第一，古希腊数学为什么发展出了几何演绎体系，而中国没有？
第二，为什么中国的数学最后衰弱了没有发展出现代数学，而西方数学可以？
第三，中国传统文化对数学有没有阻碍作用？
对于这些问题的讨论，最常见的误区就是将中西数学史的比较看成是，各种文明在一条标准跑道上从初等数学开始的智力赛跑，谁先摘到高等数学的成果谁就赢。在这样一个体系下面，数学知识从初等到高等有着明晰的进阶路线图。搞完加减学乘除，搞完乘除学分数，搞完分数，搞负数整数有理数，一路上去搞到微积分，抽象代数等等高等科目。这种「标准跑道」的错觉是源于我们所接受的数学教育其实是经过18世纪之后数学家进行重整再梳理再塑造的结果。这种再梳理的前提在于，现代科学技术的发展，已经抹平了数学家面前绝大多数的物质鸿沟。比如说，开普勒处理第谷的天文数据耗费了他一生的心血，而这些数据拿到现在一个高中生就能在计算机软件辅助下快速地获得结果。这之间的差异其实就是物质鸿沟上的巨大差异，只有这些物质鸿沟被填平，我们才会进入到所谓的「标准赛道」，进行单纯的智力角逐。
但是从历史的角度来看，这种「标准跑道」基本上是不存在的。在物质鸿沟没有被填平之前，不同文明脚下的赛道状况可能就如一马平川草原和崎岖盘桓的山地一样差异巨大。有一些文明可以如横扫千军一样在数学上突飞猛进，而有些文明则要非常幸苦的才能爬出山坳。
因此要回答这些问题，首先要对「古代」这个词进行比较严格的分期。如果我们把有专业数学文本起算到17世纪之前的数学都算做古代的话，那么整个时段长达2000多年。如此长的时段里各个地区的文明，都有多次反复地经历了数学发展的繁荣和低潮周期。不同地区的周期时段不尽相同，兴起和消亡的原因也各不相同，各个文明要面对的挑战也天差地别。把这些不同分期的数学历史，笼统起来讨论，是没有什么意义的。
中国数学其实起步就相当晚近。刘徽注<九章算术>的时候，其实古希腊数学已经落幕了。在刘徽之前的中国数学，在21世纪之前几乎就是空白。对你没有看错就是在2000年之前，我们根本不清楚魏晋之前的数学具体是什么样的。甚至90年代还有很多学说认为，<九章算术>的成书时间是在南宋，因为我们目前能够看到版本只有南宋刻本。2000年以后随着国家在文史上的投入，不少先秦的数学<简牍>被释读出来,比如张家山汉简的<算术书>,北大秦简的<算书>等等，我们现在可以大体的了解到先秦到汉代的中国数学概貌。
基于这些新的出土文物和史料文献，我们现在大致可以对早期中国数学的形态作出一些比较公平的评价。我个人喜欢把这段时期的数学，称为简牍时代。这个时代中国数学的最大的特征就是以简牍作为文字媒介发展和传播。这样一个特殊的文字媒介几乎定型了中国古代数学的基本形态。比如说为什么？中国古代的平面几何没有往欧几里得的证明体系走，而是走了一条算法化的道路？为什么中国古代数学非常简略只有结果没有证明？因为和古希腊人的莎草纸媒介不同，简牍即无法作图也无法做长篇的精细论述。由于简牍无法进行作图，于是中国古代数学家倾向于在数学文献里把几何定理转化为各种等价算法然后刻意的把几何推导过程抹掉。简牍的记录知识的成本极高，比如说<几何原本>的中译本是60多万字，而<史记>才52万字。因此中国古代数学家倾向于只记录有价值的结果和简单的算法过程口诀，而几乎不可能形成<几何原本>那样的繁琐的演绎化数学。这个漫长的简牍时代，经过刘徽，祖冲之这一代魏晋数学家的努力之后，中国数学初步形成了非常特殊的以算法为中心的数学体系，基本上奠定了中国古代数学的基本形态。对于这个时期的数学更详细的可以参看这两篇东西
