这个问题太模糊, 我也不是数学专业的, 很多事情没有发言权. 但我还是有一些自己的体会.
我很赞同
@周瑶的回答. 我觉得对于理工科大学生来说, 数学首先要搞明白的一件事情就是 定义 , 所谓数学功底, 可能指的是 理解定义, 并运用定义证明命题, 解决问题的能力.
我最近经常帮大一的学弟学妹们解决微积分和线性代数的问题. 我发现现在的高中生普遍没有我上面所说的"数学功底". 最简单的, 直接套定义的证明题他们都做不出来, 因为他们对于\epsilon-\delta 语言基本不能理解. 我在校内网络答疑社区上竟然见到有这样的问题:
一个函数的极限\lim_{x\to a}f(x)=L 。感觉这个有好几种理解方式啊。比如说
version1：如果x向a靠近，那么f(x)就向L靠近对吧
version2：只要我们把x移动的足够靠近a，那么f(x)可以足够靠近L来达到我们满意的一个程度
version3：对任意充分靠近a的x，f(x)都能最终以令人满意的方式靠近L
他们就说着这种不精确的话, 自然最简单的证明题都做不出来.
我前几天有幸旁听过一次大一的微积分课. 课后听老师答疑, 他们问的问题都是非常不清楚. 造成这种不清楚的根源, 在我看来, 是定义没有搞明白, 或者说没有养成从定义出发思考问题的习惯. 回答大一新生的很多问题, 大部分情况下只需要引导他, 让他自己说明白他的问题究竟是什么. 比如当他们在说"无穷小", 在说"极限", 在说"趋于"时, 你只需要追问他你的这些词回归到最原始的定义究竟是什么意思. 这样下去一般只有两种结果: 他发现他的问题自己就解决了, 或者他自己也不知道定义是什么.
我以为造成这个现象的原因, 是中学数学教育存在问题. 在中学, 数学是不精确但又直观的, 他们只需要用似是而非的概念做一些计算. 重要的是做题, 而不是概念本身. 而上了大学, 在高等数学中, 概念突然变得精确而又抽象, 这就导致了很多中学生不能适应, 出现了上面的各种问题.
当然, 第一次遇到新的定义可能会觉得不理解, 大概就是因为太抽象, 或者不能理解背后的 motivation.
对于太抽象的概念, 我觉得可以考虑一些具体的例子, 毕竟再抽象的概念也是从大量具体的例子中提炼出来的. 就像我们在考虑一个拓扑空间时, 或多或少总是在欧氏空间中考虑的. 再比如说, 在学习以抽象而著称的范畴论时, 如果心中能想着代数拓扑中的诸多例子: 拓扑空间对于范畴(基本群胚), 连续映射对应函子, 同伦对应自然变换, 我想就会觉得范畴论好学很多.
对于定义背后的 motivation, 我觉得遇到一个好的老师/书, 可能在你初次接触定义的时候就把 motivation 讲得很清楚, 让你觉得这个定义显得自然. 比如为什么要这么定义开集? 因为描述"附近"这个概念, 最简单直接的方式就是直接指定什么是"附近". 如果初学时自己不能理解, 慢慢地在学习的过程中, 也会逐渐理解定义的妙处.
在我看来, 数学最大的魅力就在于下定义. 有人说 Manin 说过: "A good definition takes a group of first class mathematicians search in the dark for 30 years. " 恰当的定义可以让我们用恰当的观点看问题. 当我们从恰当的观点看问题, 一切都变得简单而自然.
你若是反驳我说工科生只需要用数学概念做计算, 解方程. 那我无言以对.
