这个问题分成两部分:
- 怎么抛? 如何使用这一枚硬币,设计一种抛硬币策略,使其发生概率接近66%?
- 多少人? 在选定策略后,要有多少人一起参与,才能保证有相当高的概率所有人都活下来。
问题一:怎么抛?
考虑一个简单可行的策略:对于每个人, 当n次抛硬币后,有大于x次为正,则按 ;反之不按。
考虑抛均质硬币是一个符合 二项分布 的实验,其为正的概率为p=0.5,其不为正的概率是1-p=0.5。(不考虑硬币立起来的情况哈)
故有,抛n次硬币,恰好有k次其正面朝上的概率为:
那么,抛n次硬币,小于等于x次其正面朝上的累积概率为:
那么我们可以简单地试一下不同的n和x,使得 1-F(x;n,p)\approx0.66 即可。以下给出一些概率比较贴近 0.66 的取值:
n | x | 概率 |
---|---|---|
6 | 2 | 0.65625 |
23 | 10 | 0.66118 |
93 | 44 | 0.66073 |
146 | 70 | 0.66042 |
476 | 233 | 0.66000 |
所以,省事一点的话,我们可以让所有人扔6次硬币,如果超过2次为正面,那就按;如果求精准的话,那就让所有人扔476次硬币,如果超过233次为正面,就按。
什么?扔476次硬币太离谱了?这不是生死存亡之时了吗,偷什么懒啊(狗头
问题二:多少人?
这其实是一个值得研究的问题。
举个例子,如果只有1或者2个人,那不论如何都达不到56%-76%的总人数要求,都得死。
但当人数到达3人时,那么「2个人按,1个人不按」就行了。但即使我们制定了之前的抛硬币策略,这3个人能活下来的概率仍然只有约67.3%。
当然,我们知道这一定是符合大数定律的。只要我们找的人足够多,最后就有越大的概率,接近66%的人数按下了按钮。
那么有趣的问题就是,我们找多少人一起来玩抛硬币、按按钮,能让大家以一个比较高的概率生还呢?
经过一个简单的计算,我们给出以下结果:
最少需要参与的总人数 | 全员生还的概率 |
---|---|
3 | >66.7% |
12 | >75% |
28 | >80% |
48 | >90% |
73 | >95% |
137 | >99% |
228 | >99.9% |
323 | >99.99% |
423 | >99.999% |
所以,保险起见,我们只要找500个人以上来一起按这个按钮就可以啦~
等一下,我就想问问,我们这么多人冒着生命危险来按这个按钮,有什么奖励吗?隔壁被蜗牛追杀还发10个亿呢,你看你这能不能先每人发个500?