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從歐幾裏得的【幾何原本】問世，幾何大廈的地基算是正式打下來了，在歐幾裏得建立的幾何公理體系下，幾何大廈拔地而起，刺入蒼穹.
然而與此同時，對於其的爭議也從未停歇.
我們現在來回答為什麽它沒能解決我們一開始提的這個問題.
【幾何原本】的硬傷
在【幾何原本】中，歐幾裏得很努力地想要給點、線、面一個定義，我們來看看這幾條定義：
第一條：點是沒有部份的.首先這個並不是一個規範化的定義，按照邏輯學對定義的觀點， 定義是指以簡短的形式揭示概念的內涵和外延，使人們明確它們的意義及其使用範圍的邏輯方法. 很顯然，這條定義並沒有清晰告訴我們什麽樣的東西可以稱為「點」；
其次， 什麽叫「部份」？ 你不能拿一個本身就模糊不清的概念去定義另一個概念...
第二條：線只有長度而沒有寬度.和「點」的定義存在一樣的問題，「線」的內涵與外延不清晰，而且不知道何為「長度，寬度」.
第四條：直線是它上面的點一樣地平放著的線；什麽叫「平放」？
而且， 倘若我們接受第四條，那就意味著：線是由點組成的. 可是點沒有部份，沒有大小，那線怎麽會有長度呢？同樣的，如果面是由線組成的，那線沒有寬度，面的寬是從哪來的呢？
我們可以用「線是點的運動軌跡」來解釋嗎？
很遺憾同樣不可以， 何為運動軌跡？符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡，所以軌跡也是由無數個點組成的.
當然，我不是否定這本書，正相反，這本書每一位數學老師以及幾何愛好者都應該讀一讀. 我們不能因為它存在不足之處就否定其價值，同樣也不能因為其巨大成就就不去正視它的問題. 真正的數學家並不會回避其存在的問題，他們會不停地想盡辦法將其地基打得更牢固，而不僅僅是將這座大廈建得高高的.
在此後的兩千年中，數學家們不斷嘗試給「點、線、面」一個嚴謹的、恰如其分的定義，但結果並不理想. 慢慢大家開始接受一個事實，就是 在任何一組幾何公理體系中，就像它必然存在某些無法證明的基本事實一樣，它也必然會存在一些無法定義的概念，如點、線、面.
可是，如果不能定義這三個家夥，那幾何豈不成了空中樓閣了？
在歐幾裏得的幾何大廈搖搖欲墜之際，天降猛男了. 在數學史上，幾乎每一個重大問題的突破的背後，都有著一個個人英雄主義一樣的故事.
而這次的英雄，是德國數學家，上個世紀最偉大的數學家之一， 大衛·希爾伯特（ \rm David\space \space Hilbert,1862—1943 ）.
希爾伯特幾何公理體系
很慚愧的是，關於曾經學過的那些屬於希爾伯特的研究成果，我已悉數還給了母校\rm hhh ...但是他的傳奇英雄故事依舊深深印在我的腦海中，這是一個以一己之力推動二十世紀數學蓬勃發展的大佬. 在1900 那一年，當時幾乎所有的數學家都相信他們已經完成了數學的偉大版圖，直到當年的巴黎國際數學家大會上，希爾伯特提出了著名的23 個問題.
這23 個問題猶如平地驚雷，將當時的數學界原地炸開，炸出了多大的坑呢？1900 年時，世界上所有的數學知識可以裝入大約八十部書籍之中；而時至今日，數學則需要數十萬部書籍才能容納…
而在前一年的1899 年，他還寫了一本書—— 【幾何基礎】 ，為數學界帶來了希爾伯特的公理體系.
我們來看一看，他怎麽解決歐幾裏得的幾何公理體系中的遺留問題的.
在他的體系中，他 將點、線、面這三個作為不加定義的基礎概念，稱之為幾何的基本元素 ，大家可以設想一下這個場景，站在我們面前的有三個東西，這三個東西分別叫做點、線、面.
透過點、線、面的適當組合，我們就可以得到任意的幾何圖形了. 恰如希爾伯特所言： 「我們必定可以用桌子、椅子和啤酒杯帶代替點、線、面」.
在這個體系中，點、線、面被進一步抽象，它們將不用歐幾裏得體系中那些直觀上看得見、摸得著的東西來定義了，它們成了 純粹的抽象元素符號.
這個處理方法完美解決了開篇的那個問題， 它避開了「線是由點構成的，面是由線構成的」這一設定，我們不再糾結於線和點、面和線之間的父子關系，而是將點、線、面設定為了三個互相獨立的元素個體 ，真是巧妙啊！
那麽，如何讓這三個元素之間產生聯系呢？它們的性質該如何體現呢？這就需要在三者之間設定一些關系和公理了.
希爾伯特在體系中構建了三種元素之間的基本關系： 關聯關系、順序關系、合約關系 ，透過這三種關系，在三者之間架起關系的橋梁. 如「點線上上」就稱為「點和線相互關聯」，當直線上有3 個及以上的點時，這些點之間就需要一個順序關系了.
同時，希爾伯特還像歐幾裏得一樣，設定了20 個公理，作為體系的基石，這裏我就不貼上了.
另外說一句，公理體系的標準 相容性，獨立性，完備性 也是希爾伯特提出來的，你就說牛不牛吧~
高枕無憂了嗎？
然而就是這位大佬，一位幾乎完美解決幾何公理體系的大佬，竟然被另一位大佬澆了一盆冷水. 這位大佬又是誰呢？[吃瓜×1]
除了我們開篇的問題外，歐幾裏得的幾何公理體系中，其實還有一個更致命的問題，這個問題直接導致了幾何世界的分裂！是什 麽問題呢？[吃瓜×2]
我們現行的初中課本所講授的，真的是歐幾裏得的幾何體系嗎？[吃瓜×3]
