如何理解質能方程式 E＝mc²？

更新 ：這篇文章已經被我的第2本書 【 什麽是相對論（狹義篇） 】 （ 長尾科普系列叢書-02 ）收錄，覺得在手機上看不太方便，或者想讓自己和朋友家的中小學生也看看的，不妨看看對應的紙質書籍：

提到 愛因斯坦 ，很多人的第一反應就是 E=mc² 。

沒辦法， 質能方程式 看起來「太簡單」了：左邊的 E 代表 能量 ，右邊的 m 代表 質素 ， c 是光速，都是中學生就能看懂的物理量。而且，這個方程式看起來太神奇了，它告訴我們一般物體都蘊含了巨大的能量，原子彈那毀天滅地的力量就是最好的證明。

又簡單又神奇，不傳播你傳播誰？

但是，很多人容易忘記一件事：質能方程式是 狹義相對論 的結論，需要站在狹義相對論的立場上才能精準地把握它。否則就容易望文生義，再類比、推廣一下，後果就很可怕了。

比如，有人認為 質能方程式 的意思是「質素可以轉化成能量」，或者說「物質可以轉化成能量」。延伸一下，物質代表「有」，能量代表「無」，質能方程式暗示著「有無相生」，接下來歡迎進入 太極物理 頻道……

也有人認為 質能方程式 是在說「質素是能量的一種形式」。延伸一下，我們的物質本質上都是能量，一切都是能量，一切都是虛無，色即是空，接下來歡迎進入 相對論佛學 頻道……

這種誤解以及可怕的延伸，我還可以列很多。要不是建了那麽多社群，見識了各種各樣的人，我真難以想象 質能方程式 會有如此豐富的「內涵和外延」。

不過，想想也不奇怪。畢竟誰都可以談一下 質能方程式 ，談的人多了，想法自然就多了。而且， 質素虧損 這個名字也很容易把大家往歪路上引。

那麽，我們就來好好看一看 質能方程式 ，看看 E=mc² 到底是怎麽回事，看看它是如何從狹義相對論推匯出來的，以及如何正確地對待質能方程式。

01從狹義相對論出發

因為 質能方程式 是狹義相對論的產物，所以，想搞清楚質能方程式就得先搞清楚 狹義相對論 。

什麽是狹義相對論呢？

我在【相對論誕生：愛因斯坦是如何創立狹義相對論的？| 主線】裏詳細描述了狹義相對論的誕生過程，看完文章的朋友肯定都知道： 狹義相對論的核心是勞侖茲協變性 。

它跟 牛頓力學 的核心區別是：狹義相對論的物理定律在 勞侖茲變換 下保持數學形式不變，而牛頓力學的物理定律在 伽利略變換 下保持數學形式不變。至於尺縮、鐘慢、雙生子之類的效應，都是狹義相對論的一些簡單結論。

質能方程式E=mc² 也是這樣。

也就是說， 只要我們認為物理定律應該在勞侖茲變換下保持數學形式不變（狹義相對論精神），我們就能推出質能方程式E=mc²，而不需要其它的假設和限制 。

因此，只要 狹義相對論 成立， 質能方程式 就成立，它的適用範圍是極廣的。有些朋友認為質能方程式只在 核反應 裏才有效，這顯然不對，因為狹義相對論並不是只在核反應裏才有效。

那狹義相對論在哪些地方成立呢？是不是像有些人認為的，狹義相對論只在 高速（近光速） 情況下成立，在低速情況下就必須使用 牛頓力學 ？

不不不，也不是這樣的邏輯。

狹義相對論 跟 牛頓力學 並不是 互補 的關系。牛頓力學只在低速時適用沒錯，但狹義相對論不僅在高速時適用，在低速時也同樣適用。而且， 在低速時它的精度比牛頓力學還要高 。

也就是說，狹義相對論不管在 低速、高速 時都成立，牛頓力學只是狹義相對論在 低速 情況下一個還算不錯的 近似 。既然狹義相對論的適用範圍那麽廣， 質能方程式 的適用範圍自然也很廣，而不是只局限在 核反應 裏。

但是， 愛因斯坦 並不需要知道核反應裏 質素 和 能量 的關系， 他直接從狹義相對論的基本原理出發，就無可辯駁地得到了E=mc² 。這是最讓人震驚的地方，也是理性的巨大勝利。

接下來，我們就來看一看，看看為什麽只要堅持 狹義相對論 的基本原理，只要堅持物理定律在 勞侖茲變換 下保持數學形式不變（勞侖茲協變性），我們就能得到 質能方程式E=mc² 。

02動量守恒定律

再來看看 E=mc² ，公式的左邊出現了 能量E ，看到能量我們就會想起 能量守恒定律 。既然是 定律 ，那我們就要問了：你可不可以在 勞侖茲變換 下保持數學形式不變啊？如果可以，那就歡迎進入 狹義相對論 的世界；如果不行，那就從哪來回哪去，一邊玩去。

不過，考慮到 能量 的種類太多太雜，我們先來看看更簡單的 動量守恒定律 。

在 牛頓力學 裏， 動量 的定義是 mv （質素乘以速度），在不受外力或淨外力為0時，兩物體碰撞時動量守恒。

比如，兩個 質素 都為 m 的小球以相等的 速度v 迎面撞上，碰撞後兩個小球黏在了一起。如果以某個小球的運動方向為正（假設為向右），那這個小球的動量就是 mv ，另一個小球的動量就是 -mv ， 碰撞前 動量之和就是 mv+(-mv)=0 。

根據動量守恒定律， 碰撞後 小球的總動量也應該為 0 。而碰撞後它們又黏在了一起，變成了一個質素為 2m 的大球，所以碰撞後的 速度 就必然為 0 （不然總動量就不為0了）。

兩個質素相等、速度相反的小球迎面相撞，碰撞後兩個小球黏在一起並保持靜止。這個事情很容易理解，不管是用牛頓力學的動量守恒定律來計算，還是根據常識來判斷都沒錯。

但是，我們關註的並不是碰撞本身，而是： 動量守恒定律是定律麽 ？

這個問題好像很奇怪， 動量守恒定律 當然是定律了，不然這名字是瞎叫的麽？

但是，我希望來到這裏的讀者，對 定律 要有更深層的理解。前面說了， 狹義相對論 和 牛頓力學 的核心區別，就是前者的物理定律在 勞侖茲變換 下保持數學形式不變，後者的物理定律在 伽利略變換 下保持數學形式不變。

