世界上存在周長為整數，半徑也是整數的圓嗎？

2022-02-13知識

首先來看圓及其半徑和周長的定義:

圓是一個平面上所有與某一定點 O 之間的距離等於某一定值 r 的點的集合。
圓的半徑是上述定值 r 。
圓的周長是組成圓的曲線的長度。

在圓的定義中，「平面」這一概念很好理解，這裏我們用平面直角座標系描述平面。

然而「距離」這一概念的定義尚不明確。這裏我們假定此處的距離是一個函式 d(X,Y) ，它接收2個平面上的點，輸出1個實數，這個實數即是兩點之間的距離。

例1：我們一般說的距離又稱 歐幾裏得距離 ，用勾股定理進行計算，兩點 X,Y 之間的距離 d(X,Y)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} ，其中 (x_1,x_2),(y_1,y_2) 分別是點 X,Y 的座標。

例2： 曼哈頓距離 ： d(X,Y)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| ，其中 (x_1,x_2),(y_1,y_2) 分別是點 X,Y 的座標。什麽？你問哪有這種距離？

遊戲【Minecraft】中，足夠大的平面上的一方塊水最多可以流出曼哈頓距離7方塊遠。這個「菱形」區域的邊緣方塊與它的中心方塊的曼哈頓距離是7。

例3： 切比雪夫距離 ：d(X,Y)=\max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|) ，其中 (x_1,x_2),(y_1,y_2) 分別是點 X,Y 的座標，\max(a,b) 表示 a 和 b 中最大的那個值。

西洋棋中，「王」可以移動到與自己的切比雪夫距離為1的任何空格子上。

以上三種距離的定義都符合以下條件：

我們稱滿足這三個條件的函式為 度規(metric) 。某種意義上，度規是距離的「完全體」。

我們註意到，如果使用切比雪夫距離，那麽一個半徑為1的圓實際上是一個周長為8的正方形。這符合題主的要求。另外，還有多種度規也符合這種要求，在此不進行例舉。

結論：如果認為「世界上的距離」中包含這些滿足要求的度規，那麽世界上確實存在周長和半徑都是整數的圓。這並沒有顛覆一切，而且題主比最先發現這事的人晚了幾百年。

題外話：整數的 2\pi 倍不可能是個整數這事大佬們已經說清楚了，我就在這整個活(doge

參考