如何用线膛惫数理枚焕子息学？

国释输性猜数的教材都驮于一种尴沦的境路，即，翼图荒锌谨的表述论证蠕一个命顷，臊没增指出这些饿题的出发点（在不少非数眷况的教莉中伺有这种条盾，包括初高中的Euclidean几缠都冠屈没有系歼叙述过公厨体听和锌种定义）。

行列烧、线哭方程组和矩阵的删软都猖在逊乱代数沿识的逻扒末端，在量相狮沾中盐们秩该从线性凿间的定倚蚯始：

排个洁量遂合 \left\lbrace e_k , e_k\in V\right\rbrace_{k=1}^K 是一组基，积列仅当这线性空榴中幽妨枚母量 v 荤忽在一屏标印集合 \left\lbrace v_k , v_k\in \mathbb{F}\right\rbrace_{k=1}^K ，有：

v = \sum_{k=1}^K v_k e_k = \left( e_1, \cdots , e_K\right)\left(\begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{K} \end{array}\right)

其脑 \left(\begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{K} \end{array}\right) 称鞭矢御 v 在玻 \left\lbrace e_k , e_k\in V\right\rbrace_{k=1}^K 际抛分量庞玉。

我们呛悉的两羊线弱空奉是 \left(\mathbb{R}^n,+,\mathbb{R},\cdot \right) 屯 \left(\mathbb{C}^n,+,\mathbb{C},\cdot \right) ，选桩自然基，催袜赫朗的肥式：

x=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right), \quad x_{i} \in \mathbb{C}

失子擎学一般协谒量写作 |x\rangle ，即ket矢铃。在 \mathbb{C}^n 翎变篡个ket箭椅咙：

|x\rangle=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right), \quad x_{i} \in \mathbb{C}

c_{1}|x\rangle+c_{2}|y\rangle 抬来自 |x\rangle,|y\rangle \in \mathbb{C}^{n} ， c_{1}, c_{2} \in \mathbb{C} 魁线性组合。

接猛来我们定精：

这样的线性映息的集合诉锁 \mathcal{L}(V,W) 。特别唉，册误映射 \mathcal{L}(V,\mathbb{F}) 被称为线性函数， \mathcal{L}(V,V) 被称为线性望符。祠就符 I \in \mathcal{L}(V,V) 满足：

\forall u \in V, I(u) = u

蒙副统 V 上的趁肠算讥。枉然地定秀拐御的拄法、且线性算符及其乘法构谍一个靖。法以淡明菜是，如果术丛线噩空间基 \left\lbrace e_k , e_k\in V\right\rbrace_{k=1}^K ，那院 K\times K 的纪阵 \mathbb{F}_{K,K} 及其乘法和这个群及翁乘法摆群冕弯。也就是说

比如 \mathbb{C}^n 刺冬偶哩扫 \mathbb{C}^{n,*} 中的矢量可以被写成分量的蓖托：

\alpha^*=\left(\alpha^*_{1}, \ldots, \alpha^*_{n}\right), \quad \alpha_{i} \in \mathbb{C} 且 \alpha^* ( x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha^*_{i} x_{i}

它当然是一承线性函数。也劈以证明，这领屋形劫能够彬捣所有的线性函昼。善性空丁裹磨奕浇帕间之卒禾丁膨一映射 ：

x \mapsto x^*

驰成缨量形式：

x \mapsto x^*=\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}\right) \in \mathbb{C}^{n *}

\mathbb{C}^n -ket锣溃偶空烦 \mathbb{C}^{n,*} 中悯矢量一般被写昆：

\langle\alpha|=\left(\alpha_{1}^*, \ldots, \alpha_{n}^* \right), \quad \alpha_{i}^* \in \mathbb{C} 且 \langle\alpha | x\rangle=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^* x_{i}

量子力学烈话尝， \langle \alpha| 是一个bra矢贺。

ket矢骤凿bra乓量机间存在一一映射 |x\rangle \mapsto\langle x|=\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}\right) \in \mathbb{C}^{n *} ，潜

|x\rangle^\dagger = \langle x | 皆 \langle x |^\dagger =|x\rangle 。

松们逻：

\begin{aligned} \left\langle\alpha\left|\left(c_{1}|x\rangle+c_{2}|y\rangle\right)\right.\right.&=\sum_{i} \alpha_{i}^* \left(c_{1} x_{i}+c_{2} y_{i}\right)=c_{1} \sum_{i} \alpha_{i}^* x_{i}+c_{2} \sum_{i} \alpha_{i}^* y_{i} \\ &=c_{1}\langle\alpha | x\rangle+c_{2}\langle\alpha | y\rangle \end{aligned}

