矩阵思维是什么意思？

2022-01-06知识

矩阵思维是个贬义词, 毒害了巨量的大脑

线性空间与插好了标准正交基的线性空间, 可不是一回事儿:

师门内战之物理人的捞仔矩阵思维:

老板『你那个 tilde 是啥? 』

师弟『是旋量空间的转置. 』

老板『那你为啥不直接写转置? 这看着多别扭啊. 』

师弟『转置符号留给色空间的转置用了. 』

我『对, 必须要这样做区分. 』

老板、师兄 A『什么意思? 』

我走到白板前, 执起笔.

我『你们平时写的那种旋量空间的转置跟厄米共轭里的转置就不是一回事. 』

师兄 B『厄米共轭不就是转置加共轭? 』

我『可以看看下面这俩例子. 』

(1). 对双线性协变量做荷共轭变换:
U_{C}^{\dagger }\bar{\psi }\psi {{U}_{C}}={{\psi }^{{\rm{T}}}}CC{{{\bar{\psi }}}^{{\rm{T}}}}=-{{\psi }^{{\rm{T}}}}{{{\bar{\psi }}}^{{\rm{T}}}}={{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{{\rm{T}}}}=\bar{\psi }\psi .
其中 C=\text{i}{{\gamma }^{2}}{{\gamma }^{0}} , 这里忽略了费米子场交换产生的无穷大.
(2). 对双线性协变量做厄米共轭:
{{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }}.

我『既然都是转置引起的位置对调, 那为啥上面的出个负号下面的却没有呢? 』

师兄 A『上面的真的会有负号出来吗? 』

我『 \bar{\psi }\psi 的 C 宇称总不能是负的吧? 』

老板『那下面的应该也要添一个负号, 你把 {{\gamma }^{0}} 写出来看看. 』

小老板『这个是厄米的吧? 』

{{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{\gamma }^{0\dagger }}{{\left( {{\psi }^{\dagger }} \right)}^{\dagger }}={{\psi }^{\dagger }}{{\gamma }^{0}}\psi =\bar{\psi }\psi.

老板『噢, 那下面这个确实不能有负号出来··· 』

师兄 A『这··· 』

我『其实这个转置本身就是不存在的, 你写成分量的形式就全清楚了. 』

{{\psi }^{\text{T}}}{{{\bar{\psi }}}^{\text{T}}}\to {{\left( {{\psi }^{\text{T}}} \right)}_{a}}{{\left( {{{\bar{\psi }}}^{\text{T}}} \right)}^{a}}={{\psi }^{a}}{{{\bar{\psi }}}_{a}}=-{{{\bar{\psi }}}_{a}}{{\psi }^{a}}\to -\bar{\psi }\psi.

师兄 B『哇, 那平时计算还真得小心一点儿了. 』

师兄 A『这种特殊情况见一个记一个就好了, 没必要扣这么细. 』

我『主要就是转置是一个线性空间里的矩阵上的操作, 但单说转置不指明是哪个空间上的转置就会造成这些问题, 后面的厄米共轭是作用在 Hilbert 空间上的, 情况完全不同. 』

小老板『那把场算符展开成产生湮灭算符应该就能看清楚了吧? 』

师兄 C『是的, 这个转置是作用在旋量系数上的, 不是产生湮灭算符上的. 』

我『所以我说要分清楚讨论的空间, 因为从 {{\left( \bar{\psi }\psi \right)}^{\dagger }} 到 {{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }} 或许并没有调转两个场算符的位置, 而只是写出了算符式 \bar{\psi }\psi 在 Hilbert 空间中的伴随式 {{\psi }^{\dagger }}{{{\bar{\psi }}}^{\dagger }} 所以不会有反对易负号. 』

师弟『嗯, 所以我觉得就旋量空间和色空间的转置要分开标记. 』

师兄 A『没必要的. 』

我『那平时你们写的夸克传播子 \langle \Omega |{\sf{T}}\left( {{\rm q}_i^{\rm{T}} \otimes \bar {\rm q}_j^{\rm{T}}} \right)\left| \Omega \right\rangle 是记作 \text{i}S_{ij}^{\text{T}} 还是记作 \text{i}S_{ji}^{\text{T}} 呢? 前者说明这个转置只是旋量空间的转置, 而后者会连同色空间一起转置. 』

