首先，记 y=f(x)=cos(arcsin(x))
arcsin(x) 的定义域为 x\in[-1,1] ，值域为 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
不妨设参数
t=arcsin(x), t\in{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} (1)
原函数转化为参数方程
\begin{cases}x=sin(t)\\y=cos(t)\end{cases},t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] (2)
于是xy就是圆心为原点，半径为1的单位圆，弧长为t的弧所对的横纵坐标
有三角恒等式
sin^2(t)+cos^2(t)=1 (3)
化简得
cos^2(t)=1-sin^2(t) (4)
注意到 t\in{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} ， cos(t)\geq 0
对(4)左右两边同时开根号得到
cos(arcsin(x))=cos(t)=\sqrt{1-sin^2(t)}=\sqrt{1-x^2} (5)
Q.E.D.
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上面全是废话
课后习题：
证明以下等式：
1. tan(arcsin(x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, x\in(1,-1)
2. tan(arccos(x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x},x\in[-1,0)\or(0,1]