简牍对于中国数学的影响是巨大的，如果我们我们不考虑这些基本的历史条件，来讨论中国古代的数学成就，那么就不可能得出任何有价值的评价。高赞里有几位，比如 @Yuhang Liu 的那个回答，把阿波罗尼乌斯的<圆锥曲线>拿来和<九章算术>的几何比，事实上的确希腊人领先的多，但是这种事实我称为选择性裁剪的废话事实。就好比说，有人发贴说王思聪25岁就实现了5亿小目标，你们油腻中年白领30岁了还在996。你不能说这句话不是事实，但是这种事实只是被裁剪后的事实，抛开历史谈成就，都是耍流氓。
关于书写材料的问题，下面引发了累牍连篇漫无边际的的大讨论。在这里我统一再仔细回复一下，关于几个书写媒介的猜测和讨论，我觉得都起码要找正规的文献来读一下，不要拍脑袋想当然。首先是，羊皮牛皮和莎草纸。西方首用羊皮纸的是土耳其的帕加马大概是前2世纪，大规模替代莎草纸是在公元四世纪西罗马帝国崩溃西方丧失对埃及控制权之后。但是希腊的数学发展的地理中心基本上集中在埃及的亚历山大城，时间大约是公元前323年到公元前146年，也就是埃及的希腊化时期。欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯，埃拉托塞尼，绝大多数古希腊数学家都是在埃及的亚历山大港完成学术工作的。这其中最重要的原因，就是因为亚历山大图书馆集中了当时西方最重要最完整的学术资料，而这种学术资料的收集整理保存全部依赖于莎草纸。亚历山大靠近莎草纸的产地，同时也具备长期保存的气候条件
其次，帛书和简牍问题。讨论这个问题，需要搞明白，在先秦帛书和简牍之间是什么样的关系。前面有人提到，帛书的书写格式是画竖线格子仿造竹简。这个说法其实不太确切。这种竖线格子叫做朱栏或者墨栏，根据考古学者对马王堆帛书的研究，帛书上的这些竖线其实不是用笔墨画出来的，而是用不同颜色的丝编织进去的。这个结论说明了几个问题。首先,布帛是不适用于作画的。很简单你自己就可以做实验，用毛笔蘸墨水在丝绸上画细线，墨汁会随着纤维进行扩散而出现像四周晕染的情况。因此古人为了在帛书上的制作笔直的细线，必须要依靠编织的方法来完成。目前出土的各种先秦帛画实际上也是一种丝织品。埃及人的莎草纸的制作工艺中有一道上胶的工艺，这个工艺可以把墨水和莎草纸的纤维隔离开来以防止墨水晕染的现象.
其次, 预编织朱栏或者墨栏的情况还说明了这种帛是专为书写特制的而非随意拿一块布片就能进行书写。为何要定制呢？因为帛书不是用于撰写初稿著作，而是用于誊写定稿著作。也就是说帛书是作为一种简牍的精致抄本而存在的。一本帛书内容一定源自于一本更原始的竹简。简牍是便宜的，可以随意的书写废弃，但是笨重不方便。于是对于达官贵人，就有专门花钱请人编织书写用帛，然后请书法家在从简牍上誊写书籍，形成帛书抄本。帛书的价格实际上已经远远超越丝绸本身的价格，因为这种帛本身就是定制而非寻常的丝绸。这种帛书在当时更多的是作为一种藏品而存在，类似于我们现在图书的精装本和平装本的区别。因此我们不能把帛书作为和简牍平行的媒介，简牍是帛书的基础，先秦时代的知识首先承载于简牍，这是无需争论的。
再往后，隋唐两代，虽然在政治经济上达到了中国古代社会的顶峰。但是在数学上基本上属于停滞不前的状态，整体而言是一个非常奇怪的低潮期。这其中的有很大一部分原因是魏晋南北朝之后，中国的土地制度和税收制度被彻底颠覆了，先秦两汉时代的驱动数学发展的核心力量发生了根本的改变。
再经过五代十国短暂的混乱以后，宋金元代的数学发展达到了中国数学的巅峰。而同时期的西欧由于整个社会崩溃，数学研究基本上处于倒退的状态。这段时期中国数学无可置疑是领先的。
到了明朝中国的数学却突然出现直线下降。明朝的倒退和隋唐完全不同，几乎是一种雪崩式的垮塌，唐代的李淳风可以为刘徽的<九章算术注>做整理和评注，而到了明朝中叶，短短100年的时间，明朝数学家几乎已经看不懂朱世杰秦九韶的宋人数学著作。