那麽，當你把 動量 定義為 mv ，當你在說 動量守恒定律 的時候，這個定律是在勞侖茲變換下保持數學形式不變呢，還是在伽利略變換下保持數學形式不變？如果是前者，那這條動量守恒定律就是 狹義相對論 下的定律；如果是後者，它就是 牛頓力學 下的定律。

當然，我們很清楚，把動量定義為 mv 是 牛頓力學 裏的做法。所以，這樣的動量守恒定律必然是牛頓力學下的定律，它必然能在 伽利略變換 下保持數學形式不變。

下面我們來簡單地驗證一下。

03伽利略變換

要驗證 動量守恒定律 是否可以在 伽利略變換 下保持數學形式不變，我們就要先搞清楚什麽是 伽利略變換 ？搞清楚當我們在說一個定律在伽利略變換下保持數學形式不變時，我們到底在說什麽？

其實， 伽利略變換 也好， 勞侖茲變換 也罷，都是聯系兩個參考系的東西。變換嘛，就是把一個參考系的物理量變到另一個參考系裏去。

比如，我在300km/h的高鐵上，覺得前面的椅子速度為0，列車員正以5km/h的速度往車頭走，這是 高鐵系 的測量結果。

那麽，如果我站在地面， 地面系 測量椅子和列車員的速度又會是多少呢？有同學立馬會說：「我知道，從地面上看，高鐵上椅子的速度是300km/h，列車員的速度是300+5=305km/h。"

如果我問他這樣算的依據是什麽，他會覺得這還要什麽依據，這不是天經地義的事情麽？當然要有依據，物理學是一門非常嚴密的科學，做什麽都要有理有據。

我們現在討論的是同一個東西（椅子、列車員）在 不同參考系 裏的速度，這就涉及 兩個參考系之間的變換 ，是一件很嚴肅的事情。如何把這兩個參考系裏的物理量聯系起來？答案就是前面說的 伽利略變換 、 勞侖茲變換 。

在 牛頓力學 裏，我們用 伽利略變換 聯系兩個慣性系，那伽利略變換到底長啥樣呢？

假設我們在 地面系S 建立了一個座標系 （x,y,z,t） ，現在有一輛火車以 速度v 沿x軸正方向勻速運動。我們在 火車系S’ 裏也建一個座標系 （x’,y’,z’,t’） ，為了簡化問題，我們讓這兩個 座標系 一開始是 重合 的。

座標系建好後，空間中發生了任何事件，地面系和火車系都會記錄下這個事件的 時空資訊 （ x,y,z 記錄空間資訊， t 記錄時間資訊）。我們想知道的就是： 地面系和火車系記錄的時空資訊之間有什麽聯系 ？

不同的變換會給出不同的答案， 伽利略變換 的答案是：

我們知道， 牛頓力學 裏的時間是 絕對的 ，所有參考系的時間都一樣，所以 伽利略變換 裏有 t'=t 。因為t‘代表火車系的時間，t代表地面系的時間， t' = t 不就是說大家的時間都相等， 時間 是絕對的麽？

再看 空間 ，因為火車只沿x軸正方向移動，所以 火車系 和 地面系 在y軸和z軸的座標都一樣，x座標的關系 x'=x-vt 也不難理解，琢磨一下就明白了。

有了 座標 和 時間 的關系，我們很容易就能求出火車系的 速度u' 和地面系的 速度u 之間的關系： u‘=u-v 。這個就不推了，不清楚的可以看看【相對論前夜：牛頓和麥克斯韋的戰爭】，裏面有更加詳細的推導。

伽利略變換的 速度 關系是 u‘=u-v ，這就意味著： 火車系測量的速度等於地面系測量的速度減去火車相對地面的速度 。

比如，在速度v=300km/h的高鐵上，如果 高鐵系 測量列車員的速度u'=5km/h， 地面系 測量列車員的速度u就應該滿足：5=u-300，u確實等於5+300=305km/h，跟我們的直覺一樣。

但是，我們要清楚地認識到： 這些推理都是建立在伽利略變換的基礎上的 。

因為我們采用了 伽利略變換 ，所以兩個慣性系之間的速度才可以這樣疊加。火車系測量的速度是5km/h，地面系的結果是300+5=305km/h，這不是什麽天經地義的事情，而是 伽利略變換 的結果。

04牛頓力學的定律

有了這個認識，我們再思考一下： 當我們說動量守恒定律是牛頓力學裏的定律時，我們到底在說什麽？

在 牛頓力學 裏，動量的定義是 質素 乘以 速度 ，也就是 mv 。我想看 動量守恒定律 是不是定律，就是要看在一個慣性系（比如火車系）裏成立的動量守恒定律，用 伽利略變換 把它變到另一個參考系以後，它是否依然成立。

因為 質素 是一個不變量，不管在哪裏都不變。所以，不同慣性系之間動量的差別就體現在 速度v 上了。

還是以小球的碰撞為例，假設兩個質素都為 m 的小球以速度 v 迎面相撞，碰撞後兩個小球黏在一起並保持靜止。取向右的方向為正，從 地面系 看，碰撞前兩個小球的動量分別為 mv 和 -mv ，碰撞前總動量為 0 。碰撞後，兩個小球黏在一起並保持靜止，所以碰撞後的動量 2m×0=0 ，也是 0 。

因為碰撞前的總動量等於碰撞後的總動量（都是0），所以， 地面系 確實認為存在 動量守恒定律 。

但是， 我們看動量守恒定律是不是牛頓力學下的定律，並不是只看這個定律在地面系是否成立，還要看用伽利略變換把它變到另一個慣性系之後，它是否依然成立 。

因此，我們要換一個參考系，看看新參考系裏的碰撞過程是否依然滿足 動量守恒定律 。為了計算方便，我們就把新參考系選在 從左往右運動的小球 身上，也就是站在 速度為v 的小球上再來看這個問題。

在 地面系 ，兩個小球碰撞前的速度分別為v和-v，碰撞後兩個小球黏在一起，速度為0。那麽，在 新參考系 裏，碰撞前後小球的速度又分別是多少呢？

在牛頓力學裏，我們使用 伽利略變換 的速度疊加公式 u‘=u-v 聯系兩個慣性系之間的速度。也就是說，在原參考系裏速度為 u 的物體，在新參考系裏速度就是 u‘=u-v 。

