在【馮·紐曼：無與倫比的天才（上）】中，我們介紹了馮·紐曼的早期時代：作為神童降臨地球；進入大學後以及在哥廷根時期，他對集合論、賽局論、量子力學和算子理論的相關成就。在下篇裏，我們繼續他的天才故事。眾所周知，因為納粹政權上台，一大批頂級學者移民美國，馮·紐曼就是其中之一。在這裏他繼續發揮了自己的超常天賦，特別是在數學方面，僅在遍歷理論方面的研究就「足以保證他在數學上的不朽」；而他還在曼哈頓計劃、電腦科學等工作中貢獻了彪炳史冊的成果。最後，我們還能看到一個生活中的馮·紐曼，這位「火星人」的地球人一面。
撰文 | Jørgen Veisdal （挪威科技大學經濟和管理學院工業經濟與技術管理系 助理教授）
編譯 | 哪咤
在美國
1929年10月，約翰·馮·紐曼受邀到普林斯頓大學講授量子理論，這是他第一次來到美國，當時還是漢堡大學的一名編外講師。1930年至1933年他在普林斯頓大學任客座教授。任期結束的同一年，希特勒首次在德國掌權，導致馮·紐曼完全放棄了他在歐洲的學術職位，並對納粹政權聲明，
「如果這些男孩再這樣幹兩年，他們會至少毀掉一代人的德國科學。」
當然，許多事實證明馮·紐曼的預測是正確的。第二年，當納粹教育部長問道：「既然擺脫了猶太人的影響，哥廷根的數學進展如何？」據說希爾伯特回答道：
「哥廷根已經沒有數學了。」
在普林斯頓大學（1930-1933）
20世紀30年代中期，馮·紐曼（以及眾多其他一流的數學家和物理學家）在紐澤西州普林斯頓的處境如今已是眾所周知。
根據維格納所說（Macrae, 1992），在普林斯頓大學的推薦下，馮·紐曼和同為路德教會高中的同學尤金·維格納一起被普林斯頓大學教授奧斯瓦爾德·維布倫（Oswald Veblen）招募：
「……不要僅僅邀請一個人，而是至少兩個，他們兩人已經彼此認識，不會突然覺得自己被放在了一個沒有私人往來的孤島上。強尼的名字在那時已經聞名世界，所以他們決定邀請強尼·馮·紐曼。他們看了看誰和馮·紐曼一起寫文章?他們找到了維格納先生。所以也給我發了一封電報。」
——摘自 Norman Macrae， John von Neumann （1992）
1930年馮·紐曼作為客座教授第一次來到普林斯頓。關於他在那裏的工作，馮·紐曼自己在後來的生活中特別強調了遍歷理論（Ergodic theory）。
遍歷理論
遍歷理論是研究確定性動力系統的統計性質的數學分支。形式上，它研究的是具有不變測度的動力系統的狀態。通俗地說，想想太陽系中的行星是如何根據牛頓力學運動的：行星在運動，但支配行星運動的規則保持不變。在1932年發表的兩篇論文中，馮·紐曼對這類系統的理論做出了基礎性的貢獻，其中包括馮·紐曼平均遍歷定理（Von Neumann's mean ergodic theorem），該定理被認為是液體和瓦斯統計力學的第一個嚴格的數學基礎。這兩篇論文的標題分別是「Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis（【準遍歷假設的證明】）」和「Physical Applications of the Ergodic Hypothesis（【遍歷假設的物理套用】）」。
【準遍歷假設的證明】論文 圖片來源：von Neumann, J. （1932）. Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences 18 （1） pp. 70–82
.
【遍歷假設的物理套用】論文 圖片來源：von Neumann, J. （1932）. Physical Applications of The Ergodic Hypothesis. Proceedings of the National Academy of Sciences 18（3） pp. 263–266.