这种垮塌式的崩溃源自于明代政府的户籍制度。宋代时中国其实已经发展出了初步的数学共同体。与我们通常认识的想反，宋元时代，中国的传统知识分子其实并不排斥数学。数学其实是儒家经典的一部分，宋元两代的儒家知识分子其实不少都是兼职的算学高手，犹如穿越者沈括之类的就不说了，比如说砸缸救人的哪位司马光，他虽然作为文学家和历史学家出名，但是我们看他的告身结衔，我们会发现他有一个非常奇怪的差遣
翰林学士・兼侍读学士・朝散大夫・右谏议大夫・知制诰・充史馆修撰・编修历代君臣事迹、详定封事・判尚书都省・兼提举万寿观公事・ 兼提举司天监公事 ・同详转对臣僚所上封章・柱国・河内郡开国侯・食邑一千三百户・食实封二百户・赐紫金鱼袋・ 司马光提举司天监公事，按照现代话来说就是以部级官员兼职国家天文台的台长。提举司天监这样的差遣不是皇帝一纸任命就可以担任的，因为中国古人认为皇权与天象密切相关，对日月交食时刻按规定皇帝都要率领众臣举行祭天仪式。这个差遣本身需要对数学和天文有非常专业的知识，一旦对天象观测出错，该举行的仪式没有举行，那就是震动朝野的大事。司马光不仅仅是一个历史学家，他之所以能提举司天监，是因为他本身对数学和天文学都有较深的研究，他甚至自己推算了一部历法。在这种社会氛围下，宋元时期中国第一次形成了数学家共同体。比如杨辉，秦九韶，朱世杰都公开的开馆授徒，人数众多而活跃的数学共同体是宋金元数学突飞猛进的社会基础。
到了明代，朱元璋制定的户籍制度，将社会不同阶层进行世袭固化，比如数学家天文学家归入阴阳籍，一旦入籍子子孙孙都不能脱籍。这样整个数学共同体就荡然无存，数学家群体变成了近亲繁殖的家族式行业，学者之间交流也不复存在。而此时西欧的的文艺复兴开始，欧洲的数学家在整理古希腊人的基础上对数学进行了突破性的发展。当利玛窦将欧洲的数学和科技带入中国的时候，中国的数学届才想起拣回宋元时期的数学工具与之抗衡，然而此时他们却发现他们连宋元时代的数学文献都看不懂了。清代的杨光先汤若望教案中，杨光先预测天象数次失准，上疏康熙帝要求寻访通晓古代侯气法之人，结果找了两年都没能找到。通常我们认为中国传统文化轻视数学和自然科学的风气，正是滥觞于明代。这一次的衰弱之后中国的数学就再也没有起来。
假如明代的中国数学没有中断的如此彻底，中国数学有没有可能找到现代化的途径？这个问题看似非常穿越，但实际上并非是一个不值得讨论的意淫问题。因为在历史上有两个非常接近这个答案的案例可以参考。
一位是日本的和算算圣，关孝和。这个名字我估计很多中国人是非常陌生的。当宋元数学在明代绝迹的时候，在相当于中国的明末清初的江户时代，关孝和在日本继续发展朱世杰等人发展起来的天元术，将这门技术发展成为了一种利用汉字偏旁组成的半符号代数—— 傍书法和演段术 。关孝和把未知数用甲乙来表示，把系数和加减乘除运算标在未知数的旁边。这样可以简洁地表示方程或方程组。
在此基础上，他利用宋元数学发展起来的垛积术，求出了乘方垛，也就是自然数的p次方的一般求和公式，
\sum_{k=1}^{n}{k^p}=1^p+2^p+3^p+....+n^p
并且得到了伯努利数。他发展了郭守敬的招差术和插值法，给出了圆弧长的无穷级数展开式，并利用这种方法对椭圆螺旋线做了深入研究。关孝和以及他的弟子在此基础上甚至发展出了一套多重积分求立体体积的方法。另一位则是我国清末的李善兰，他和关孝和一样利用朱世杰的垛积术发展出了尖锥术并且以此技术给出了一系列三角函数对数函数无穷级数展开式，当时他的合作者伟烈亚说，他的这些成就如果诞生在17世纪一定会震惊世界。所以说，@Yuhang Liu认为古代中国或者东亚数学家没有研究过圆锥曲线曲线也不是事实，关孝和李善兰都用原始无穷级数研究过这些曲线。关于李善兰的工作可以参看这里