因此，對於碰撞前速度為v的小球，在新參考裏速度為 v-v=0 ；碰撞前速度為-v的小球，在新參考系裏速度為 -v-v=-2v ；碰撞後速度為0的小球，在新參考系裏的速度為 0-v=-v 。

也就是說，同樣的碰撞， 新參考系 看到的是：兩個質素為m的小球，一個速度為 0 （以它為參考系，速度當然為0），一個速度為 -2v （對面的小球），它們碰撞之後黏在一起，變成了質素為2m，速度為 -v 的大球。

那麽，在新參考系裏 動量守恒定律 還成立麽？我們再來驗算一下：碰撞前兩個小球的動量分別為 m×0=0 和 m×（-2v）=-2mv ，碰撞後黏在一起的大球的動量為 2m×（-v）=-2mv 。

看到沒有，新參考系裏碰撞前後的動量都是 -2mv ，依然相等。所以， 在新參考系裏動量守恒定律依然成立 。

當然，這裏我們只驗證了 一個 新參考系。但是，你完全可以根據伽利略變換的速度疊加公式，證明只要把 動量 定義為 mv ，動量守恒定律在 一般情況下 都成立。

這樣，我們才敢理直氣壯地說： 如果把動量定義為mv，動量守恒定律的確是牛頓力學裏的定律。因為你用伽利略變換把動量守恒定律變到任何慣性系，它都成立 。

那麽，到了 狹義相對論 裏呢？

05勞侖茲變換

在狹義相對論裏，聯系兩個慣性系的不再是 伽利略變換 ，而是全新的 勞侖茲變換：

變換的細節我們先不細究，不過你可以看到：在 勞侖茲變換 裏，火車系的時間 t' 和地面系的時間 t 不再一樣（ t' ≠ t ），它們之間有個巨復雜的關系。

也就是說，在狹義相對論裏，時間不再是 絕對的 ，不同慣性系的時間並不一樣，每個慣性系都有自己的時間。

再看看 火車系 和 地面系 的x座標之間的關系，也是一個非常復雜的式子。所以，不難想象，從 勞侖茲變換 推出的 速度疊加公式 肯定就沒有伽利略變換的那麽簡單。

中間的推導過程我就省了， 勞侖茲變換 下的 速度疊加公式 是這樣的：

怎麽樣，比伽利略變換下的 u'=u-v 復雜多了吧？

但是，仔細觀察一下就會發現，如果v 遠小於光速c ，分母的v/c²就約等於0，分母就變成了1，於是這個 速度疊加公式 就回到了 伽利略變換 下的 u'=u-v 。因為牛頓力學是狹義相對論的低速近似，所以伽利略變換自然也是勞侖茲變換的低速近似。

在 牛頓力學 裏，我們使用 伽利略變換 匯出的速度疊加公式，所以可以用300+5=305km/h表示地面系測量的列車員速度。但是，我們在 狹義相對論 裏使用的是 勞侖茲變換 匯出的新速度疊加公式，那結果肯定就不再是305km/h了。

也就是說，如果火車系測量列車員的速度為5km/h，我問地面系的結果是多少？ 牛頓力學 給出的結果是305km/h，這是用伽利略變換算出來的； 狹義相對論 認為這個結果不等於305km/h（當然也極為接近這個數碼），因為它是用勞侖茲變換算出來的。

如果你問誰算得更準確，那當然是 狹義相對論 的結果更準確，但 牛頓力學 的結果也跟它極為接近。因為火車的 速度v 和列車員的 速度u 都太小了（相對 光速c ），所以 勞侖茲變換 的速度疊加公式的分母 1-vu/c² 基本上 等於1 ，於是基本上就等於伽利略變換的結果。

但是，如果火車的速度 接近光速 ，分母 1-vu/c² 就會遠 小於1 ，那得到的結果就跟伽利略變換完全不一樣了，所以牛頓力學就不能用了。

透過這個例子，相信大家對 伽利略變換 和 勞侖茲變換 都有了一定的了解，也明白不同變換下的 速度疊加公式 是不一樣的。具體的計算過程可以不用搞得太清楚（親自推一遍當然更好），但道理一定要明白。

06狹義相對論的定律

知道了勞侖茲變換，我們再來看這個問題： 在狹義相對論裏，動量守恒定律還是定律嗎 ？

當我們在說這句話的時候，我們的意思是： 如果把動量仍然定義為mv，那動量守恒定律在勞侖茲變換下還能保持數學形式不變麽？如果動量守恒定律在一個慣性系裏成立，我用勞侖茲變換把它變到另一個慣性系以後，它還成立嗎 ？

具體的計算我就不做了，稍微想一下就知道答案肯定是 否定的 。

因為我們已經證明了：如果把動量定義為 mv ，動量守恒定律在 伽利略變換 下是可以保持數學形式不變的，這樣 動量守恒定律 才步入了 牛頓力學 的殿堂。

然而，現在動量的定義（ mv ）沒變，聯系兩個慣性系之間的變換卻從 伽利略變換 變成了 勞侖茲變換 。既然伽利略變換能讓動量守恒定律保持數學形式不變，那換了變換以後肯定就不一樣了啊。

也就是說， 如果我們依然把動量定義為mv，在勞侖茲變換下，新參考系的動量守恒定律必然不再成立 。

要驗算也很簡單， 勞侖茲變換 下的 速度疊加公式 是這樣的：

還是剛才的小球碰撞問題，我們可以用同樣的方法把新舊慣性系碰撞前後的速度都算出來，再看看動量是否相等。

誰算誰知道，答案必然 不相等 。

於是，我們就面臨一個非常棘手的問題： 如果我們在狹義相對論裏依然把動量定義為mv，那麽，經過勞侖茲變換以後，新參考系裏的動量守恒定律就不再成立。如果動量守恒定律無法在勞侖茲變換下保持數學形式不變，那它就沒有資格成為狹義相對論裏的定律 。