換句話說，作為測度理論的一個子領域，遍歷理論關註的是允許長時間執行的動力系統的行為。馮·紐曼遍歷定理是該領域兩個最重要的定理之一，另一個定理由伯克霍夫（George David Birkhoff ）提出。根據哈爾莫斯（1958）的說法：
「從（馮·紐曼的）論文中獲得的深刻見解是，整個問題本質上是群論的，特別是，測量問題的可解性與群可解性的普通代數概念是相關的。因此，馮·紐曼認為，是群的變化而不是空間的變化造成了差異; 用其他完全合理的群代替剛性運動的群，可以產生 R 2中不可解的問題和 R 3中可解的問題。」
——摘自Paul Halmos ，Von Neumann on Measure and Ergodic Theory （【馮·紐曼論測度和遍歷理論】，1958）
「如果馮·紐曼從未做過其他事情，這些東西就足以保證他在數學上的不朽。」
——保羅·哈爾莫斯（1958）
在高等研究院
1930-33年，馮·紐曼在普林斯頓大學做了三年的客座教授，然後他獲得了高等研究院 （IAS） 終身教授的職位。他當時30歲。在此之前，該研究院曾計劃將職位授予外爾，但未能如願（Macrae, 1992）。僅僅成立了三年，馮·紐曼就成為了IAS的前六位教授之一，其他五位分別是詹姆士·亞歷山大（J. W. Alexander）、愛因史坦、馬斯頓·莫爾斯（Marston Morse）、奧斯瓦爾德·維布倫以及外爾。
紐澤西州普林斯頓高等研究院
圖片來源：Cliff Compton
當他1933年加入時，該研究所仍然位於普林斯頓大學Fine Hall的數學系。高等研究院由亞伯拉罕·弗萊克斯納（Abraham Flexner）於1930年創立，由路易士·班貝格（Louis Bamberger）和卡洛琳·班貝格·富爾德（Caroline Bamberger Fuld）的慈善資金資助，無論是過去還是現在都是一所與眾不同的大學。受弗萊克斯納在海德堡大學、萬靈學院、牛津大學和法蘭西公學院（Collège de France）的經歷的啟發，IAS被傳記作家西爾維婭·納薩爾（Sylvia Nasar）描述為：
「一個一流的研究機構，沒有老師，沒有學生，沒有課堂，只有研究人員，免受外部世界的變遷和壓力。」
——西爾維婭·納薩爾（1998）
1939年，高等研究院搬到了自己的校園——「福德樓（Fuld Hall）」。在20世紀30年代初的幾年時間裏，高等研究院成功繼承了哥廷根大學作為數學宇宙最重要的中心的寶座。這一戲劇性而迅速的變化被稱為1933年的「大清洗」，許多頂級學者因為擔心自身安全而逃離歐洲。其中，除了馮·紐曼和維格納，當然還有愛因史坦（1933）、玻恩（1933），馮·紐曼的布達佩斯同胞西拉德（1938）和愛德華·泰勒（1933），以及艾德蒙·蘭道（Edmund Landau，1927）、詹姆士·法蘭克（James Franck，1933）和理察·柯朗（1933）等人。
高等研究院的部份職員，照片拍攝於1940年代末，前排左起：Dana Munro，Whitney Oates，愛因史坦、Mario Laserna Pinzón、馬斯頓·莫爾斯、萊夫謝茨（Solomon Lefschetz）；後排左起：馮·紐曼（在背景中可見）、摩根史騰、威爾克斯（Samuel Wilks）。
在高等研究院電腦MANIAC前，左起：比奇洛（Julian Bigelow）、戈德斯汀（Herman Goldstine）、 歐本海默和馮·紐曼。
幾何
在高等研究院期間，馮·紐曼創立了連續幾何學領域，這是復射影幾何學的類比，其中子空間的維度不是離散集0,1，…，n，它可以是單位區間[0,1]的任意一個元素。
連續幾何是一個格L，具有以下性質:- L是模- L是完備的-格運算滿足連續性- L中的每個元素都有一個「補」
- L是不可約的，即只有0和1兩個元素有唯一的「補」
就像他的遍歷理論一樣，馮·紐曼發表了兩篇關於連續幾何的論文，一篇證明了它的存在並討論了它的性質，另一篇給出了例子:
曼哈頓計劃（1937-1945）
除了學術上的追求，從30年代中後期開始，馮·紐曼在爆炸科學方面發展了專長，這是一種很難用數學建模的現象。特別是，馮·紐曼成為了聚能裝藥（shaped charges）數學方面的權威，這是為了能夠使爆炸能量集中的一項裝藥技術。
根據Macrae所述，到1937年，馮·紐曼已經預料戰爭即將來臨。盡管他顯然適合高級戰略和作戰工作，但他謙遜地申請成為美國陸軍軍械預備役中尉。作為軍官預備役部隊的一員，意味著他可以無阻礙地獲得各種各樣的爆炸統計數據，而他覺得這些更有吸重力（Macrae, 1992）。
馮·紐曼在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）時的證件照片
馮·紐曼與費曼、烏拉姆在洛斯阿拉莫斯（Los Alamos）交談。
毫無疑問，馮·紐曼對原子彈的主要貢獻不是作為軍械部預備役的中尉，而是在於爆炸透鏡的概念和設計上。後來投放在長崎的「胖子」所用的鈈核就用了相關設計。
1944年，作為曼哈頓計劃的成員之一，馮·紐曼證明了爆炸沖擊波從固體反射而來增加的壓力比之前認為的要大，這取決於它的入射角。這一發現促使他們決定在目標上空幾公裏而不是在撞擊地點引爆原子彈（Macrae, 1992）。1945年7月16日，在內華達州的沙漠中，「三位一體」原子彈成功引爆，馮·紐曼也在場。這是人類第一次原子彈試驗成功。
哲學上的工作
1957年馮·紐曼在美國哲學學會的演講
圖片來源：Alfred Eisenstaedt攝
Macrae指出，馮·紐曼不僅是他一生中最重要的數學家之一，在很多方面，他也應該被認為是他那個時代最重要的哲學家之一。阿姆斯特丹大學哲學教授約翰·多林（John Dorling）特別強調了馮·紐曼在數學哲學（包括集合論、數論和希爾伯特空間）、物理學（特別是量子理論）、經濟學（賽局論）、生物學（細胞自動機）、電腦和人工智慧方面的貢獻。
他在電腦和人工智慧（AI）方面的研究最早出現在20世紀30年代中期。當時他在普林斯頓，第一次見到了24歲的艾倫·圖靈，後者於1936-37年在IAS待了一年。圖靈的職業生涯始於與馮·紐曼同樣的領域——集合論、邏輯和希爾伯特的判定問題。1938年，當他在普林斯頓完成博士學位時，圖靈擴充套件了馮·紐曼和哥德爾的工作，引入了序數邏輯和相對計算的概念，用所謂的預言機（Oracle machine）擴充了他以前設計的圖靈機，允許研究超越圖靈機能力的問題。盡管馮·紐曼詢問圖靈是否願意在他獲得博士學位後擔任博士後研究助理，但圖靈拒絕了，並回到了英國（Macrae, 1992）。
在計算方面的工作
「在這裏待了一個月後，我和馮·紐曼談論了各種歸納過程和前進演化過程，他說：「當然，這就是圖靈所說的。」我問：「圖靈是誰?」他說，「去查一下1937年的【倫敦數學學會學報】。」
事實上，有一個通用機器來模仿所有其他機器……只有馮·紐曼和少數人理解。當他明白了這一點，他就知道我們能做什麽了。」——比奇洛（Julian Bigelow）
——摘自George Dyson ，Turing's Cathedral （【圖靈的大教堂】，2012）
盡管圖靈離開了，但馮·紐曼在30年代末和戰爭期間仍在思考電腦問題。根據他在曼哈頓計劃的工作經歷，1944年夏天，他第一次被賓夕法尼亞大學莫耳工程學院的ENIAC計畫吸引。在觀察過預測爆炸半徑、規劃彈道路徑以及破解加密方案所需的大量計算後，馮·紐曼很快就意識到了大幅提高計算能力的必要性。
1945年，馮·紐曼提出了一種電腦體系結構，現在被稱為馮·紐曼體系結構，其中包括現代電子數位電腦的基本要素：
馮·紐曼和IAS機器，此機器有時被稱為「馮·紐曼機器」，從1942年到1951年被放在「富德樓」的地下室（拍攝：Alan Richards）