如果我们以李善兰，关孝和的工作来作为样本而不是明清两代中国主流落后的数学为参考的话，那么前面几个高赞答案里所说的中国古代数学发展不出抽象的符号系统，发展不出微积分是非常武断没有道理的。
通过对中国古代历史的简单梳理，我们可以看到影响到数学发展进程的其实很多是与数学和数学家无关的因素。数学发展的道路可以有很多条，数学问题本身也可以有很多样式可以选择。我们现在选择莱布尼兹的微分积分记号，而不是牛顿的流术记号其实并没有什么历史必然因素。如果关孝和的圆理或者李善兰的尖锥术能被更广泛的应用和拓展，那么微积分可能就不是目前这个样子。
明代之后的中国数学乃至东亚数学的衰弱，与其说是抽象性体系性上的不足，更不如说是数学应用上的严重缺失。
从牛顿莱布尼兹微到柯西、魏尔施特拉斯，现代微积分的发展并不是由数学家单兵突进完成的，而是数学向物理化学天文等学科提供初级的工具，这些学科利用数学工具获得突破后再向数学反哺各种研究素材，然后数学家进行再整理重构新工具再反馈科学界这样一轮一轮不断进行迭代完善的正反馈中完成的。如果说李善兰的成果来的太晚的话，那么关孝和的成就则和牛顿是同时代的世界领先的成就。然而在随后的数百年中整个东亚文明的其他部分都没有跟上中日数学家的步伐无法为数学共同体提供发展的养分和研究素材，中日数学家的这些现代化的努力最后只是成就了一场东亚数学的谢幕演出。
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下面的评论里聚焦最多的一个话题，恐怕还是，中国数学到底是落后还是超前？上面的长篇回答，大体只回答了两个问题。为什么中国先秦至汉的数学没有走向公理演绎化的道路？明代的数学是如何衰弱的。如果不衰弱又会怎么样？这只是回答了我们为什么没有这些东西？但是没有回答，我们有什么东西？
关于这个问题，其实我在<数的分流>的第五至第八篇中详细阐述了这个问题。我以为知乎的读者都有基本的自学能力，但实际上这几篇没推的部分几乎没有人看。
为了减少一些无谓的口水仗，那么我还是在这里对这四篇做一个基本综述好了。
几个高赞的回答中，都提到了一些数学成就，比如刘徽的割圆术和他的基本极限思想，刘绰的等间距二次插值，等等。在我看来这些数学成就不能算不重要，但是他们只是中算数学体系的一种自然而然的实际运用而已，在这些数学成果之下实际上还有一套完整的算法数学体系——函数、变量、映射
在先秦到汉代直接影响到中国数学的基本形态的因素除了简牍之外，还有一个重要的历史进程也决定了中国早期数学的发展方向，那就是是秦始皇统一度量衡，以及汉代以后数百年内对这一进程的延续和强化。
统一度量衡，意味着中国的基层官吏需要处理各种不同单位的数据向标准单位进行映射的工作。比如<九章算术.粟米>章中各种谷物的比率变换。中算家利用，算筹的占位特性，将每一个算筹的方格演化成了类似现代计算机中的寄存器概念。不同方格之间按照一定的率进行链接，即刘徽所谓的粗则俱粗细则俱细。这就形成了最基本一次比例函数的雏形。当问题再进一步复杂化后，就出现了数个函数进行复合以后形成更复杂的函数。如果说，希腊人对数系的拓展是源自于几何的度量，那么中算家对数系的扩充其实都是建立在这样一种数据映射关系上。当除之不尽的时候，他们用一对映射关系定义分数，当减之不足的时候，他们用几个函数反函数复合来定义负数，当他们开之不尽的时候，用一系列缩放比例函数来进行无穷逼进。刘绰，秦九韶，他们的成就其实就是建立在这种函数、映射的框架下建立的。
统一度量衡是中国特有的社会进程，这就是为什么不光是古希腊人还有同样精于计算的巴比伦人埃及人都没有发展出这套技术。这就是我为什么说，负数的缺失不仅仅是一个简单的数系定义问题，而是一大块数学结构的缺失，因为缺乏函数和映射，你就很难跨越从零中再减去数据的逻辑矛盾。