也就是說， 如果我們繼續沿用牛頓力學的動量定義（mv），那狹義相對論裏動量守恒定律就不再成立 。

怎麽辦？

解決方案也很明顯：要麽，我們放棄動量守恒定律，認為 狹義相對論裏動量守恒定律不再成立 ；要麽，我們修改一下動量的定義，讓新定義下的動量守恒定律在 勞侖茲變換 下依然可以保持數學形式不變，從而保住它在 狹義相對論 裏的定律地位。

很顯然，閉著眼睛我們都知道要選 後者 。

動量守恒定律 這麽重要的東西，你說放棄就放棄了？為了堅持動量的定義（mv）而放棄動量守恒定律，這種行為太愚蠢了。如果動量守恒定律不再成立，我要動量有何用？

07新的動量

所以，為了保住 狹義相對論 裏的 動量守恒定律 ，我們需要重新定義 動量 。重新定義的目的，就是讓新的動量守恒定律具有 勞侖茲協變性 ，讓它在狹義相對論裏能繼續以定律自居。

那麽，我們要把 新動量 定義成啥樣，才能讓它具有勞侖茲協變性呢？這個倒不難，因為 勞侖茲變換 是明確給出了的，我們只要湊出一個新動量，讓 動量守恒定律 在勞侖茲變換下依然可以保持數學形式不變，而且在速度遠小於光速時能夠回到 牛頓力學 的定義就行了。

這個過程我略了，感興趣的自己去試一下。最後，為了保住 狹義相對論 裏的動量守恒定律，我們必須把 動量 定義成這樣：

可以看到，當v遠小於光速c時，分母就會變成1，此時的動量就回到了 牛頓力學 的定義 mv 。而且，你試一試，這樣定義動量，確實可以讓 動量守恒定律 在 勞侖茲變換 下保持數學形式不變，皆大歡喜。

到這裏，我們就完成了從 牛頓力學 到 相對論力學 升級的第一步。為了讓動量守恒定律具有 勞侖茲協變性 ，我們修改了 動量 的定義。

但是，力學量又不止動量一個，物理定律也不止動量守恒定律一個。你考慮了 動量守恒定律 ，那 能量守恒定律 要不要考慮？你改了 動量 的定義，那 動能 的定義要不要改？

改，當然要改，一個個排隊慢慢來！

為了讓 動能 不跟 新的動量 發生矛盾，為了讓 能量守恒定律 也能順利入駐狹義相對論，我們需要同步修改 動能 的定義。

而接下來，就是見證奇跡的時刻： 一旦開始修改動能的定義，你會發現質能方程式E=mc²竟然神奇地冒出來了 。

08新的動能

狹義相對論 裏的動能要怎麽改呢？當然是照著 牛頓力學 慢慢改。

在牛頓力學裏，動能的定義是 mv²/2 。一個質素為m的木塊靜止在地面，它的動能為0，我用一個恒力F推這個木塊，木塊移動了距離S，速度均勻加速到了v。

我在【什麽是高中物理？】的第25節跟大家算過：一個物體在 恒力F 的作用下會以一定的加速度做 勻加速運動 。根據牛頓第二定律，這個力F和物體的質素m以及加速度a之間的關系是： F=ma 。而一個物體以加速度a從0加速到v，運動的 距離S 可以表示成： S=v²/2a 。

如果我們算一下 力F 在空間上的累積（也就是力F做的功） F·S ，會發現它剛好就等於物體增加的動能 mv²/2 ：

也就是說， 淨外力對物體做的功等於動能的改變量 ，這就是中學的 動能定理 。也因如此，我們在牛頓力學裏可以用 淨外力F 和 位移S 的乘積 F·S 來表示動能增加的大小，如果物體一開始動能為 0 ，那 F·S 就是物體最終的動能。

那麽， 牛頓力學 裏這個關於 動能 的計算方式可不可以搬到 狹義相對論 裏來呢？

大抵還是可以的，畢竟狹義相對論在低速情況下還要回到牛頓力學，所以許多東西都會保持一定的一致性。比如，狹義相對論裏的 動量 雖然不再是 mv ，但是基本形式上還是 質素m 乘以 速度v ，只不過加了一個相對論特有的系數。

因此，我們在 狹義相對論 裏就暫時用 F·S 計算動能好了。 位移S 好說，但問題是： 這個力F要如何表示 ？

在 牛頓力學 裏， 力F 的常見表示有兩種：一種是根據 牛頓第二定律F=ma 來算；另一種是對F=ma做一個微小的變形，把加速度a按照定義表示成Δv/Δt，然後把m和Δv組合成 動量的改變量 Δp（p=mv），然後 F=ma=mΔv/Δt=Δp/Δt 。

也就是說，對於 力F ，我們既可以把它表示成質素m和加速度a的乘積，也可以把它表示成單位時間內動量的變化量，也就是 動量的變化率Δp/Δt 。然而，狹義相對論裏的 新動量 我們已經找到了，那就直接用動量的變化率 Δp/Δt 表示 F ，再用 F·S 計算物體的 動能 吧，省時省力。

然後，我們要意識到一件事：前面我們都假設力F是 恒力 ，認為物體在做 勻加速運動 ，這是一種 特例 。

我們要計算物體的 動能 ，要推導 質能方程式 ，當然不希望它只在這種特殊情況下才成立。所以，我們要考慮 更一般 的情況： 如果力F和位移S都在變，我們應該如何計算它們的乘積 ？

地球的表面是彎的，但在小範圍內我們可以認為它是平的。同理，在足夠小的範圍內，我一樣可以認為 力F 和 位移S 的大小不變。如果用 ds 表示這個微小的位移變化，用 F·ds 表示力F在這個微小位移裏做的功，那麽，把 0 到 S 所有的功累加起來就能得到 總動能E 。

寫成數學運算式就是這樣：

很顯然，為了保證結果的 一般性 ，我們這裏動用了 微積分 。這個具體的計算過程我不想多講，因為但凡學了微積分，會分部積分的同學都知道怎麽算。如果你不會微積分，這個計算過程我也沒法在這裏給你科普，我只能建議你先看看我的【你也能懂的微積分】，再找本微積分教材看看。

