题主所提到与运动方向同向的光速问题还真就不能直接回答，咱们必须换一个角度，先研究一下光与运动方向垂直时的情况。随着一步一步递推下来，水到渠成，问题就迎刃而解了。（放心，我只用了一点简单的代数，上过中学的人都应该看得懂）
那么先想象这样一个场景：
【思想实验一】 [1]
观察者B站在地面上。头顶有一艘飞船，以速度v [2] ，在平行于地面的方向上，匀速向右飞行。飞船上安装了一台光子钟，仪器的下端有发射器向上发射光子，仪器上端则装有镜面，光子被镜面反射向下，回到下端初始位置时由探测器接收。此钟可测出光子从发射到返回所经过的时长。宇航员A在飞船上记录光子钟的读数。对他而言，光子是在垂直的方向上做往返运动，光子的发射与接收发生在 同一位置 。
由于飞船相对于地面有一个水平方向的速度v，那么对地面的观察者B而言（假定他也能看到飞船中的一切），飞船上光子钟里光子所走的路线则是斜上斜下的「人」字形，光子的发射和接收发生在水平方向一左一右 两个不同的位置 上 。
设光子钟上下两端的间距为D，观察者A所观测到的光子的往返路程为2D，时长为τ；地面观察者B所观测的光子上行和下行路径长度同为S，光子往返的总路程为2S，时长为t。
速度= 距离/时间
两个观察者都可以根据自己测得的时间和距离算出光速，那么 光速不变 即意味着
\frac{2D}{\tau} = \frac{2S}{t} = c
即 * 距离与时长的比值不变 *！
飞船相对于地面的速度 v 是明确的，那么从光子的发射到接收，飞船在水平方向上所通过的距离对地面观察者B而言就等于 vt。令 2L=vt ，我们即可得出如下图所示的两个全等直角三角形。
根据毕达哥拉斯定理（勾股定理）， S^2 = D^2 + L^2 ，若将A、B二人所记录的时长、距离以及不变的光速c代入，即可得：
\begin{align} S^2 =& D^2 +L^2\\ (ct)^2 =& (c\tau)^2 + (vt)^2\\ c^2t^2 =& c^2\tau^2+v^2t^2\\ (c^2 -v^2)t^2 =& c^2\tau^2\\ t^2 =& \frac{c^2}{c^2-v^2}\tau^2\\ \color{red}{t} = &\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\color{violet}{\tau} \end{align}
τ 前面的这个系数 \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} 就叫做 洛伦兹因子 ，记作 γ 。也就是说，B所记录的光子的往返时长 t 跟A所记录的时长 τ 是不一样的。如果你把A、B两者的相对速度 v 代入，假令 v = 0.5c，会发现 γ = 1.1547 > 1。 \because v <c ,\therefore \gamma > 1 。
同样的两个事件的间隔（光子的发射和接收）在B参照系里的耗时比A参照系里的长，或者反过来说，A的时钟比B的时钟走得慢——这就是「 时间膨胀 」。
于是你要问了。既然速度 v 是相对的，对地球上的 B 而言，飞船上的时钟变慢了，对飞船上的A而言地球上的时钟是不是也变慢了呢？—— 确实如此 。所以我们必须回过头来留意一下前文中加了黑体的条件：对飞船上的 A 而言，两个事件是发生在同一位置的。因此，他所测得的时间就叫作 原时 （或曰固有时间 proper time）。而对地面上的 B 而言，两事件发生在不同位置，那么他所测得的时间就是 γτ 。当然，如果把实验颠倒过来，把光子钟放在地面上，地面上测得的时间就成了原时了。
速度总是相对的， A 相对于 B 的速度是 v， 那么 B 相对于 A 的速度也必然是 v，于是问题来了。回看一下上图的三角形，光子的往返过程中，飞船相对于B向右横向移动了 2L 的距离。B观察到，光子钟收发点的水平位置从 x_0 移动到了 x_1 。既然 v_A = v_B ，那不就意味着 \frac{2L}{t} = v = \frac{?}{\tau} 嘛！对飞船上的A而言，地面相对于他自己是在向左移动。难道在光子往返的 τ 时间内，地面移动的距离竟然不是2L？没错！ 将洛伦兹因子代入，
\begin{align} \frac{2L}{t} =& \frac{2L'}{\tau}\\ \frac{2L}{\gamma \tau} =& \frac{2L'}{\tau}\\ L' =& \frac{1}{\gamma}L \end{align}
