事实上，这个函数被称为 Prime Zeta Function
P(s)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac1{p^s}=\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{5^s}+\frac1{7^s}+\frac1{11^s}+\cdots
这个函数在 \Re(s)>1 时收敛，
全体素数的倒数和，即 P(1) 是发散的，且
\sum_{p\le x}\frac1p=\ln\ln x+B_1+\mathcal{O}\left(\frac1{\ln x}\right)
这很难不让我们联想到全体自然数的倒数和
\sum_{n\le x}\frac1n=\ln x+\gamma+\mathcal{O}\left(\frac1x\right)
其中 B_1 是 Meissel-Mertens 常数 ， γ 是 Euler–Mascheroni 常数
明显这个函数与 Riemann Zeta Function 有关系
由 欧拉乘积公式 \zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac1{1-p^{-s}} ,则
\ln\zeta(s)=-\sum_{p\in\mathbb{P}}\ln\left(1-p^{-s}\right)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{n=1}^\infty\frac{p^{-ns}}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac1n\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac1{p^{ns}}
由定义知 \ln\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{P(ns)}{n}
再根据 莫比乌斯反演
P(s)=\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\frac{\ln\zeta(ns)}{n}