更為重要的是： 這個計算過程並不會影響你對質能方程式的理解 。

因為這只是一個純數學計算手段。人們之所以誤解質能方程式， 並不是因為不知道這個公式的形式是E=mc²，而是無法理解這個方程式背後的物理意義和物理背景 。

如果你跟著我的思路來到這裏，知道為了讓 動量守恒定律 滿足 勞侖茲協變性 ，我們不得不重新定義了 動量 ，進而需要重新定義 動能 。你就會知道質能方程式到底是怎麽來的，就算看不懂中間的計算過程，也不會影響你對 質能方程式 的理解。

這裏，我就放一張 新動能 的推導圖片，你能看懂就看，看不懂也沒事。當然，如果你暫時看不懂，但是為了能看懂而去學習微積分，那自然是極好的。這裏也沒多少 微積分 的知識，關鍵就是一個 分部積分 。計算思路也非常簡單，就是用狹義相對論裏 新動量的變化率 代替 力F ：

我把結果放到倒數第二步：

也就是說，一個物體的 動能E 在 狹義相對論 裏可以表示成這樣：括弧外面是 mc² ，括弧裏面是 相對論因子 減去1。

我們把中間那一大串東西稱為 相對論因子 （也叫 勞侖茲因子 ），因為相對論裏經常會用到它，所以我們就用一個特殊符號 γ 來表示這個 相對論因子 ：

這樣，你再看看狹義相對論裏的 新動量 ，是不是就相當於在牛頓力學的動量 mv 上乘了一個 相對論因子γ ？也就是說，狹義相對論裏的新動量可以簡寫成 p=γmv 。

同樣，上面的 動能運算式 一樣可以透過 相對論因子γ 簡寫為：

在這個式子裏， m 依然是我們熟知的 質素 ，是一個 不隨速度和參考系變化而變化的物理量 。而這個 E ，就是因為有力F作用在物體身上，物體因為運動而具有的 動能 。

這個動能的形式很有意思。

在 牛頓力學 裏，動能的運算式是 mv²/2 ，只有 一項 ；到了 狹義相對論 ，動能的運算式竟然有 兩項 。而且，後一項 mc² 竟然跟物體的 速度v 沒有關系，只跟物體的 質素m 有關，只有前一項 γmc² 才會隨著速度的增大而增大（因為 γ 會隨著速度的變大而變大）。

這有點拔出蘿蔔帶出泥的味道，原本我們只是在正正經經地計算 狹義相對論 的 新動能 。現在你倒好，你算出的新動能裏竟然還有一項跟 速度無關 的 mc² ，單位還跟能量一樣。

仔細看看這個 新動能 ，如果物體的 速度v 為 0 ， 相對論因子γ 就等於1，那 動能 就變成了 E=mc²-mc²=0 。靜止物體的動能為0，很符合我們對動能的認知。

如果物體的速度開始增大， 相對論因子γ 就開始大於1，第一項 γmc² 就在增大，它跟 mc² 的差值也會不斷增大，結果就是 動能 不斷增大。

這給人的感覺，就好像是物體 靜止 時具有 mc² 的能量，當物體開始運動時，我們用 γmc² 減去物體靜止時具有的能量 mc² 就得到了物體的 動能 。所以， 愛因斯坦 面對這個式子時，創造性地把 mc² 解釋為 質素為m的物體靜止時具有的能量 ，簡稱 靜能 。

如果我們把 mc² 解釋為物體的 靜能 ，而 E 是物體的 動能 ，那靜能+動能自然就是物體具有的總能量。於是， γmc²就成了物體具有的總能量 （動能+靜能）。

這樣解釋的話，是不是一切都合情合理了呢？

09質能方程式

復盤整個過程，我們到底做了什麽？

我們只是堅持 狹義相對論 的基本原理，認為物理定律在勞侖茲變換下應該保持數學形式不變，也就是認為物理定律應該具有 勞侖茲協變性 。

然後，為了讓 動量守恒定律 具有勞侖茲協變性，我們修改了 動量 的定義。 動量 修改了以後， 動能 自然也得跟著改。然而，令誰也沒有想到的是： 當我們把這種符合狹義相對論精神的新動能（E=γmc²-mc²）計算出來以後，發現它竟然帶了一個尾巴mc²。

接著， 愛因斯坦 認為 mc² 應該是物體靜止時具有的能量，也就是 靜能 ， γmc² 是物體的靜能和動能之和，也就是物體的 總能量 。

整個過程，我們唯一引入的就是 狹義相對論 的基本原理，也就是認為 物理定律應該具有勞侖茲協變性 ，然後就發現狹義相對論的新動能把 靜能mc² 帶出來了，這太意外了！

於是，我們就從 狹義相對論 裏自然而然地推出了 質能方程式 ： E=mc² 。

不知道 愛因斯坦 看到這個結論後是什麽反應，這只是牛頓力學向相對論力學升級過程中的一個小步驟，結果卻發現 能量 和 質素 之間竟然有 E=mc² 這樣一種神奇的關系。

這個結論看起來是如此的不可思議，因為 真空光速c 是一個非常大的數碼（3×10^8m/s），平方一下就更大了。根據質能方程式，一個半斤重的蘋果蘊含的能量將高達525萬噸TNT當量，大致相當於350顆廣島原子彈爆炸釋放的能量，這太誇張了。

但是， E=mc² 又是直接從 狹義相對論 的基本原理 直接 推出來的，如果質能方程式錯了，那就是狹義相對論錯了。而愛因斯坦對狹義相對論的信心是極強的，所以，他在寫完【論動體的電動力學】的三個月後，就完成了 質能方程式 的論文。

10回到牛頓

習慣了將 動能 視為 mv²/2 的人可能不太習慣 E=γmc²-mc² 這種新動能運算式。但是，因為 牛頓力學 是 狹義相對論 的低速近似，所以它在低速條件下依然可以回到大家熟悉的 mv²/2 ，不信我們來試一試。

把 相對論因子γ 進行 泰勒展開 ，就得到了這樣的結果：

泰勒展開 就是看你想近似到什麽程度，你不是說 牛頓力學 是 相對論力學 的低速近似麽？那相對論力學要低速近似到什麽程度才會變成牛頓力學呢？泰勒展開會告訴我們答案。

如上圖，我們對一張真實照片進行了「泰勒展開」。 一階近似 下就是隨便描了一個輪廓，我們可能看了個寂寞； 二階近似 下可以看清楚一些細節，圖片變清楚了一些； 三階近似 下，細節就更清楚了，更接近原圖……

