題主已經接近正確的方向，只是沒有定義清楚。先手其實是可以在數學上嚴格定義的。
預備知識1：卡片圍棋（Coupon Go）。在常規圍棋的基礎上，棋盤外偏好設定一疊很厚很厚的卡片，標定價值20,19.99,19.98,...,1,0.99,...0.01.
棋手每回合可以放棄落子，轉而選擇一張價值最大的卡片。計算勝負時，一方的總分是盤面目數+卡片目數+貼目。
預備知識2: 如果對局雙方都全知全能，則棋局存在一個在雙方不犯錯情況下的最優目數。同理，對於任意局面S，總是存在一個卡片價值T(S)，使得剩余最高價值卡片為T(S)時，在棋盤上落子與取卡片這兩個選擇一樣好。
定義：溫度。棋盤上某個局部S的溫度，就是上面說的卡片價值T(S).
註意，圍棋手習慣說的某個局部官子價值後手20目，等價於這個局部的溫度是10；
先手。若一步棋令局部的溫度上升，則這步棋是先手；若一步棋令局部的溫度下降，則這步棋是後手。
上述定義大概就是題主腦子裏想的吧。什麽是先手？不嚴格地說，如果下完以後局部有更大的下一手，那麽這步棋就是先手。
註意，圍棋手習慣說的某個局部官子價值「逆先10目」，等價於這個局部的溫度是10.
上述定義可以由局部擴充套件到全域。
