我是社會學專業，在我遇到我下面要講的這個問題之前，我也沒想到最終要用到泛函分析這麽復雜的數學工具
這個問題就是： 在一個社會中，如果背叛者註定比合作者收獲更多，那麽美德究竟是如何形成的？
我在思考這個問題的時候，為了更貼近現實，做了兩個假設：
- 大部份時候，人的行為都是非理性的，只會去模仿他們眼前看到的獲益最多的人的行為
- 人在面對同一個事物時，選擇不是非黑即白的，而是呈一種連續譜的。例如，人在面對組織內其他成員時，並不是只有「合作」與「不合作」兩種選項，而是有一個表示合作程度的連續譜
正是這兩個更接近真實情況的假設，讓我的分析模型的復雜度直線上升
如果沒有假設2，人只有「合作」和「不合作」兩種選擇，那麽只需要按照演化賽局論的思路，求一個有限維矩陣的特征值就可以了，就像我上一個類似回答中做的一樣：
在這個回答中，我假設人們面對新科技只有「接受」和「不接受」兩種選項，透過求一個2階方陣特征值的方式，回答了李約瑟難題
如果沒有假設1，人的行為都是理性的，那就更簡單了，直接列一個n元一次方程式組求純策略奈許均衡就行了
但正是因為有了這兩個假設，才能讓我們的分析更加接近現實真相
下面說一下為什麽有了這兩個假設，就必須需要泛函分析才能解釋這個問題
這本質上是由於假設1的存在，導致必須使用線性代數求矩陣的特征值，而假設2的存在，導致矩陣的階數趨近於無窮大， 必須參照緊算子的Riesz-Fredholm理論討論其特征值的特點
下面正式開始問題的分析環節：
不失一般性，假設存在4人組織，每個人為組織的付出量是 x_1 、x_2 、x_3 、x_4 ，組織的總投資報酬率為8，即組織的總收入為8(x_1+x_2+x_3+x_4) ，產生總收入後將其每個人平分，即每人的收入為 2(x_1+x_2+x_3+x_4) ，容易算出，每人（假設此人為1號成員）的凈收益為 x_1+2x_2+2x_3+2x_4
容易看出，這個情景本質上是一個 獵鹿賽局 ：橫向比較的話，付出少的人的凈收益永遠多於付出多的人；但縱向比較的話，如果一個人付出多，理論上TA得到的收益是多於付出少的情形的
正如前文所言，如果沒有假設1，人的行為是理性的話，此時一個四元一次方程式組就把問題解決了：既然縱向比較多付出是有利的，理性的人就會選擇多付出，自然而然社會會演化出「少付出是可恥的」的道德準則
但麻煩在於，如果人的思維並不足夠理性，人們只會看到：同一個組織中，只要成員的付出不是相同的，那麽付出多的人總是吃虧的，因而自然而然會模仿付出少的人的行為
下面我們按照演化賽局論的思路（不了解演化賽局論的朋友，建議先看看我前面引述的我的上一個回答），來分析一下，這樣的社會將會朝著什麽樣的方向演化：
不妨設 x_i\in[0, 100] ，其在全社會中的機率密度函式為 f(x)
學過機率論的朋友都會明白，此時 f(x_i)dx 就代表了選擇付出 x_i 的人在社會中所占的比例。由於x是連續的，因此該比例趨近於無窮小
根據機率密度函式的基本原理，可以證明x的期望 E(X)=\int_{0}^{100}xf(x)dx
如前所述，付出量為x_i 的社會成員，其凈收益為 x_i+2x_2+2x_3+2x_4 ，其期望為 x_i+6E(x) ，所有社會成員的平均凈收益為 7E(X) ，該社會成員的凈收益較社會平均水平，多出 x_i-E(X)
根據演化賽局論的基本原理，付出 x_i 的人在社會中所占的比例隨時間變化的函式 \frac{df(x_i)}{dt}=f(x_i)[x_i-E(x)]
（2022年1月23日更新，有知友在評論區指出，這一步已經表明了初始的EX，對於比EX小的x，f隨時間減少，對於比EX大的x，f隨時間增加，所以EX隨時間增加，不需要泛函。之所以會產生這種誤解，是因為對控制論理論中的李普雅諾夫穩定性不夠了解造成的，李普雅諾夫穩定理論最大的意義是用來尋找所有均衡解中的的穩定解，即不光要求該狀態下 \frac{df(x)}{dt}=0 ，還要求該狀態不會受隨機突變影響，即使發生了隨機突變也能立刻恢復原位。之所以這裏要使用泛函分析，本質上也是因為該模型中均衡狀態有無數個，但穩定狀態只有本文結論中的那一個，而這一步的證明只能透過泛函分析求解李普雅諾夫穩定性，無法透過直接從微分方程式中求得，微分方程式只能用來求\frac{df(x)}{dt}=0 時的狀態，無法進一步證明該狀態不受隨機突變影響其穩定性）