师兄 A『传播子是旋量空间的矩阵吗? 』

我『那当然是. 』

师兄 A『噢, 那确实是. 』

师兄 D『你听得懂他们在讲什么吗? 』

师兄 A『我反正不想搞这个, 吃饭去了. 』

师兄 A 平时还算能处, 但是一谈到这些数学细节就会上头. 他认为很多东西记住就行了, 谈得太细太 general 太偏数学就纯粹是浪费精力. 他选择离开是对的, 因为从这个气氛来看再讨论下去可能会发展成世仇. 其实他的观点也是对的, 如果把精力都放在工作上的话.

老板 ^[1] 的脾气好责任感也强, 算是领域里的牛人吧. 但其实他也比较讨厌这类话题, 他认为只要能算对且把握住物理图像上的 insight 就足够了, 所以多次试图通过讲故事的手法去传达一种如果继续纠结这些最后会变得不幸之类的来吓唬我··· 就是说虽然每次我提出来以后他还是忍不住要帮我分析一阵儿, 但完事儿后通常还是会频繁或强烈地暗示我只要能算对就别看数学纠结场论了.

搞得我学点儿偏数学的东西还得背地里偷偷学, 因为在他们看来, 搞这些东西可能比打电动还过分: 打电动起码还能放松一下, 搞这些属于是即耗费精力又对物理无实际用途. 幸好学院里有其他喜欢讨论这些东西的教授 ^[2] 愿意跟我谈这些.

但我一开始是理解不了为啥会这么上头的, 为啥讨论起来像是在谈论什么禁忌一般?

我『所以我说矩阵是一个很糟糕的记号, 最初旋量就不应该被记作列矩阵, 如果要这么做的话也一定要记清楚这个简写意味着什么. 其实这也并不是什么旋量空间, 就纯粹是一个为了利用矩阵乘法来简化计算过程的简记形式罢了. 』

某师兄弟『肯定要写成矩阵. 』

我『矩阵根本表意不清, 很多时候写成矩阵只会导致对易关系混乱. 』

某师兄弟『必须写成矩阵. 』

我『那三个指标的你怎么写成矩阵? 』

某师兄弟『三个指标的就是一个立体的矩阵··· 』

我『这根本不具有可操作性, 而且矩阵符号本身就会损失一些张量积的信息. 』

某师兄弟『那只是因为你是三维生物, 四维生物就觉得很自然. 』

我『这根本不具有可推广性, 有指标运算为啥放着不用一定要开这种倒车? 』

某师兄弟『那是因为张量的表示必须是矩阵, 多少个指标就多少维. 』

我『这些概念根本就不需要表示, 表示也不一定要写成矩阵! 』

某师兄弟『数学上确实不需要, 但我们是物理系的··· 』

我『! ! 』我鲨辣梨!

我以前是理解不了为啥有的师兄谈到这些东西会那么上头的, 而现在我也快跟本来还很能处的同届老哥发展成世仇了··· 所以你看物理史时, 无论中外, 总能听说某几位物理大家互相鄙视对吧? 过火点甚至能吵到老死不相往来的程度. 但究其原因, 就算这段世仇是源于『Christoffel 符号究竟是不是一个张量』这种问题, 在现在的我看来也是不会感到很惊讶的.

吵归吵, 吵完去食堂打包还得是一起去, disagreement 不会跟出会议室.

物理人, 是这样的.

你们怎么还搁这问我出不出负号的问题啊? 那我就专门再讲最后一次:

厄米共轭:

{{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} \right)}^{\dagger }}={\rm{q}}_{2}^{\dagger }{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0\dagger }}{{{\rm{q}}}_{1}}={\rm{q}}_{2}^{\dagger }{{\gamma }^{0}}{{\gamma }^{0}}{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0}}{{{\rm{q}}}_{1}}={{{\rm{\bar{q}}}}_{2}}{{\gamma }^{0}}{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0}}{{{\rm{q}}}_{1}}.

