, 一個多變量函式的線性部份是各個變量對應的線性部份之和, 這很直觀.

總之就是一定要搞明白啥是高階無窮小以及為啥刪了它不會有誤差.

最後提一下, 今後在物理學中你將會極大量地遇到一些無窮小操作, 比如說什麽做一個無窮小平移或旋轉、升一個無窮小溫度之類的. 第一次見的時候你可能會感到很詭異, 就會很想問你媽你無窮小的操作不等於沒操作嗎? 但實際上這種做法是很天才的, 因為當我們不知道變換的具體形式或不知道變換後的效果時, 如果只做無窮小變換的話就可以自然地忽略掉高階項, 於是就把一個復雜的問題取了一個線性近似. 然後輕輕松松地研究完了以後呢, 再透過積分之類的手段把這個一階無窮小量的變換延拓到有限變換, 於是問題就研究完畢了.

還有一個比較奇妙的就是其實並不只有積分這一招能使無窮小量升一階, 其實有很多巧妙的無窮疊加手段都能辦到這一點, 下面演示一個比較酷的:

量子力學中我們有平移算符 \[{{Q}^{\dagger }}\left( x \right)={{\text{e}}^{-\text{i}\frac{P}{\hbar }x}}.\]
你先不要管怎麽平移的, 你還沒學到, 總之就是假如我們還不知道平移算符的形式,
但我們總可以知道兩次不同的平移操作當然要滿足下面這個關系:
\[{{Q}^{\dagger }}\left( {{x}_{2}} \right){{Q}^{\dagger }}\left( {{x}_{1}} \right)={{Q}^{\dagger }}\left( {{x}_{1}} \right){{Q}^{\dagger }}\left( {{x}_{2}} \right)={{Q}^{\dagger }}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).\]
就是說先移動 x_1 再移動 x_2 與先移動 x_2 再移動 x_1 的效果是一樣的,
都是移動了 \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}.\]
現在假如我們研究出了無窮小平移的運算式為 \[{{Q}^{\dagger }}\left( \text{d}x \right)=1-\text{i}\frac{P}{\hbar }\text{d}x\] 的話,
那一切就都好辦了:
\[{{Q}^{\dagger }}\left( x \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{Q}^{\dagger }}\left( \frac{x}{n}+\frac{x}{n}+\cdot \cdot \cdot +\frac{x}{n} \right)\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ {{Q}^{\dagger }}\left( \frac{x}{n} \right) \right]}^{n}}\] 這裏用到了平移的性質.
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1-\text{i}\frac{P}{\hbar }\frac{x}{n} \right)}^{n}}\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left[ {{\left( 1-\text{i}\frac{P}{\hbar }\frac{x}{n} \right)}^{-\frac{n\hbar }{\text{i}Px}}} \right]}^{-\text{i}\frac{P}{\hbar }x}}={{\text{e}}^{-\text{i}\frac{P}{\hbar }x}}\] 這裏是重要極限定義.

所以我們可以先分析無窮小操作, 然後得到有限操作, 這是物理學研究的一個精髓思想.

4.5. 積分變換:

我知道你高數裏學過所謂的 Fourier 級數展開, 我看知乎上好多人都把這玩意兒整的神乎其神的, 其實好像也沒啥了不起的吧? 我是說發現者 Fourier 確實很了不起, 但你學會這麽個玩意兒真的需要整那麽多玄學分析嗎? 好像就是用頻率為周期函式頻率整數倍的一組三角函式做完備基底展開一個周期函式? 這不是很直觀清晰的東西嗎?

咱先不管這個, 反正你以後也碰不到啥周期函式, 對我們理論物理人而言真正重要的是這裏推廣出來的 Fourier 變換, 級數展開也有復數的版本, 在那裏三角函式被換成了平面波 \[{{\text{e}}^{\text{i}n\omega t}}\] , 然後進一步推廣到 Fourier 變換之後呢? 我們把無窮級數求和改成了積分, 對被變換的函式也不再設有周期性的要求, 而作為基底的平面波也可以有連續的頻譜且從基底變成所謂的積分核了.