容易證明 \frac{dE(x)}{dx_i}=x_idx
因此 \frac{∂\frac{df(x_i)}{dt}}{∂f(x_i)}=-x_if(x_i)dx+x_i-E(x)
據此，我們可以畫出這個階數趨近於無窮大的亞可比矩陣：
\left ( \begin{matrix} -x_1f(x_1)dx+x_1-E(x) & -x_2f(x_1)dx & … \\ -x_1f(x_2)dx & -x_2f(x_2)dx+x_2-E(x) & … \\ ： & ： \\ \end{matrix} \right )
在這個矩陣中，第m行n列元素為 -x_nf(x_m)dx_m ，若m=n，即對角元素，則再加一個 x_m-E(x)
懂線性代數的朋友此時應該已經發現，在不嚴格的情況下，可以將微分算子 dx 視為0，此時這個矩陣就變成了一個對角元素為 x_i-E(x) ，其余元素為0的對角矩陣了。顯然這個矩陣的特征值即為 x_i-E(x) ，i為[0, 100]之間無窮多的可能取值
但如果要嚴格證明這一點，必須參照泛函分析中緊算子的譜理論，並且即使如此，也只能證明 \lambda_i 與 x_i-E(x) 同符號，不能嚴格證明 \lambda_i=x_i-E(x) ，但這對於我們的討論已經足夠
（註：此處的證明非常復雜，憑我自己的渣泛函功底想了幾天幾夜，又請教了好幾個學霸才勉強證明了出來，就不把詳細過程列在這裏了。給幾個提示詞：零鏈長，不變子空間）
現在，我們利用\lambda_i 與 x_i-E(x) 同符號這個結論，繼續討論：
根據演化賽局論的基本原理，但凡亞可比矩陣的特征值裏有正數，那麽該點就是個不穩定點，社會演化過程不會在該點停留太久。由於\lambda_i 與 x_i-E(x) 同符號，而 x_i 的最大值為100，因此只要 E(x) 小於100，社會都不會在該點停留，而是會繼續演化。只有當E(x) 等於其理論最大值100，即全社會所有人都全心全意與人合作時，這個社會才終止了演化
因此，即使人是非理性的動物，社會也將朝著所有人都和他人合作的方向去演化，只是演化過程可能會相當漫長，且幾經波折
有的朋友可能會問：你這個過程，轉譯成大白話，不就是人們早晚都能看到全部合作帶來的好處，大於有人偷懶帶來的好處嗎？用這麽復雜的數學證明有必要嗎？
是的，這個證明過程轉譯成自然語言，確實是這個意思，但這能代表自然語言能代替這個證明過程嗎？
假如合作者數量少，你能保證這些合作者不會因為總是遇不到其他合作者，而逐漸被淘汰嗎？
這個嚴謹的證明過程告訴你：會有合作者持續被淘汰，但也有合作者持續產生，這個叠代過程最終仍然會令全社會朝著合作方向演化
假如更現實一點，假設這個社會上有一部份規則破壞者，這些人無論什麽情況，都不會與他人合作。那這個社會又會朝著什麽方向演化？
這個嚴謹的證明過程告訴你：規則破壞者的存在，會對社會演化造成淪陷性的影響，可能令社會朝著不合作方向演化（模擬一下這種情況下的特征值分布就會知道），唯一的解決方案是社會上仍然存在理性者，無論什麽情況都會與他人合作。並且即使這樣，社會演化的方向也不僅取決於破壞者和理性者的比例，也取決於社會的初始狀態。
假如再貼近現實一些：組織的分配規則不是題設中的均分，而是誰強誰分的多呢？
這是一個更復雜的問題，但只要按照上面這個過程的思路，添改一下題設條件，仍然可以得到解決。
這就是用數理邏輯，而不是自然語言，去處理哲學社會科學問題的好處：不僅嚴謹，而且可拓展性和可變通性都會增加
此回答送給所有對數理知識感興趣的哲學社會科學研究者，同樣送給對哲學社會科學感興趣的理工科研究者
參考書目：