这就是为什么我一直强调，世界上早期数学，其实是各自发展不同的数学分支而已。希腊人借助莎草纸发展了几何和公理化体系，而中国人则借助简牍和统一度量衡发展了函数映射变量。这个技术借道印度和阿拉伯，由13世纪的斐波那契在<计算之书>引入欧洲，再经过笛卡尔将函数和西方的特有几何数学结合形成了解析几何成为了微积分发展的重要基石。
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关于中国古代数学的中的几何与希腊几何的比较，我再多说几句。
中算的几何，也就是吴文俊鼓吹的出入相补这一系列成果，和希腊人的几何其实完全不是一个方向上的东西。希腊人的几何研究的是几何实体之间的位置关系，什么是平行，什么是垂直，什么是相交，什么是相切。而对于中算的几何，就我个人的看法，勾股形，更像是一种高次多项式运算的算具。在天元术这种代数符号系统没有发展出来之前，算筹这个东西只能处理齐次方程。你的方程里面要么全是一次未知数，要么全是二次未知数。如果是非齐次的多项式方程，算筹是没有能力完成运算的。因为算筹只能表达数字运算而没有符号计算。如果你的多项式恰好是齐次的，那么就退化成了一个线性代数问题，线性代数问题只需要对系数进行运算就够了，对于未知数本身在计算时是可以完全忽略的。但是如果你是非齐次的，一个多项式里，既有一次未知数，又有二次未知数，这个时候你就需要处理未知数本身了。在没有符号计算的时代里，恰好勾股型和矩形能够满足在一个实体上即有一次量，又有二次量。一个矩形的面积是一个二次量，而他的长宽就是一次量。出入相补其实就是通过几何体的拼接转换，来完成一系列符号代数公式的变换。比如说九章算术里，有所谓的已知弦股差以及勾长，求股弦和，这个其实就是a^2-b^2=(a-b)(a+b)平方差公式而已.没有符号代数的情况下，这种因式分解的工作就是通过观察几何图形拼接来得到的。
再比如赵爽的二次方程求根公式，就是把方程两根当作矩形的长宽，两根积当作矩形面积，然后把这样的四个矩形围成一圈，形成大矩形，大矩形的边长正好是长宽的和也就是两根和，这就得到了二次方程的伟达定理。然后他可以通过这个大矩形和小矩形进行若干次割补操作，来求得最终的方程根。而这种割补操作，实际上就是等价于将伟达定理通过符号代换成求根公式的符号运算过程。
再比如秦九韶的三斜求积术和海伦公式的差异。海伦公式原始的证明用到了一个非常复杂的相似形比例映射关系。而秦九韶的三斜求积术，按照吴文俊出入相补复原，其实就是把高设为未知数，然后求解二次方程，为什么他三斜求积术要比海伦公式复杂的多呢？因为实际上他就是一个二次方程求根公式而已。
很多人说中算几何没有证明，就算是吴文俊复原的那些都是很粗陋的。因为从几何原本的角度来看，很多割补要用到的等积，中算方法都是没有办法保证的。比如刘徽的说勾股定理证明里的青出青入，你怎么保证出入相等啊，这些都没有证明的，所以看起来非常的粗陋。但是实际上，中算家在做这个东西的时候，就不是在做一个几何问题，而是在借助几何图形完成代数运算而已。我们如何作出四个相等的三角形，或者长方形？这个根本不重要，因为中算家的前提条件就是，我有四个相等的长方形那么我可以怎么样。如果把这个过程翻译成代数语言就是，如果我们有4个a*b，那么我们接下来可以怎么怎么样，我们显然不会去证明这四个a*b为什么会相等，我们就是假设相同的符号代表的数据是相等。后来阿拉伯的花剌子米的符号代数也是借助这种几何方法建立起来的。这种几何代数技巧在中算家哪里就称为「如像招数」，它帮助早期的数学家认识到，一系列基本的符号运算的结果比如平方差，和平方等等，甚至朱世杰依次发展出了高介等差数列的朵积术和招差术。几何在这里其实起到了一个脚手架的作用。有了这些符号运算的基本积累之后，才有可能摆脱几何的辅助独立发展出符号代数。