对地面上的B而言， x_0 和 x_1 两个点（位置）是静止的，我们把相对于观察者静止的两点间的距离称作 原长度 （或曰固有长度 proper length），通常记作 L_0 。而相对两个点运动的观察者所测得的两点间的距离（如前面式子中的L'）则是原长度的1/γ 倍（恒< 1）。也就是说，飞船里A所量得的水平方向上相对其运动的长度（比如飞船的飞行路程）是短于地面上B所量得的静止长度的，我们把这个现象就叫做「 长度收缩 」。
还有一个问题，那就是与运动方向垂直的长度。就比方说这个光子钟的上下两端的间距，会不会对A、B而言也不一样呢？倘若D_A \neq D_B ，以上的一连串推导就都不成立了。看下图：
【思想实验二】
两男孩（S' 和 S）各拿一把静止时长度为1米的直尺，垂直举起。男孩S'的尺子上端固定了一个蘸了墨的毛刷。S在地面站定，而S'以极高的速度 v 向着与S稍稍错开一点的方向滑行过来。当两者擦肩而过时，两人尺子的下端距地高度相同，尺间的距离也是毛刷能够得到的。如果事后S检查自己的尺子M，发现上端下面一点有一道墨迹，就说明，S'的尺子M' 比自己尺子M短。然而速度是相对的。对S'而言，自己才是静止的，是 S 以速度v迎面而来，如果以高速 v 运动会使竖直方向的尺子变短的化，在两人交会的一刹那，S'会看到自己尺子上的毛刷在对方尺头上空划过。事后检查，S的M尺上应该没有墨迹。毛刷在尺子上画出墨迹这件事怎么能既发生又不发生呢？这明显是个悖论。所以说，垂直于运动方向的两把尺子必定是等长的，即 D_A = D_B 。
Okay, 终于可以讨论「追光」的问题了。还是一开始设定的那个场景，只不过，这回飞船上的光子钟横过来装。让光子钟收发和反射两端的间距正好等于飞船的长度。如下图：
【思想实验三】
飞船上的A量得的飞船长度是 L_0 ，因为A相对于飞船的两端静止，所以这个长度就是原长度。又对A而言，光子的发射接收发生在同处，所以他测得的时长 τ 也就是原时。于是他的光路方程就是 2L_0 = c\tau 。（图示的上半部分）
地面上的B量得的飞船长度是L。他所观测到的光子的路径 S 由前进阶段的 S_1 和返回阶段的 S_2 两段组成。（图示下半部分）
我们需要先搞清楚 S_1、S_2 跟船体长度 L 的关系。先假定光子走完 S_1 所经过的时间为 t_1 ， S_2 所对应的则为 t_2 。那么
S_1 = ct_1 = L + vt_1 \implies L = (c-v)t_1 ，进而知 \frac{S_1}{L} = \frac{c\cancel{t_1}}{(c-v)\cancel{t_1}} 。同理， S_2 = ct_2 = L - vt_2 \implies L = (c+v)t_2 \implies \frac{S_2}{L} =\frac{c}{c+v} 。于是 \frac{S}{2L}=\frac{S_1 +S_2}{2L} = \frac{c^2}{c^2-v^2} =\frac{1}{1-(v/c)^2} 。
又由于长度收缩， L = \frac{L_0}{\gamma} \implies S = \frac{S}{2L}\cdot \frac{2L_0}{\gamma}= \frac{1}{1-(v/c)^2}\cdot\sqrt{1-(v/c)^2}\cdot L_0 = \gamma \cdot 2L_0
也就是说，地面所观察到的光子路程是飞船上所观察到的γ倍。
又由于时间膨胀，地面观测到的光子往返时间 t = \gamma \tau 。
\frac{S}{t} = \frac{\cancel{ \gamma} \cdot 2L_0}{\cancel{\gamma} \tau} = c
——理解了没？
参考
- ^ 本文所举之「实验一」「实验二」，以及对「时间膨胀」「长度收缩」的解释均取材于Rice大学的Openstax教材【University Physics Volume III】 https://openstax.org/details/books/university-physics-volume-3
- ^ 本文所言的「速度」严格来讲，所指都是「速率」（speed），而非矢量的「速度」（velocity）。光速不变的速，指的就是speed。我之所以选用这种含混的说法，是因为我觉得汉语的「速率」一词太拗口。
