這個問題用高中知識可以解決，只需要利用對稱函數的定義。
一個函數 f 如果關於y軸對稱，那麽 f(x)=f(-x) ，如果關於原點中心對稱，那麽 f(x)=-f(-x) 。如果函數對稱，但不是關於原點中心對稱或者關於y軸對稱，咱們可以重新設定座標原點，或者把函數左右平移和上下平移使得它關於原點中心對稱或者關於y軸對稱，也就是做變換 g(x)=f(x+a)+b ，把 g 帶入上面的兩個定義，整理一下，得到函數 f 關於某一點：
軸對稱則 f(a+x)=f(a-x)
中心對稱則 f(a+x)+f(a-x)=-2b
首先可以看出，最高階項的次數是奇數的多項式只可能中心對稱，是偶數的多項式只可能軸對稱，因為隨著自變量增大，
f(x)=ax^n+bx^{n-1}+\dots\approx ax^n
而 ax^n 當n是奇數時是中心對稱的，當n是偶數是是軸對稱的。
下面咱們來看任意一個三次方程式：
f(x)=x^3+ux^2+vx+w
可以透過對自變量做一個放縮把最高次項的系數變成1，所以我們忽略了最高次項的系數。上面已經解釋了，這個函數只可能是中心對稱，把它帶入中心對稱的定義裏得到：
f(a+x)=(a+x)^3+u(a+x)^2+v(a+x)+w=(a^3+3a^2x+3ax^2+x^3)\\ +u(a^2+2ax+x^2)+v(a+x)+w
f(a-x)=(a-x)^3+u(a-x)^2+v(a-x)+w=(a^3-3a^2x+3ax^2-x^3)\\ +u(a^2-2ax+x^2)+v(a-x)+w
二者相加,，合並同類項，得到：
-2b = f(a+x)+f(a-x)=(2a^3+6ax^2)+u(2a^2+2x^2)+2av+2w\\ =(6a+2u)x^2+(2a^3+2a^2u+2av+2w)(*)
這個式子必須對任意 x 恒為0，它是二次的，但是由於一次項為0，所以只有二次項和0次項非0。有兩個未知數 a 和 b 待確定。令二次項為0，得到 a=-u/3 ，再令 -2b 等於0次項，就恰好符合條件。所以，任意三次方程式是中心對稱的。
一般地，假如 f 是 n=2k+1 次多項式，那麽它只可能中心對稱，展開
f(a+x)+f(a-x) 只有偶次數項，還剩下 k+1 個方程式，而咱們調整的參數只有 a 和 b 兩個，所以當 k>1 時 (*) 沒有恒為0的通解，所以 n=3 就是最高次的恒中心對稱的多項式次數。
假如 f 是 n=2k 次多項式，那麽它只可能軸對稱，展開
f(a+x)-f(a-x) 只有奇次數項，仍然剩下 k 個方程式，而由前面的定義，可以調整的參數只有 a 一個，所以當 k<=1 時有通解，所以 n=2 就是最高次的恒軸對稱的多項式次數。