那其實你完全可以撇開 Fourier 級數展開的思想包袱, 就是完全沒學過也沒關系好吧, 我們就從零開始定義這個變換:

Fourier 變換: \[g\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( t \right){{\text{e}}^{-\text{i}\omega t}}\text{d}t}.\]
Fourier 逆變換: \[f\left( t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{g\left( \omega \right){{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}\text{d}\omega }.\]

那其實這裏完全沒有啥門檻, 就是一個積分變換的定義罷了, 就是說假如我們有一個函式 \[f\left( t \right)\] 那就可以對它做 Fourier 變換, 然後得到一個蘊含的資訊與它完全相同的 \[g\left( \omega \right)\] , 因為它倆是互逆的, 所以包含的資訊肯定一模一樣. 也就僅此而已, 這就叫積分變換, 我們就是把一個關於 t 的函式換成了一個關於 \[\omega \] 的函式罷了.

其實所有的積分變換就都只是積分變換罷了, 什麽拉普拉斯變換 (Laplace transform), [Borel 變換] 都是這樣的, 就是引入個參數做個積分, 然後原來的變量沒了剩個參數作新的變量.

那我們為啥要做呢? 這主要是有時候在 \[\omega \] 空間裏研究問題會突然簡單很多. 然後在物理上其實出現率更高的是 \[{{\text{e}}^{\text{i}\frac{p}{\hbar }x}}\] 這種積分核, 這就會將座標的函式換成一個動量的函式, 這也就是物理人常說的去動量空間處理. 聽起來巨媽科幻對吧? 其實就是這麽個積分變換罷了. 至於說為何座標與動量互為 Fourier 共軛, 且聽量子力學那一期的分解.

如果你將變換式代入逆變換式:

\[\begin{align} & f\left( t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{g\left( \omega \right){{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}\text{d}\omega } \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{\left[ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( {{t}'} \right){{\text{e}}^{-\text{i}\omega {t}'}}d{t}'} \right]{{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}\text{d}\omega } \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\int_{-\infty }^{\infty }{f\left( {{t}'} \right)\left[ \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{{\text{e}}^{\text{i}\omega \left( t-{t}' \right)}}\text{d}\omega } \right]\text{d}{t}'}. \\ \end{align}\]

這種選擇性實際上就是 δ 函式的定義 , 也是 δ 函式的重要功能, 所以我們可以說:

\[\delta \left( t-{t}' \right)\equiv \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{{\text{e}}^{\text{i}\omega \left( t-{t}' \right)}}\text{d}\omega }.\]

或者如果你總覺得不太接受上面那個就是 δ 函式的定義的話, 還可以這樣想:

對 δ 函式做 Fourier 變換 \[\tilde{\delta }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{{\text{e}}^{-\text{i}\omega t}}\delta \left( t \right)dt}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\] 是個常數.
這樣再積分回去就有 \[\delta \left( t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{\tilde{\delta }\left( \omega \right){{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}d\omega }=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}d\omega },\]
物理··· 很奇妙吧?

對離散的 Kronecker delta 也有類似的奇妙結論:

在 \[t\in \left( -\frac{\pi }{\omega },\frac{\pi }{\omega } \right)\] 或者說 \[t\in \left( -\frac{T}{2},\frac{T}{2} \right)\] 時 ^[15] ,
\[{{\delta }_{t{t}'}}=\frac{1}{N+1}\sum\limits_{n=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}{{{\rm e}^{{\rm i}n\omega \left( t-{t}' \right)}}}=\left\{ \begin{align} & 1\ \ \ \ \ t={t}', \\ & 0\ \ \ \ \ t\ne {t}'. \\ \end{align} \right.\]
這個結論很容易證明, 你可以自己試試.

4.6. 多重積分測度、分部積分與邊界項:

這是一個很奇妙的小 topic, 就在一元函式裏我們有一個叫分部積分的超好用技巧:

\[\int_{a}^{b}{u\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\text{d}x}=\left. uv \right|_{x=a}^{x=b}-\int_{a}^{b}{v\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x}.\]

它的原理也十分簡單, 就是 \[\text{d}\left( uv \right)=u\text{d}v+v\text{d}u\] , 具體到這個情況就是:

\[\text{d}\left( uv \right)=u\text{d}v+v\text{d}u\Rightarrow u\text{d}v=\text{d}\left( uv \right)-v\text{d}u\Rightarrow u\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\text{d}x=\text{d}\left( uv \right)-v\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x.\]
然後對右邊的式子作定積分就有 \[\int_{a}^{b}{u\frac{\text{d}v}{\text{d}x}\text{d}x}=\left. uv \right|_{x=a}^{x=b}-\int_{a}^{b}{v\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\text{d}x}.\]

就是說把導數算符的位置對調一下只會多出一個邊界項與一個負號.