只要你開心，你可以無限階近似下去，近似的階數越高，圖片就越接近原始圖片。同理，我們對 相對論因子γ 進行 泰勒展開 ，它就被分成了無窮多項的疊加，你可以按照自己的需求采取相應的近似水平。

我們說 牛頓力學 是 相對論力學 的低速近似，這個低速是相對於光速而言的。當 速度v 遠小於 光速c 時， v/c 就是一項很小的項， （v/c)² 以及更高次項就是更小的項了，可以選擇性忽略。

那麽，如果我們只取 前兩項 ，也就是取 γ=1+（v/c)²/2 ，再把 γ 代入狹義相對論的 新動能 ： E=γmc²-mc²=mc²（γ-1）=mv²/2 。不多不少，剛好就回到了 牛頓力學 的 mv²/2 。

也就是說， 牛頓力學的動能只是狹義相對論動能的一個二階近似 。

因為 mv²/2 只是一個近似值，所以它必然會遺失一些資訊。只是，萬萬沒想到，它遺失的資訊裏居然包含了 物體靜止時具有的能量mc² 。一旦我們透過更加精確的狹義相對論把這個遺失的資訊找了回來，就會發現任何質素為 m 的物體都含有 mc² 如此巨大的能量。

其實，靜止的物體具有能量一點也不奇怪。

一堆火藥放在那裏，你肯定知道它有能量，甚至能算出這堆火藥爆炸時會釋放出多少能量。與此同時，你也知道火藥爆炸釋放的只是 部份化學能 ，並不是它的全部能量。現在，我們第一次有辦法把它的 全部能量 算出來了，途徑就是 質能方程式E=mc² 。

質能方程式 把質素和能量聯系起來了。那麽，在這種新視角下，我們應該如何看待 質素 和 能量 的關系呢？

11質素與能量

再次回到 狹義相對論 的 動能 運算式：

回想一下， 愛因斯坦 是如何解釋這個式子的？愛因斯坦想：既然 E 是物體的 動能 ，那麽 γmc² 就是物體的 總能量 ， mc² 是物體 靜止時具有的能量， 簡稱 靜能 。

註意，我們是先得到了 動能E ，是 先有能量 ，先有總能量 γmc² 和靜能 mc² ，然後再考慮如何衡量能量的大小。因為c是 常數 ，所以就只能用 質素m 來衡量 靜能 的大小，這個次序不能亂。

於是乎， 質素就成了能量的量度 。

因此，如果物體吸收了一點能量，它 靜止時 的能量增加了，質素也會增加；如果物體釋放了一點能量，它 靜止時 的能量減少了，質素也會減小。

所以，把 質能方程式 寫成 m=E/c² 反而更容易理解它的含義（愛因斯坦一開始就是這麽寫的）： 你想知道一個物體的質素是多少嗎？那就用它靜止時的能量除以c²吧，於是我們才說質素是能量的量度 。

一個物體 靜止時 的能量是多種多樣的，可以有內能、化學能、核能以及各種勢能。但是我不關心種類，你把它們都加起來，除以c²就能得到物體的 質素m 。

為什麽我要如此小心翼翼地描述這一段呢？因為只有極少數人在看到 質能方程式E=mc² 後會認為它是在說「質素是能量的量度」，許多人的第一反應是： 質能方程式意味著「質素可以轉化成能量」。核反應裏出現了質素虧損，就是一塊「實實在在」的物質遺失了一塊質素，然後它們轉化成了「虛無縹緲」的能量 。

這是一種非常常見，但危害極大的 誤解 。順著這種誤解，稍微發散一下就能搞出太極相對論、佛學相對論之類的東西。你以為原子彈釋放了能量，是因為原子彈爆炸時遺失了一塊東西，然後這部份質素轉化成了能量？

不不不，原子彈爆炸釋放能量的過程，跟一般的火藥爆炸沒什麽不同，只不過前者釋放的能量 比較多 ，後者釋放的能量 比較少 而已。原子彈爆炸釋放了能量，所以度量原子彈能量的質素會減少；火藥爆炸釋放了能量，所以度量火藥能量的質素也會減少。

這就是一個普通的 能量轉化 過程，體系的一部份能量（原子彈的核能，火藥的化學能等）透過爆炸轉化成了 動能 和其它能量。於是，原子彈和火藥的 能量E 減少了，度量這個能量的 質素m 也相應減少了，並且遵守 E=mc² ，僅此而已。

這也是我比較討厭「 質素虧損 」這個詞的原因，它太容易讓人誤解了，太容易讓人誤以為 質素 只在核反應中才會減少，讓人誤以為核反應就是「質素轉化成了能量」。

沒有什麽 質素轉化成了能量 ，只有 質素是能量的量度，質素就是度量一個物體靜止時具有多少能量的 。

我知道，不管我在這裏說什麽，你都難以接受為什麽我們不能說「 質素轉化成了能量 」，你不認為這樣有什麽不妥，甚至覺得它理所當然。而且，就算我讓你強行記住這個結論，你後面還是會忘的，畢竟大家都習慣用自己習慣的方式思考。

所以，我們就來深入地扒一扒，看看你在說「 質素轉化成能量 」時，你到底在說什麽？看看為什麽很多人會這樣想，以及最重要的： 為什麽質能方程式E=mc²不能這麽理解？

12牛頓的質素

在牛頓時代，大家認為 宇宙萬物都是由微小的實物粒子（原子）組成 ，認為宇宙就是 一堆粒子的集合 ，各種物理現象只是粒子間的排列組合和運動變化，而粒子的運動規律則由 牛頓力學 給出。

在這樣的語境下，人們認為 組成物質的基本微粒是不可摧毀的 ，自然界的各種變化只是它們的排列組合，並不會摧毀粒子本身。到了18世紀，化學家們在一定精度內發現 化學反應前後物質的總質素不變 ，也就是大名鼎鼎的 質素守恒定律 ，這就更加佐證了這種觀點。

因為 化學反應 只是原子間的排列組合，如果原子的 種類 和 數目 都沒變，那原子的總質素就不變， 質素 自然就 守恒 了。

一旦我們認為「一個物體的質素等於組成這個物體的所有微粒質素之和」， 質素 基本上就被當成了 物質的代名詞 。因為，你潛意識裏會覺得： 只要是物質，肯定就由一些實物微粒組成，它的質素自然就等於所有微粒的質素之和 。

