关于广义相对论中的能量，是一个很subtle的问题，我补充一下孤立体系下的能量问题.
渐进平直时空下的能量：
所谓孤立体系，就是一个孤立的引力源，虽然在其周围的时空可能很弯曲，但在无穷远处一定是渐近平直时空。所以在无穷远处有如下条件g_{\mu\nu}=\eta _{\mu\nu}+h_{\mu\nu} h_{\mu\nu} \ll 1 .
这是广义相对论中的线性近似理论，即度规接近于闵氏度规的情况下，通常非线性的场方程可以近似成线性的方程。并且可以具有类似波动方程的形式。
线性近似下的场方程可以写为如下形式：
H^{\mu\alpha\nu\beta},_{\alpha \beta}=16\pi T^{\mu\nu}
其中H^{\mu\alpha\nu\beta}=-(\bar{h} ^{\mu\nu}\eta ^{\alpha\beta}+\bar{h}^{\alpha\beta}\eta ^{\mu\nu}-\bar{h}^{\alpha\nu}\eta ^{\beta\mu}-\bar{h}^{\mu\beta}\eta ^{\alpha\nu})
\bar{h} ^{\mu\nu} 是线性近似理论常用的一种度规的形式，表示为\bar{h} ^{\mu\nu}=h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}h\eta ^{\mu\nu} .
如果体系是渐进平直时空，那么无论内部表现成什么情况，无穷远处始终可以用线性近似的形式来进行求解。
借由此可以定义渐进平直时空的能量
P^{0}=\int_{\Sigma }T^{00}dx^{3}
并且可以根据Gauss定理和线性近似下的场方程表示为
P^{0}=\frac{1}{16\pi } \int_{\Sigma }H^{0i0j},_{i}d\Sigma _{j} .
把上面关于H^{\mu\alpha\nu\beta} 的定义代入，化简可以定义渐进平直时空的ADM能量。可见ADM能量的定义只需要时空满足渐进平直性，而不需要存在一个timelike Killing 矢量场。
引力场能：
在无穷远处，我们总可以定义如下形式的能动张量
H^{\mu\alpha\nu\beta},_{\alpha \beta}-2G^{\mu\nu}=16\pi t^{\mu\nu}
通常形式的爱因斯坦场方程是G^{\mu\nu}=8\pi T^{\mu\nu} 代入得到
H^{\mu\alpha\nu\beta},_{\alpha \beta}=16\pi (T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})
在右侧除了爱因斯坦场方程所包括的能动量张量之外，还包括一项，这一项被称为引力场能。也就是说在考虑无穷远处线性近似的时候，我们将能动量张量这一项不仅包括了通常的，也包括了一项引力场能。
其实到此为止只是形式上的变化而已，因为无论是H^{\mu\alpha\nu\beta} 还是t^{\mu\nu} 都是坐标系依赖的（取度规在不同坐标系下的分量，在无穷远处度规h的分量就不同，算出的这两个量也都不同，这样的坐标依赖的量称之为赝张量）。不过有几点值得特别注意。
1 左侧的H^{\mu\alpha\nu\beta} 具有散度自动为零的特点，通过H^{\mu\alpha\nu\beta} 的定义式，我们不难看出它具有和黎曼曲率张量一样的对称反称性质，（前两指标反称，后两指标反称，循环恒等式等），所以再对指标进行求导的时候对称反称缩并等于0），散度自动为0这一特点导致了在无穷远处能量守恒。
2 这里一个很大的变化就是在无穷远处，能量守恒的式子由协变导数变成了普通导数，所以(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu}),_{\nu}=0 更容易理解为通常的连续性方程，也就是说在无穷远处包括了引力场能量的贡献之后，能量会守恒。
3 上述能量守恒的式子和\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0 并无不同，因为如果将其展开
\partial_{\mu}T^{\mu\nu}+\Gamma ^{\mu}_{\mu\rho }T^{\rho\nu}+\Gamma ^{\nu}_{\mu\rho }T^{\rho\mu}=0 , 将克式符这一项写成全微分的形式，就可以得到上面引力场能的表达式。这种寻找引力场能的表述的过程叫能量表述。比较有名的是朗道栗弗席兹表述，爱因斯坦表述等。
4 这种表述虽然是赝张量，也经受不少批判，不过恰当使用也是有用武之地的！
引力场能的不可定域性：
引力场能的不可定域性是很奇怪的性质，就此性质很多人认为可以舍弃引力场能的概念，但也有一部分人因为其具有的某些应用而继续寻找准局域能量的工作。这些我了解不多，暂且不表。
通过上面的描述，引力场能和克氏符有着密切的关系， 根据等效原理，我们总可以取局域洛仑兹坐标系（黎曼法坐标）将克式符取成0。所以每一点，在承认等效原理的前提下，引力场能并不能表示出来。这也就是说只能谈整个时空下的总的引力场能而不能谈它在某一点的密度。
这种ugly的东西，确实让人感觉比较蛋疼，不像是最后的理论，还需要在去探索。
注意：这一点非常重要，上述的所有讨论都是在渐进平直时空下进行的，如果时空没有渐进平直性，构造的任何东西都是没有物理意义的。
综上：关于能量守恒的问题，可以放弃它，认为能量不守恒，但是如果坚持能量守恒说不定可以看到一些新东西啦。虽然形式上有不尽如任意的地方，不过也不失为一种探索的方式 。