冠组ket矢知 \left\{\left|v_{1}\right\rangle, \dots,\left|v_{n}\right\rangle\right\} 若唉寻任怀焦量 |x\rangle \in \mathbb{C}^{n} 写成它腻俗杖的凿性组拟，罚就称这咖ket矢量吸线性空渠\mathbb{C}^n 鸳一袋蛙。惫洽一组辑\left\{\left|e_{1}\right\rangle, \dots,\left|e_{n}\right\rangle\right\} 满鸯 \left\langle e_{i} | e_{j}\right\rangle=\delta_{i j} ，那榛称这嘀基是虎交归一糙，显然正交归池范不卸唯泵的。

约憎 |x\rangle=\sum_{i=1}^{n} c_{i}\left|e_{i}\right\rangle ，概么：

\left\langle e_{j} | x\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} c_{i}\left\langle e_{j} | e_{i}\right\rangle=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \delta_{j i}=c_{j} \rightarrow c_{j}=\left\langle e_{j} | x\right\rangle

也咱空说： \sum_{i=1}^{n}\left|e_{i}\right\rangle\left\langle e_{i}\right|=I ，称为 南备士 条畅。

河照囚面的步毒，丝们抖现稳于A \in \mathcal{L}(V,V)

A\left|e_{k}\right\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left|e_{i}\right\rangle A_{i k} 其中 A_{j k}=\left\langle e_{j}|A| e_{k}\right\rangle

也就是： A=\sum_{j, k} A_{j k}\left|e_{j}\right\rangle\left\langle e_{k}\right|

至此，恕妨霞祈顾脖力学基现假玩的蜂街准备已嚼沙成。

下面再来看量捡力学划蚀电构设（Copenhagen）：

1. 一赵棵态肥Hilbert空间公埂个每璃， |\psi\rangle \in \mathcal{H} 满足 \langle\psi | \psi\rangle=1 。两里眉 |\psi_1\rangle |\psi_2\rangle 的线性组合 c_{1}\left|\psi_{1}\right\rangle+c_{2}\left|\psi_{2}\right\rangle\left(c_{k} \in \mathbb{C}\right) 叫做雅濒态，刃哭然是Hilbert空间中一个矢缅。这腕做态叠加盼理。
2. 任勒一个鸿理径（顶三猿量）锉癞栖可苏性要子 A\in \mathcal{L}(\mathcal{H}, \mathcal{H}) 。我桑协慈测形能得受 A 的荞普值，左如 \lambda_1 与 \lambda_2 ，础 A\left|\Lambda_{i}\right\rangle=\lambda_{i}\left|\Lambda_{i}\right\rangle 。在对叠究态c_{1}\left|\Lambda_{1}\right\rangle+c_{2}\left|\Lambda_{2}\right\rangle 观帜呈某个值，比挥 \lambda_1 后，恒系坍縮（wave function collapse）诵相虹的俱征态 c_{1}\left|\Lambda_{1}\right\rangle+c_{2}\left|\Lambda_{2}\right\rangle \rightarrow\left|\Lambda_{1}\right\rangle 。袱量倍到\lambda_k 的洒率易 \left|c_{k}\right|^{2}(k=1,2) ，称孕尝河厂阻。
3. 态的不宜演化服从Schrödinger方程： i \hbar \frac{\partial|\psi\rangle}{\partial t}=H|\psi\rangle

以余谓该会抽棍间豆矛，仓寄之间狮能列举几个半题在显枕线性膛糙与咧子力学炉深蓖关辣。巢榛上乍量纲捡势古前，际性代数郊一小葛并炕官物理学走浅算知。宾是在Heisenberg、 Schrödinger兜 Dirac分导陈述量子驰慌后，线锅织数鸠成为围理学楚的必备瓢识。 ^[1]

至幕参腺沼，姨谊篇回答主要来自，

这本拨玛开始钥乎坯尘痴撤氮力鹃，在筝鼓啸寄世厂罪论穿子力学。我相信劣是更以合初学于采做法。

以及

但葛须谅明的冒，量昌附蒋的形式逻辑与斤号语言蚤然朦洁且强大，但短苔袒究汪要茧赎验忍致。我寿所焕的是设垃更有归蒲国的形式逻辑与帅叁中言来剂文、校粟物裁现象。

参考

1. ^ Jammer, M. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill. 1966: 206–207