那 能量 呢，能量在這種語境下又扮演了什麽角色？

還是看 化學反應 ，我們認為化學反應就是原子間的排列組合。比如 木炭燃燒 ，在化學家眼裏就是木炭裏的碳原子和空氣中的氧原子重新組成了二氧化碳分子，這個過程釋放了 能量 ，但燃燒前後原子的種類和數量都沒變，所以 質素 不變。

也就是說，化學家認為雖然木炭燃燒釋放了 能量 ，但它們的 質素 不會變。在這種語境下， 質素 和 能量 明顯是 不同的 東西： 質素 是組成物質的所有原子質素之和， 能量 不過是原子在重組過程中釋放出來的副產品。

正因為 牛頓 語境下的質素和能量是如此的不同，我們在第一次看到 質能方程式E=mc² ，第一次聽說在核反應裏會發生違反 質素守恒定律 的「質素虧損」時，才會認為這是「 質素轉化成了能量 」，是組成物質的實物粒子實實在在地被摧毀了（ 質素 減小），然後神奇地轉化成了 能量 。

但問題是， 質能方程式E=mc² 並不是 牛頓力學 的東西，而是 狹義相對論 的天之驕子啊。

相對論 和 量子力學 是20世紀物理學的兩大革命，它們顛覆了牛頓力學的許多觀念。物質不能再簡單地看作一堆實物粒子的集合，質素不再是組成物體粒子的質素之和，化學家發現的 質素守恒定律 也不再成立……

總之就是，時代變了，世界變了，一切都變了，原來的「 質素轉化成能量 」自然也得跟著變。所以，如果我們想搞清楚為什麽不能再那樣思考，就得先搞清楚 牛頓的觀念是如何被打破的？

13電磁場的挑戰

狹義相對論 是愛因斯坦在協調 電磁理論 和 牛頓力學 的過程中建立起來的，所以它的論文就叫【論動體的電動力學】（公眾號後台回復「狹義相對論論文」獲取原論文）。

我們也知道，在19世紀建立電磁大廈的過程中，有兩個人的作用至關重要，他們是 法拉第 和 麥克斯韋 。

法拉第 創造性地提出了「 場 」，用 電磁場 來描述電磁現象。 麥克斯韋 則用優美的數學語言把法拉第的思想表現了出來，得到了能夠描述一切經典電磁現象的 麥克斯韋方程式組 。

這些歷史大家都很熟悉，但是很多人沒有註意到： 法拉第提出的電磁場，其實是一個超出牛頓物理圖景的概念 。

什麽意思？在 牛頓 的觀念裏，物質是由基本微粒組成的，那 電磁場 是由什麽微粒組成的呢？很顯然，電磁場並不由什麽微粒組成，這 看起來 就跟牛頓的物質觀發生了沖突。

於是，有些人就主張電磁場只是描述物質的一種 數學手段 ，不具有 物理上的意義 ，也就是不認為電磁場是 真實的物質 ，這樣牛頓的物質觀就不用對它負責了。但是，很快人們就發現不能這麽幹，因為電磁場具有 能量 。

為什麽電磁場具有能量呢？

舉個例子，我從北京向武漢發射一束電磁波，因為電磁波的速度有限（光速），它從北京到武漢需要一段時間。那麽，當電磁波離開了北京，卻又還沒到武漢時，能量去哪了？此時的能量既不在北京，也不在武漢，那就只能在 電磁場 裏。

於是乎， 電磁場 就理所當然具有了 能量 。一個東西具有能量，那它肯定就有 物理上的意義 ，也就是說它是真實存在的物質。如果電磁場是物質，而它又不由實物微粒構成，那就真的跟牛頓的觀念沖突了。

但人們還 不死心 ，雖然電磁場是真實存在的物質，但我們還是可以把電磁場和電磁波看作某種 實物粒子 衍生出來的現象，這樣它們的基礎就還是牛頓的 實物粒子 。

比如 水波 ，雖然它是真實存在的，但水波其實是許多水分子有規律的運動衍生出來的現象，它的基礎還是水分子這種「微粒」。那麽，如果我們認為 電磁波 跟 水波 一樣，也是由於某種微粒的振動引起的，這不就符合牛頓的觀念了麽？

按理說，這種想法是非常自然的，畢竟水波、電磁波都是波。但問題是，當我們說水波是由水分子的振動引起時， 我們的確看見了水 ，所以說「水是水波的介質」沒什麽問題。

但如果你說 電磁波 也是由某種介質的振動引起的，那這種 介質 是什麽？光就一種電磁波，光可以在太空、 真空 中傳播，而這裏似乎什麽都沒有，不存在什麽介質。你總不能說電磁波是由某種介質的振動引起的，但又說不出這種介質是什麽吧？

是， 電磁波 的確有可能存在介質，只是我們還沒發現，沒發現並不代表它不存在。但是，你也要明白這麽做的巨大風險：這是在 假設一種看不見、摸不著，目前任何實驗都觀測不到，卻又在太空、真空中廣泛存在的介質 。

雖然一聽就不怎麽靠譜，但想到只有這樣才能不違背 牛頓的觀念 ，人們（包括麥克斯韋、赫茲）就紛紛接受了，並將這種介質命名為 以太 。也就是說，如果我們把 電磁波 看作 以太的振動 ，就像把水波看作水的振動那樣，它就可以與牛頓的觀念和平共處了。

然而，我們都知道 愛因斯坦 在狹義相對論裏把 以太 仍了，也就是把作為電磁波介質的以太仍了。他認為並不能把電磁波看作以太的振動，電磁波不需要介質，它跟水波有本質的區別。

那有人就要問了： 如果電磁波沒有介質，它是怎麽傳播出去的呢 ？

我反倒想問一句： 你憑什麽覺得只要是波，就一定要有介質呢 ？你覺得水波、聲波都是透過介質傳出去的，所以電磁波也要有介質？

沒道理啊，沒理由說張三李四是這樣，就要求王五也這樣。更重要的是，你認為波都有介質，其實就是認為所有的波都跟水波一樣，都是透過 相鄰介質點的力學作用 傳出去的。但我們已經說了 電磁波 跟水波不一樣，那就不能套這個邏輯了，更多細節可以看看我的【相對論誕生：愛因斯坦是如何創立狹義相對論的？| 主線】。

