看到 @Sliark 提到用级数的方式证明这个等式，我考虑将里面的运算步骤细节补充一下：
现定义 \sin x\overset{\mathrm{def}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} 以及 \cos x\overset{\mathrm{def}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} ，证明 \color{purple}{\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sin(x+y)} ：
首先要说的是用到的是柯西乘积： \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k} ，接下来有：
\begin{align}\color{blue}{\sin x\cos y}&=\color{green}{\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^ny^{2n}}{(2n)!}}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^nx^{2k+1}y^{2n-2k}}{(2k+1)!(2n-2k)!}&\color{gray}{柯西乘积}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n(2n+1)!x^{2k+1}y^{2n-2k}}{(2n+1)!(2k+1)!(2n-2k)!}&\color{gray}{\begin{align}分子分母\\同乘\ (2n+1)!\end{align}}\\&=\color{purple}{{\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}\frac{(-1)^nx^{2k+1}y^{2n-2k}}{(2n+1)!}}}&\color{gray}{二项式系数}\\\\\color{blue}{\cos x\sin y}&=\color{green}{\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^ny^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^nx^{2k}y^{2n-2k+1}}{(2k)!(2n-2k+1)!}&\color{gray}{柯西乘积}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^n(2n+1)!x^{2k}y^{2n-2k+1}}{(2n+1)!(2k)!(2n-2k+1)!}&\color{gray}{\begin{align}分子分母\\同乘\ (2n+1)!\end{align}}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}\frac{(-1)^nx^{2k}y^{2n-2k+1}}{(2n+1)!}&\color{gray}{二项式系数}\\&=\color{purple}{\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2n-2k}\frac{(-1)^nx^{2n-2k}y^{2k+1}}{(2n+1)!}}&\color{gray}{调换次序}\\\\\color{blue}{\sin x\cos y+\cos x\sin y}&=\color{green}{\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}k\frac{(-1)^nx^ky^{2n-2k+1}}{(2n+1)!}}&\color{gray}{\begin{align}两个级数\\奇偶穿插\end{align}}\\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(x+y)^{2n+1}}{(2n+1)!}&\color{gray}{二项式定理}\\&=\color{blue}{\sin(x+y)}\end{align}