不過三維甚至更高維的形式我看好像沒有啥地方具體講過, 就大家好像就預設成立了.

就比如說 \[\int{{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\partial }_{\nu }}F{{\text{d}}^{D}}x}=-\int{F{{\partial }^{\nu }}{{M}_{\mu \nu }}{{\text{d}}^{D}}x}\] 是怎麽來的呢?

下面你可能會看不太懂, 但一個重點就是:
將來的碰到的 \[{{\text{d}}^{D}}x\] 這種 D 維積分測度實際上是 \[\prod\limits_{a=1}^{D}{\text{d}{{x}^{a}}}\] 的縮寫.
三維的情況就是 \[{{\text{d}}^{3}}x\equiv \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\text{d}{{x}_{1}}\text{d}{{x}_{2}}\text{d}{{x}_{3}}.\]

好, 那接下來就是簡單證個明:

\[\begin{align} & \ \ \ \ \ \int{{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\partial }_{\nu }}F{{\text{d}}^{D}}x} \\ & =\int{{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\partial }_{\nu }}F\prod\limits_{\rho }{\text{d}{{x}^{\rho }}}} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\int{{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\partial }_{\nu }}F\text{d}{{x}^{\rho }}}} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\int{{{M}_{\mu }}^{\nu }\frac{\partial F}{\partial {{x}^{\nu }}}\text{d}{{x}^{\rho }}}} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\int{{{M}_{\mu }}^{\nu }\text{d}F\frac{\partial {{x}^{\rho }}}{\partial {{x}^{\nu }}}}} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\int{{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\delta }_{\nu }}^{\rho }\text{d}F}} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\int{{{M}_{\mu }}^{\rho }\text{d}F}} \\ \end{align}\]
\[\begin{align} & =\prod\limits_{\rho }{\left( \left. F{{M}_{\mu }}^{\rho } \right|_{{{x}^{\rho }}=-\infty }^{{{x}^{\rho }}=\infty }-\int{F\text{d}{{M}_{\mu }}^{\rho }} \right)} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\left( \left. F{{M}_{\mu }}^{\rho } \right|_{{{x}^{\rho }}=-\infty }^{{{x}^{\rho }}=\infty }-\int{F\text{d}{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\delta }_{\nu }}^{\rho }} \right)} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\left( \left. F{{M}_{\mu }}^{\rho } \right|_{{{x}^{\rho }}=-\infty }^{{{x}^{\rho }}=\infty }-\int{F\text{d}{{M}_{\mu }}^{\nu }\frac{\partial {{x}^{\rho }}}{\partial {{x}^{\nu }}}} \right)} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\left( \left. F{{M}_{\mu }}^{\rho } \right|_{{{x}^{\rho }}=-\infty }^{{{x}^{\rho }}=\infty }-\int{F\text{d}{{x}^{\rho }}\frac{\partial {{M}_{\mu }}^{\nu }}{\partial {{x}^{\nu }}}} \right)} \\ \end{align}\]
\[\begin{align} & =\prod\limits_{\rho }{\left. F{{M}_{\mu }}^{\rho } \right|_{{{x}^{\rho }}=-\infty }^{{{x}^{\rho }}=\infty }}-\int{F\frac{\partial {{M}_{\mu }}^{\nu }}{\partial {{x}^{\nu }}}\prod\limits_{\rho }{\text{d}{{x}^{\rho }}}} \\ & =\prod\limits_{\rho }{\left. F{{M}_{\mu }}^{\rho } \right|_{{{x}^{\rho }}=-\infty }^{{{x}^{\rho }}=\infty }}-\int{F{{\partial }_{\nu }}{{M}_{\mu }}^{\nu }{{\text{d}}^{D}}x}=-\int{F{{\partial }^{\nu }}{{M}_{\mu \nu }}{{\text{d}}^{D}}x}. \\ \end{align}\]

最後一步其實就是把邊界項扔了, 因為在一般無窮遠處必須是零, 否則研究的系統就不收斂了.

