本答案将从四种角度来解释动能的为什么是 \frac{1}{2}mv^{2} ，本答案以牛顿力学与伽利略不变性为背景，不涉及相对论的内容。
一、初级版
由高中的物理知识可知，力做功的定义为： W=F l （为简单起见，假设直线运动），其中 F 为物体受到的力， l 为物体在这个力的推动下运动的距离。假设物体从静止开始运动。
牛顿第二定律： F=ma ，
物体做匀加速直线运动的路程为： l=\frac{v^{2}}{2a} ，其中 v 是运动的末速度。
根据功能关系，这个力做的功一定变成了物体的能量。此处力的作用是使得物体运动起来了，那么物体的动能了：
E=W=Fl=ma\cdot \frac{v^{2}}{2a}=\frac{1}{2}mv^{2} 。
所以可以看到，物体的动能就是 \frac{1}{2}mv^{2} 。
二、高级版
实际上上述计算比较繁琐，而且只对匀加速运动（恒力）的情况下成立。更一般的推导需要用到微积分的知识，考虑某一个瞬间，力 F ，位移 dl （同样假设直线运动）：
dW=F\cdot dl=F\cdot v dt ，
根据更一般的牛二表达式：
F\cdot dt=dp ，其中 p 是动量，
上式为：
dW=vdp=mvdv=d(\frac{1}{2}mv^{2}) ，
同样可得动能的表达式为 \frac{1}{2}mv^{2} 。
三、进阶版
上述过程还觉得不过瘾吗？隐隐觉得难道生命中有某种宿命在作用吗？动能的表达式一定就是 \frac{1}{2}mv^{2} 这样的吗？有什么不为人知的力量在背后运作吗？
那么我们抛弃一下这些东西，从更高级的对称性的角度出发来考虑。在拉格朗日力学体系下，考虑一个自由运动的粒子的拉氏量 L （自由粒子的拉氏量和动能相等），由空间的平移不变性和时间平移不变性可知：
\frac{\partial L}{\partial r}=0 ,
\frac{\partial L}{\partial t}=0 ，
再考虑空间旋转不变性已经速度是个矢量，因此自由运动的粒子的拉氏量只能是速度大小的函数：
L=L(v^{2}) 。
但是这样的话，速度的任意偶数次方的组合都满足这个条件，为何一定是二次方呢？
在一个参考系 S 中考虑粒子的拉氏量为 L(v^{2}) ，在另一个与此参考系有一个相对速度 u 的参考系中看，这个粒子的拉氏量为：
L(v'^{2})=L(v^{2}+2vu+u^{2}) ，
假设相对速度 u 非常小，对上述 L 在 v^{2} 处做泰勒展开，忽略高阶项，得：
L(v'^{2})\approx L(v^{2})+\frac{\partial L}{\partial v^{2}} 2 v u ，
而伽利略变换不变性说 L 可以有一个时间全导数项，所以为了上式第二项全导数项，并且 v=\frac{d r }{d t} ，所以 \frac{\partial L}{\partial v^{2}} 最好是个常数，所以 L\propto v^{2} ，因此动能只能是速度的平方的函数！
四、番外版
不管那么多，考虑量纲看看。功的量纲是：
[W]=[F][ l]=kg \space m^{2} s^{-2} ，
那么动能的量纲也应该是这个。但是我们只有速度和质量两个量，所以就得凑，哎！竟然能凑起来：
[m][v^{2}]=kg \space m^{2} s^{-2} ，
把质量和速度的平方凑在一起恰好是功的单位，所以
E\propto mv^{2} 。
好了，不知道题主明白了没有，如果有啥问题，就
我擦！啥！！！题主还是个初中生，
当我没说。
还有一个相对论版：
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