当我们在说「空间」的时候, 它真的「空」而能「间」物吗? 或者说, 空间和物体有怎样的区别? 一个独特的观点是, 二者是一致的. 当我们在观察桌上的一个杯子时, 我们很自然的认为杯子「处在」这样一个空间之中, 而没有思考过, 实际上, 杯子自身也可以看作一个「空间」, 只是因为它的某些属性较低(比如维度), 使得我们不容易看出它的本质 —— 比如, 对于杯子上面的某个细菌而言, 这个杯子(的表面)完完全全可以看作一个能限制细菌运动的「空间」. 所以我们在说「空间」的时候, 到底是在说什么? 有什么 更一般的概念 蕴藏其中? 我们能否用 统一的语言 去描述空间和物?
下面, 我们拿 地球 做一个例子. 一个有趣的现象是, 即使在现今的教育体制下, 如果没有刻意接受过这方面的知识, 那么一个人很自然地会认为大地是平坦的: 这块儿平坦的曲面上, 有房子、山脉、电线杆和人. 然而现在我们知道, 大地其实更像球面, 称作地球.
为什么看起来像一个平面? 因为它确实很大. 不过, 经过数千年的文明变革, 人们发现了如下证据:
- 古希腊人知道, 如果站在海边的高岩上, 就会看到一条确定的 地平线 , 它并 不太远 但是它外边的船只都 看不见 了. 平坦的大地会很难解释这个现象.
- 向着某一个方向一直走, 若走得足够远, 就会回到出发点地方. 这一点, 早在 15 世纪由 Columbus 和 Magellan 部分完成, 也就是著名的环球航行.
- 如果 沿着一条三角形路径 旅行, 而这个三角形 足够大 , 就会察觉出来, 这个 三角形的内角和 竟然大于 180^\circ. 假设你在行走的过程中, 路径持续笔直, 处处无法察觉大地的弯曲, 那简直就像一直走在一张平面上, 但每到达三角形的顶点就测量角度, 比如分别在北京、上海和广州测量, 会发现内角和并不是 180 度, 这和平面几何是矛盾的. 这仿佛是很有趣的「超自然现象」.
- 在距离「大地」 足够远的地方观察 「大地」, 会发现它 置身于一个更庞大的黑色空间中 , 此时大地作为一颗球体而出现. 这一点, 于 20 世纪五十年代多地发射的卫星相继完成. 首次「全身照」则于 1972 年由 NASA 完成.
你会发现, 在之后我们对流形的描述中, 会与上述现象较为相似.
同样是千年来的统治, Euclid 的几何体系一直被认为是描述宇宙的最好的几何学. 这是很自然的. 然而这是不靠谱的, 和相信 2 维 Euclid 体系是描述大地表面最好的模型一样不靠谱. 用 Lorentz 几何学描述的时空模型现在被认为更好地描述了宇宙. 当然, 即使没有狭义相对论, 天文观测也并没有给我们任何特殊的理由, 认为 Euclid 的几何学「最好」. 我们甚至能大胆地类比, 有可能我们的 3 维空间是很大的 4 维球体的表面. 这会导致什么有趣的现象? 类似在地球上走了很长的距离, 就发现「大地平面」的弯曲性质一样, 没准儿我们坐一趟火箭, 飞上足够远的距离且不改变航向, 最终会惊喜地回到原地. 令人惋惜的是, 暂时还没有发现这方面的证据.
1. 微分流形
用数学来描述空间是轻松的, 但我们有必要将上述的概念做一些规范. 现在让我们处在一个 3 维空间中, 只要给出某一坐标系中的三元组 (x,y,z) 就能描述一个点的位置了. 构造一颗 3 维球体的 2 维球面 , 即
\{(x,y,z)\in\mathbb R^3|x^2+y^2+z^2=r^2\}.\\
我们说它是 3 维的球体, 因为上面的点都处在 \mathbb R^3 中, 但其实它的自由度只有两个, 因此我们又认为它是 2 维曲面. 这就是所谓 外蕴 和 内蕴 的区别. 从外部的 环绕空间 来看, 地球是空间的一部分, 「维数」是 3; 而从内蕴的点与点间关系来看, 大地在局部角度上类似一张 2 维的平面, 「维数」是 2. 不同的角度指向了类似的事实, 即至少这个大地不是平坦的.