4.7. 積分與求和差不多就是一回事, 都能與求導瞎寄吧換位置:

積分符號在我們這裏從來就沒有啥神聖性, 它本質上不就是無窮求和嗎? 那就是求和, 所以在一個物理老油條眼裏 \[\int{\text{d}x},\sum\limits_{n}{{}}\] 這倆符號差不多是一回事···

你可以對一個數列求和最後得到一個不帶求和指標的數 \[{{a}_{n}}\to \sum\limits_{n}{{{a}_{n}}}.\]
你也可以對一個函式求積分最後得到一個不帶變量的數 \[f\left( x \right)\to \int_{-\infty }^{\infty }{\text{d}xf\left( x \right)}.\]

積分一般就是預設全空間積分, 理論物理九九成的積分都是全空間積分, 所以最後我們都懶得寫上下限了, 然後積分變量也寫到左邊兒去了, 反正就是懂的都懂. 最後就是, 這倆確實很像對吧? 其實原理都差不多, 就是求和.

所以對一個積分變換, 有時候我們也會說是一個展開式:

比如說 \[f\left( t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{g\left( \omega \right){{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}\text{d}\omega }.\]
我們就會說他是把 \[f\left( t \right)\] 作平面波展開了, 展開系數是 \[g\left( \omega \right)\] , 核函式 \[{{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}\] 就是基.
我們為啥要說出這種渾話呢?
反正就是說了, 大家都這麽說, 因為這確實和離散展開沒啥區別.
反正在量子場論裏場算符就是這樣進行所謂的動量模式展開的.

最後就是可以瞎幾把換位置的這個問題:

\[\ \ \ \sum\limits_{n}{\sum\limits_{m}{\frac{\text{d}}{\text{d}y}}}\int{\text{d}x}{{A}_{n}}\left( x,y \right){{B}_{m}}\left( x \right)\]
\[=\int{\text{d}x}\sum\limits_{m}{\sum\limits_{n}{\frac{\partial {{A}_{n}}\left( x,y \right)}{\partial y}{{B}_{m}}\left( x \right)}}=\sum\limits_{m,n}{\int{\text{d}x}\frac{\partial {{A}_{n}}\left( x,y \right)}{\partial y}{{B}_{m}}\left( x \right)}.\]
物理人就是這樣的, 我們處理的函式一般就是性質良好, 怎麽整都很難出亂子的.
實際上這也不難理解吧? 你每一項都求和完再求導和都求導完再求和當然是相等的啊.
因為求導是一個線性算符嘛, 所謂線性就是有分配律且能隨便繞過不含求導變量的系數.
然後積分其實就是求和, 所以, 所以你懂的.
最後就是求和次序也可以隨便交換, 其實這和交換積分次序差不多是一回事嘛.

寫得搞笑點就是 \[\left[ \int{\text{d}x},\sum\limits_{n}{{}} \right]=\left[ \sum\limits_{n}{{}},\sum\limits_{m}{{}} \right]=\left[ \frac{\text{d}}{\text{d}y},\int{\text{d}x} \right]=0\] , 大家都對易 ^[16] .

會不會出錯呢? 極小機率, 如果誰科研中這麽搞出錯了, 那他估計恨不得跟所有人都提一嘴, 然後將來大家課上學到這裏的時候教授就會專門強調一下: 唯獨這裏咱不能這麽做了嗷.

參考

1. ^ 每年的開學時期是輔導員最忙的時候, 如果你主動提出去幫助輔導員整理檔的話, 就可以在空調房裏躲掉軍訓, 不展開講了, 這是我一朋友告訴我的 (.
2. ^ 微積分我用屁股都能算.
3. ^ 太過於基礎的內容我可懶得講嗷.
4. ^ 就是對應 Lie 群的基本表示的生成元.
5. ^ 我以前還真這麽幹過, 確實可行啊.
6. ^ 當然對背後的極限過程也必須是要有比較到位的理解才行.
7. ^ 求導的結果就是導函式, 也是個函式.
8. ^ 或者可能看完當場去世.
9. ^ 試想有人對某個集合內的元素提出了一個分類標準, 結果按照他這個標準只能把所有的元素都歸為同一類, 那他是不是鐵弱智呢?
10. ^ 噢, 材料除外, 材料確實有點兒撈.
11. ^ 真要理清楚這個問題其實確實有點兒繞.
12. ^ 等下會講這個問題.
13. ^ 值得一提的就是你得先保證無窮小量邊兒上的這個數不會趨於零, 在量子場論裏我們分母上經常會寫一個無窮小量 iε, 但我們不會輕易刪掉它, 因為邊上的量在殼時會趨於零, 這時就需要這個無窮小量來使這一項發散.
14. ^ 所以說微分和積分是互逆的操作, 但別忘了加個常數 C.
15. ^ 也就是一個周期之內
16. ^ 對易子起碼要等到量子力學才能介紹, 所以是一個比較超前的笑話吧···