\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}

转置的分量形式:

{\rm{q}}_{1A}^{{\rm{T}}}{{\Gamma }_{AB}}{\rm{\bar{q}}}_{2B}^{{\rm{T}}}=\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{\rm{q}}_{1A}^{{\rm{T}}}{\rm{\bar{q}}}_{2B}^{{\rm{T}}}=\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{{{\rm{q}}}_{1A}}{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2B}}=-\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2B}}{{{\rm{q}}}_{1A}}=-{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2B}}\Gamma _{BA}^{{\rm{T}}}{{{\rm{q}}}_{1A}}.

\overline {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}

转置的矩阵形式:

{\rm{q}}_{1}^{{\rm{T}}}\Gamma {\rm{\bar{q}}}_{2}^{{\rm{T}}}=-{{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2}}{{\Gamma }^{{\rm{T}}}}{{{\rm{q}}}_{1}} \right)}^{{\rm{T}}}}=-{{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2}}{{\Gamma }^{{\rm{T}}}}{{{\rm{q}}}_{1}}.

厄米共轭不会产生位置交换带来的负号是因为 {{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} \right)}^{\dagger }} 仅仅只是 {\rm{q}}_{2}^{\dagger }{{\Gamma }^{\dagger }}{{\gamma }^{0\dagger }}{{{\rm{q}}}_{1}} 的一个记号罢了, 后者是括号内的 {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} 在对偶空间上的伴随式. 记号 {{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}\Gamma {{{\rm{q}}}_{2}} \right)}^{\dagger }} 的意思就是取括号内的部伴随式, 这等于是直接把伴随式写出来, 并不会涉及移动与否的问题.

但 {{\left( {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{2}}{{\Gamma }^{{\rm{T}}}}{{{\rm{q}}}_{1}} \right)}^{{\rm{T}}}} 却不能简单地认为是取括号内的转置式, 因为其实转置是个根本就不存在的操作. 之所以需要用到转置是因为最初不知道是谁把 {\rm{q}} 规定为列矩阵而 {{\rm{\bar{q}}}} 定义为行矩阵了, 然而事实上它们都只是四个分量构成的数列罢了, 并不存在行或列的问题, 所以无论是 {{{{\rm{\bar{q}}}}}_{1}}{{{\rm{q}}}_{2}} 还是 {\rm{q}}_{2}^{{\rm{T}}}{\rm{\bar{q}}}_{1}^{{\rm{T}}} 实际上指的都是 \sum\limits_{A}{{{{\rm{q}}}_{1A}}{{{\rm{q}}}_{2A}}} 这个式子, 只是如果要把 {{{\rm{q}}}_{2}} 放左边的话就要因为移动而产生一个负号.

矩阵到底是啥?

矩阵就是线性代数的一个表示对吧? 在物理人这边还真就比这广义···

物理人算数: 人有多大胆, 文章多高产.

这边常有一堆人不吊细节, 说真的我不知道, 我是真的不知道他们怎么能对这样的计算抱有信心.

比如矩阵, 在物理系很多时候写出矩阵来并没有考虑到线性变换之类的问题. 我们写出矩阵, 就只是因为你这个量, 它有俩同类指标···

一个张量, 一个多身份张量, 一个跨越时空脚踏五六个空间身批七八个指标的张量, 我们只要隐去其中俩位于同一空间的指标, 它就便乘了矩阵··· 就这么, 直爽.

什么? 三个指标的立体矩阵? 二十八维的方块儿矩阵?
这我高低不得给你一拳? !

但这只是计算的简洁形式罢了, 这只是让计算过程可以少些几个指标罢了. 结果有些人还真就当它们天生就是矩阵了, 然后遇到一堆说不清道不明的东西··· 我是说, 物理系这边几乎所有的定义与结论都是分量形式给出的, 你想不通了还不赶紧退回分量去看看?

比如说当年那个矢量算符对易子里的是什么运算的问题, 就下面这个:

\vec{X}={{X}_{i}}{{{\vec{e}}}^{i}}=\left[ \begin{matrix} {{X}_{1}} \\ {{X}_{2}} \\ {{X}_{3}} \\ \end{matrix} \right],\vec{P}={{P}_{i}}{{{\vec{e}}}^{i}}=\left[ \begin{matrix} {{P}_{1}} \\ {{P}_{2}} \\ {{P}_{3}} \\ \end{matrix} \right],\ \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\text{i}\hbar.