为什么要做这样的一个区分? 这实际上对应了之后提及的 流形 定义的不同角度. 内蕴的角度很重要, 因为有时候我们的条件会限制研究, 比如在喷气推进还没有广泛研究之前, 我们暂时看不到「外空间」, 只能从内蕴的角度判断这个大地是平还是曲；亦或是 Klein 瓶，其内禀角度是完全有意义的曲面，但很难在 3 维空间中自然想象，当然，其实放到 4 维就自然许多了．实际上, 我们也不一定必须从外蕴角度去研究一个流形, 特别是当外蕴难以想象时.
比如说, 我现在说我们处在一个 3 维球面 之中, 因为普通的平直空间实在是不能描述我们的宇宙了, 假如已经有人发现飞船远离之后又会回归了. 身为科学家的你该怎么研究? 我们可以尝试着, 用 4 个坐标去描述空间, 即 (x,y,z,w), 并加上条件
x^2+y^2+z^2+w^2=r^2.\\
这样我们就把 3 维空间描述为了一个 4 维球体的表面. 这实在是难以想象, 我们的宇宙会有可能生活在一个更大的未曾观测到的 4 维空间中. 但如果采取内蕴的方式定义, 那么 3 维球面 S^3 将不再需要参照任何包含它的空间中.
让我们又回到 2 维球面上. 想象一颗星球, 它可以是【星际穿越】里的水球, 没错, 类似这样一种被平静的水面覆盖的行星. 如果在北极丢了一块大石头进去, 那么水波就会「扩散」, 不断传播, 类似一个半径越来越大的圆. 这个圆任意时刻都是星球的纬圈, 海浪可以是像电影里那么大. 某个恰当的时候, 圈到达了赤道, 之后它竟然会开始「收缩」, 表面上的人觉得很突然. 最终水波到达南极.
类比到 3 维空间中呢? 注意我们现在在一个 3 维球面上, 如果某一点发出了光波, 波是一个不断扩张的(2 维)球面. 让我们始终处在球面的边缘上观察这颗球, 它扩展得很大很大, 一直到它伸展成一个平面了(而它的另一面处在我们看不见的无穷远处). 现在它开始 里外翻转 , 从一个平面又逐渐收缩, 但收缩到另一个点上去. 这个「内外球皮翻转」的过程并不求助于 4 维空间, 但我们已经观察到, 这样的现象不符合熟悉的 Euclid 空间了. 我们注意到了空间的弯曲 . 这种方法的威力在于, 我们可以真正对一个 3 维球面做了一个数学的 3 维描述, 而不是 4 维的.
(*代码*)
Export
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"sphere.gif"
,
Table
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Graphics3D
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Sphere
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a
-
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0
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,
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,
10.125
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2 维和 3 维球面都是流形的基本例子, 在高阶的数学课程中, 我们还会学到环面、射影平面等. 形象地说, 一个 d 维流形, 简称 d 流形 M, 就是这样的几何对象:
2. 图
说回地球表面的问题，其内禀观念就是用所谓的 图册 「2 维」地观察曲面．「图」的字眼其实是从地图学和大地测绘学中借用的，其含义自明．处理流形的一个更一般的途径就是用描述「局部」确切含义的图册．
一本世界地图集, 一本真正生活意义中的图册书, 是由许多平面的地图页装订而成. 我们假设一张是中国地图, 一张是俄罗斯地图. 这两张在绘制上显然有重叠的地方, 我们有必要说明. 因为这两个国家是紧挨的, 中间夹着蒙古, 它在两页地图上都可以找到. 我们要说清楚蒙古在中国地图的北部, 而在俄罗斯地图的南部. 抽象就是, 这一页的某点, 对应于另一页的哪点 . 虽然一个图册画的是 3 维宇宙中的一个对象, 但是地球表面的球面几何却只需从平面的图页上读出. 这是自古以来的智慧 . 这件事做起来虽然不太方便, 但其实是可能的, 即我们甚至可以描述地球的旋转, 比如它只需要让第 27 页的澳大利亚移动到 34 页的某个位置, 此时图册的每一页的图都跟着变化了.