同年，在軟體工程領域，馮·紐曼發明了所謂的歸並排序演算法（Merge Sort Alogrithm），該演算法將陣列分成兩半，然後遞迴排序，然後再合並。馮·紐曼親自用墨水為EDVAC電腦編寫了前23頁的排序程式。
此外，在1953年發表的一篇名為「Probabilistic Logics and the Synthesis of Reliable Organisms from Unrealiable Components（【機率邏輯與從不可靠元件合成可靠有機體】）」的開創性論文中，馮·紐曼首次引入了隨機計算，然而這個想法是如此具有開創性，以至於在接下來的十年裏都無法實作（Petrovik & Siljak, 1962）。與此相關，馮·紐曼透過對自我復制結構的嚴格數學處理，開創了細胞自動機領域，這比DNA結構的發現早了幾年。
盡管馮·紐曼在他的一生中都很有影響力，但他確信現代電腦的核心概念實際上是來自於圖靈1936年的論文「On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem（【可計算數及其在判定問題中的套用】）」 ——Fraenkel（1972）
「馮·紐曼堅定地向我表示，我相信他也向其他人強調過，這個基本概念是圖靈的功勞——巴貝奇（Babbage）、洛夫萊斯（Lovelace）和其他人都沒有預料到這一點。」
—— Stanley Fraenkel（1972）
顧問
「我們想要系統招標的唯一部份是你刮胡子時的想法：我們希望你把投入到事物中的任何想法都傳遞給我們。」
——摘自蘭德公司負責人給馮·紐曼的信（Poundstone，1992）
在美國的職業生涯中，馮·紐曼為各種私人或公共事務和國防承包商提供咨詢服務，包括國防研究委員會（NDRC）、武器系統評估小組（WSEG）、中央情報局（CIA）、勞倫斯·利佛摩國家實驗室（LLNL）和蘭德公司。此外，他還是美軍武裝部隊特種武器計畫（AFSWP）的顧問，原子能委員會總咨詢委員會成員，美國空軍科學咨詢小組成員，並在1955年擔任原子能委員會（AEC）委員。
私人生活
盡管馮·紐曼擔任過許多職務，承擔過很多責任，有大量的研究成果，但作為一名數學家，他有著一種不同尋常的生活方式。如Vonnauman（馮·紐曼的弟弟）和哈爾莫斯描述道:
「派對和夜生活對馮·紐曼有著特殊的吸重力。馮·紐曼在德國教書時，曾是卡巴萊時代柏林夜生活圈的常客。」——Vonnauman（1987）
馮·紐曼家裏經常舉行聚會，很有名，時間也很長。——哈爾莫斯（1958）
馮·紐曼和他的妻子克拉拉·丹（Klára Dán）與寵物丨圖片來源：Alan Richards
他的第二任妻子克拉拉（Klára）說，除了卡路裏，他什麽都能數。
馮·紐曼也喜歡意第緒語和黃色笑話，尤其是打油詩（Halmos，1958）。他不吸煙，但在國際吸煙協會收到了投訴，因為他經常在辦公室的留聲機上非常大聲地播放德國進行曲，讓隔壁辦公室的人分心，包括愛因史坦。事實上，馮·紐曼聲稱，他的一些最好的作品是在嘈雜、混亂的環境中完成的，比如在他家的客廳裏，電視機的聲音一直很響。盡管他開車技術不好，但他喜歡開車，還經常一邊開車一邊看書，導致了多次被捕和事故。
馮·紐曼1938年在佛羅裏達州大沼澤地
圖片來源：Marina von Neumann Whitma
作為一個思想家
馮·紐曼的密友烏拉姆這樣描述馮·紐曼對數學的掌握：
「大多數數學家熟悉某一種數學過程（方法），或者是有某一種數學能力。例如，諾伯特·維納（Norbert Wiener）精通傅立葉變換。一些數學家能夠掌握兩種方法，就可能會給只知道其中一種的人留下深刻印象。而約翰·馮·紐曼已經掌握了三種方法:1）對線性算子進行符號操作的能力；2）對任何新數學理論的邏輯結構有一種直觀的感覺；
3）對新理論的組合方面的上層結構有一種直觀的感覺。」
傳記作家西爾維婭·納薩爾描述了馮·紐曼自己的「思考機器」，下面是關於所謂的「兩列火車謎題」的軼事:
兩個自由車騎手開始相距20英裏，南北相向而行，保持每小時10英裏的行駛速度。與此同時，一只蒼蠅以每小時15英裏的速度從南邊自由車的前輪出發，飛向北邊；遇到北邊自由車的前輪，然後轉身再飛往南邊自由車的前輪，繼續這樣下去，直到它被兩個前輪壓扁。問：蒼蠅飛行的總距離是多少？
有兩種方法來回答這個問題。一種方法是計算蒼蠅在兩輛自由車之間每一段行程所覆蓋的距離，最後將它們相加得到無窮級數。更簡便的方法是觀察到自由車在出發一小時後會合，這樣蒼蠅只有一個小時的旅行時間；因此答案肯定是15英裏。當這個問題被送出給馮·紐曼時，他立刻就解決了，因此讓提問者很失望:「哦，你以前一定聽說過這個訣竅！」
「什麽把戲？」馮·紐曼問，「我所做的只是對無窮級數求和。」
——摘自Nasar ，A Beautiful Mind （【美麗心靈】，1998）
作為導師
艾德加·洛奇（Edgar R. Lorch）在1934年的一篇論文「Szeged In 1934」中描述了他在20世紀30年代作為馮·紐曼助手的工作經歷，他的職責包括:
「他流暢的思路讓那些缺乏天賦的人難以理解。他會在黑板上空出的一小部份上匆匆寫出方程式式，在學生還沒來得及抄下的時候就把公式擦掉了，這一點讓他臭名遠揚。」
——摘自N.A. Vonneuman ，John von Neumann: As Seen by his Brother （【兄弟眼中的馮·紐曼】， 1987）
晚年
1956年，艾森豪總統（左）授予約翰·馮·紐曼總統自由勛章
1955年，馮·紐曼被診斷出癌癥，可能是骨癌、胰臟癌或前列腺癌（關於哪個診斷是最先做出的，說法不一），當時他51歲。經過兩年病痛的折磨，他最終只能坐在輪椅上。馮·紐曼於1957年2月8日去世，享年53歲。傳聞他在臨終前，一字不落地背誦了歌德【浮士德】每一頁的前幾行，以此來安撫自己的弟弟（Blair，1957）。
馮·紐曼被安葬在紐澤西州的普林斯頓公墓，而他一生的朋友尤金·維格納和哥德爾在多年以後也葬在這裏。哥德爾在他去世前一年給他寫了一封信，現在這封信已經被公開了。電腦科學家哈特馬尼斯（Hartmanis）在The Structural Complexity Column（【結構復雜性專欄】）中詳細討論了這封信（主要討論P=NP問題）。摘錄如下:
1956年3月20日哥德爾寫給馮·紐曼的信：
尊敬的馮·紐曼先生:
聽說您病了，我非常悲痛。這訊息來得很意外。摩根史騰去年夏天已經告訴我，您曾經有過一種軟弱無力的表現，但當時他認為這並沒有什麽大不了的。據我所知，在過去的幾個月裏，您接受了徹底的治療，我很高興這種治療如預期的那樣成功，而且您現在正在好轉。我希望並祝願您的病情能盡快好轉，如果可能的話，最新的醫學發現將會使您完全康復。
……
我很高興能聽到您的個人訊息。如果有什麽需要我幫忙的，請告訴我。謹向您及您的夫人致以最美好的問候和祝福。
您真摯的
庫爾特·哥德爾
P.S. 我衷心祝賀美國政府授予您的榮譽
電視訪談
值得註意的是，在20世紀50年代早期，美國國家廣播公司（NBC）的節目【美國青年想知道】（America 's Youth Wants to Know）中有一段對馮·紐曼的采訪視訊（如下）:
，時長02:30
對於任何有興趣更多地了解約翰·馮·紐曼的生活和工作的讀者，我特別推薦他的朋友烏拉姆1958年發表在【美國數學學會簡報】（Bulletin of the American Mathematical Society）上的文章「John von Neumann 1903-1957」和麥克雷的傳記 John von Neumann （【天才的拓荒者——馮·紐曼傳】）。
（全文完）
本文譯自Jørgen Veisdal，The Unparalleled Genius of John von Neumann
https://www. cantorsparadise.com/the -unparalleled-genius-of-john-von-neumann-791bb9f42a2d