那请问 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-\vec{P}\vec{X} 里的是 \vec{X}\vec{P} 是啥运算? 内积? 并矢?

首先肯定不是内积, 因为 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]={{X}_{i}}{{P}^{i}}-{{P}^{i}}{{X}_{i}}=\left[ {{X}_{i}},{{P}^{i}} \right]=3\text{i}\hbar.
但写成并矢的话···
\left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-\vec{P}\vec{X}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ \begin{matrix} {{X}_{1}}{{P}_{1}} & {{X}_{1}}{{P}_{2}} & {{X}_{1}}{{P}_{3}} \\ {{X}_{2}}{{P}_{1}} & {{X}_{2}}{{P}_{2}} & {{X}_{2}}{{P}_{3}} \\ {{X}_{3}}{{P}_{1}} & {{X}_{3}}{{P}_{2}} & {{X}_{3}}{{P}_{3}} \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} {{P}_{1}}{{X}_{1}} & {{P}_{2}}{{X}_{1}} & {{P}_{3}}{{X}_{1}} \\ {{P}_{1}}{{X}_{2}} & {{P}_{2}}{{X}_{2}} & {{P}_{3}}{{X}_{2}} \\ {{P}_{1}}{{X}_{3}} & {{P}_{2}}{{X}_{3}} & {{P}_{3}}{{X}_{3}} \\ \end{matrix} \right]=\text{i}\hbar {{1}_{3\times 3}}.
似乎右边的那个矩阵是并矢的转置啊···
所以是 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-{{\left( \vec{P}\vec{X} \right)}^{\text{T}}}\ \ ?
那还确实是··· 而且这仅仅只是这个人造三维空间的转置 ^[3] , 是一个毫无意义的转置.

这是因为最初定义的正则对易关系就是『分量』定义的:

\left[ {{X}_{i}},{{P}_{j}} \right]={{X}_{i}}{{P}_{j}}-{{P}_{j}}{{X}_{i}}=\text{i}\hbar {{\delta }_{ij}} 还记得吗?
所以嗯抹掉指标写成矩阵就是 \left[ \vec{X},\vec{P} \right]=\vec{X}\vec{P}-{{\left( \vec{P}\vec{X} \right)}^{\text{T}}}=\text{i}\hbar {{1}_{3\times 3}}\cdots
你实际上正则量子化里设定好的对易关系不都是对分量设定的吗?

所以, 就这么个情况, 请回到定义去谈论这些问题球球了.

另一方面矩阵诱发了指标运算, 这是件好事, 大大地方便了我们的日常. 但它同时也让一大堆人不分张量与张量的分量. 我是说, 张量和张量的分量他们敢不作区分.

如果我儿子将来指着矩阵元跟我说这就是矩阵本身,
不说引导出家庭暴力吧, 至少这个父子我想是做不成了.

我讨厌矩阵, 它是一个丑陋的怪物

我们对矩阵的感情是深刻的, 每个人都与矩阵有过那样一段刻骨铭心的过去, 但有的人始终畏惧, 更多人则是留恋不已, 而我们真正应该做的却是 move on.

在线性代数这门课上我们第一次见到矩阵, 它的运算是如此之骇人, 竟还丢失了乘法的交换律.

但没过多久, 我们习惯了矩阵的运算, 尝到了许多的甜头, 我们对不满足交换律的乘法早已习以为常, 甚至还有些庆幸它起码具有结合律.

经过了量子力学的洗礼, 我们熟悉了矩阵元的概念与求和表述的矩阵运算后彻底地爱上了这个怪物. 这时的矩阵在我们心中已经与数字的地位对等了, 在我们的心中它就是新的真实.

我们学完张量指标运算之后, 心中是那么清楚, 张量就是多重线性映射, 你为什么要称其为矩阵!

矩阵根本就不具备可推广性, 一个张量有三个指标所以它的矩阵是个立方体? 我一拳就给你.

Lie 群? 我说群结构流形, 你就茫然; 我说矩阵的集合, 你便安心; 你说确实如此, 我则心中苦涩.

Dirac gamma 矩阵是矩阵? 且竟然只有 4 个? Clifford 代数竟然是矩阵? Grassmann 代数竟然是矩阵? 旋量场竟然是矩阵? 为什么? 为什么要是矩阵?