一个 2 维流形可以这样用 2 维图册来定义. 一个 2 维球面可以这样用数学描述: 这本图册只有两页, 每一页都呈圆形. 一页是北半球, 但是稍大一些, 越过赤道以便于南半球部分重叠; 一页是南半球, 但也包含北半球邻近赤道的一部分. 这两页地图都是平坦的平面, 之上的岛屿可能会有些扭曲, 但我们也能说明出其扭曲程度.
图册的概念很容易推广到 3 维情况. 只不过, 现在每一页都变成了 3 维空间(的一部分). 我们说这样的页叫作 图 , 也叫 坐标卡 . 我们之前提到流形局部同胚于(对应维度)欧氏空间的一部分, 这就说明存在一个同胚映射 \phi 把流形上的点 x 一一对应地投到了欧氏空间中的 \phi(x), 同胚便让这两个点等同起来了, 就可以认为 \phi 是坐标区图. 这样我们就可以利用 \phi(x) 的坐标描述 x 了.
那么, 上面的例子中, 就可以认为一张标准的中国地图把地球表面上的中国部分的一个点与一个平坦的 2 维纸面上的点等同起来了, 成了一张标有经纬度的网格——经纬度自然是地图上的坐标系, 它可以对应转换到地球上的坐标系．此即是说，一个图把流形一部分与其同维的欧氏空间之一部分等同起来．
一个 3 维图册就是若干 3 维图的集合, 当然也要指明, 一个图的某部分对应于另一图的哪些部分. 3 维球面有一个图册, 这个图册类似地包含了两个立体的 3 维球体. 在一个球体靠近边缘(球面)的部分的点与另一球体靠近其边缘部分的点之间有一个对应. 我们所需的几何学齐备了: 当你来到某个球体的边缘附近时, 就会发现已经走到了重叠的区域, 而 平滑过渡 地, 同时走到了另一个球体里去. 如果再往前走, 就一个球体而言, 你已经离开了它的地图, 但是第二个球体将你接送了过去.
实际上, 图册本身就属于流形. 我们将流形视作图册, 连带着图每个部分互相对应的规则. 在脱离特殊的情景外, 我们用图和图册去定义流形是最方便的一般途径.
Nash 定理指出, 可以认为所有的流形都是外蕴角度产生的, 即把一个 d 流形视作生活在更高维空间中的 d 维超表面. 但是要注意, 想总是找出一个简单数学来定义这个超曲面不是个容易的事情. 但我们知道我们在描述流形, 是因为内蕴上, 每一点的小邻域看起来都像 Euclid 空间. 也就是说, 无论哪种构造方式, 只有对象「局部同胚于 d 维 Euclid 空间」, 就可以认为构造了一个 d 流形.
微分流形的一个重要性质是可以对定义其上的函数做微积分. 积分要引入微分形式的概念, 下面我们只考虑微分. 设 M 是一个流形, 和一个函数(也叫标量场) f:M\to\mathbf R, 要判断 f 是否在 x\in M 可微, 首先要取 M 的一个包含 x 的图, 并认为 f 是定义在该图上的函数. 因为图是 \mathbf R^d 的一部分, 其中我们本就可以做微分, 所以可微性是 f 具备的. 要使其可微性定义在流形上, 需要指出 f 属于两个重叠的邻域(坐标域)和图(坐标系), 并对两个同时具备的图可微. 交集处在两个图 \phi,\psi 下映射为 \mathbf R^d 的两个(通常)不同的开集, 这两个开集便也就等同起来了, 它们给出了不 同的坐标 ．这个关系就是 转移 (迁移) 函数 , 或者叫 坐标变换 , 比如可以是从 \phi 下的坐标 x 变换到 \psi 中的 \psi(\phi^{-1}(x)). 自然, 迁移函数就是两个图之间的同胚．如果坐标变换是可微的, 那么同时可微性也就有保证了.
上述思想容易从实数值函数推广到 f:M\to\mathbf R^n 上去, 甚至是 f:M\to M' 的映射. 然而, 判断流形上的函数是否可微, 其实比求导要容易. 一个函数 f:\mathbf R^n\to \mathbf R^m 在 x 的导数是线性映射, 定义在流形上的函数也采取类似的方法. 不过注意的是, 该线性映射的定义域不是流形本身, 而是在 x 处的切空间. 随后, 我们能一路构造微分形式及其积分, 不过这些都是后话了.