因此，到了 狹義相對論 ，我們是徹底無法再把電磁波當作某種介質（以太）的振動了，無法再把它還原為某種微粒的衍生現象了，這就跟 牛頓的物理圖景 徹底沖突了。

於是，我們現在就有 兩種東西 ：一種是 實物微粒 ，比如分子、原子、質子、中子等，它們看上去可以由更基本的微粒組成；另一種就是無法看成實物微粒的 電磁場 。

如何把它們統一起來呢？

很顯然，牛頓力學是辦不到的，我們需要狹義相對論和量子力學才能統一它們。這種包含了 狹義相對論 、 量子力學 以及 場論 思想的全新理論，就叫 量子場論 。這是一種全新的物理圖景，大家熟悉的粒子物理 標準模型 就是在這上面建立起來的。

怎麽統一實物粒子和場呢？無非就是兩種思路：要麽認為 粒子更基本 ，場是粒子的某種衍生物（牛頓物理幹不了這事，現代物理學裏倒是有人這麽考慮，比如拜因貝魯克）；要麽就認為 場更基本 ，粒子是場的某種衍生物。

量子場論 的主流思想是後一種，也就是認為 場更加基本，粒子只是場的激發態 。比如，電磁場是更基本的，電磁場的激發態就是光子；質子場是更基本的，質子場的激發態就是質子，以此類推。

量子場論認為萬物皆場，場是更加基本的東西。粒子只是這種量子化場的激發態，場與場之間的相互作用決定了要發生的一切。具體細節這裏就不多說了，後面科普 量子力學 時再細說。

總之，到這裏大家就應該清楚了： 牛頓的物理圖景已經崩塌了，物質並不是由堅不可摧的實物粒子組成的。在更現代的量子場論裏，場反而是更加基本的東西，粒子只是場的激發態 。

如果你記住了這一點， 質能方程式E=mc² 就非常容易理解了。因為 質能方程式 最難以理解的地方，就是 你非要用牛頓的觀念，來理解這個已經完全超出了牛頓物理學的東西 。

量子場論 是狹義相對論和量子力學聯姻的產物，因此必然能跟 質能方程式 相容。我這裏並不要求你理解量子場論，只要你能意識到 不能再用牛頓的觀念來思考質能方程式 ，後面的一切就都好說了

打了這樣的預防針，我們再來看看經常跟 質能方程式 同時出現的 質素虧損 。

14質素虧損

進入20世紀，人們發現了一件「奇怪」的事情：組成原子核的核子質素之和，竟然比原子核本身的質素要大。

什麽意思？我們知道 原子核 是由 質子 和 中子 組成的，比如 氘核 就是由一個質子和一個中子組成。按照原來的觀念，我們肯定認為氘核的質素 等於 一個質子的質素加上一個中子的質素。但實驗結果卻是： 一個質子和一個中子的質素之和比氘核的質素要大 。

為什麽？

我們對這個結果表示驚奇，是因為它跟 牛頓的觀念 不一樣。我們認為一個物體的質素應該等於所有組成物體的微粒質素之和，認為一個氘核的質素應該 等於 一個質子加上一個中子的質素。但結果卻是一個質子（1.6726×10^-27kg）和一個中子（1.6749×10^-27kg）的質素之和（3.3475×10^-27kg）比一個氘核（3.3436×10^-27kg）的質素要 大 。

而且，我們還知道：質子和中子結合成氘核釋放的 能量E ，跟減少的 質素m 之間剛好滿足 E=mc² 。

於是，很多地方就用 質素虧損 來解釋這個事，說質子和中子組合成氘核時發生了質素虧損，虧損的質素就按 質能方程式 釋放能量。

從 牛頓的觀念 來看，這樣考慮是非常自然的。因為質素減小了，肯定就意味著損失了一部份組成物質的「真材實料」，而它剛好又按照 質能方程式 釋放了一定的能量，這可不就是 損失的質素轉化成了能量 麽？

但問題是，質能方程式是 狹義相對論 的產物，我們不能再用 牛頓 的觀念去思考，因而不能說是「 質素轉化成了能量 」。

那問題到底出在哪？我們應該如何看待質子和中子結合成氘核這個現象？如果不是核原料損失了一部份質素並轉化成了能量，那又是什麽呢？

問題的關鍵就在於： 單獨的質子是質子，跟中子一起組成氘核的質子還是質子，它們並沒有什麽不同。既然質子的成分都是一樣的（兩個上誇克和一個下誇克組成），並沒有在跟中子組合成氘核的過程中損失什麽，你說它質素虧損到底是虧損了什麽 ？

是原來的質子由 三個 誇克組成，組成氘核之後的質子就損失了一個誇克，只由 兩個 誇克組成了？或者是，你覺得原來的質子是由 100 個什麽微粒組成的，組成氘核的質子就損失了 1 個微粒，只有 99 個微粒了？

顯然，不可能是這樣。質子有質子的內部結構，如果它的內部結構發生了變化，那就不是質子了。就像一個質子和一個中子組成了氘核，但如果增加了一個中子，那就不叫 氘核 ，而是 氚核 。

既然單獨的質子叫質子，氘核裏的質子也叫質子，那它們就應該是一樣的，質子並沒有缺胳膊少腿，中子也一樣。既然質子和中子都沒失真失什麽成分，那它們質素虧損到底是虧損了什麽呢？它又能虧損什麽呢？

出問題了吧？仔細一推敲，你就會發現這個邏輯是 行不通 的。

但是，在 核反應 裏確實發生了 質素虧損 啊。質子、中子和氘核的質素都能查到，確實是前兩者加起來比後者大，質素確實損失了一部份啊，這到底是怎麽回事呢？

大家認為化學反應前後 質素守恒 ，認為兩塊磚頭一起稱的質素應該 等於 單獨稱的質素之和，為什麽質子和中子組成氘核之後質素就 減少 了呢？難道核反應比較特殊，有它獨特的規律？

15核反應特殊嗎？

核反應它一點也 不特殊 ！

質子和中子組合成氘核，它是 核子 （組成原子核的粒子，包括質子、中子以及它們的反粒子）的重新組合，化學反應是 原子 的重新組合。一個是 核子 的重組，一個是 原子 的重組，有什麽本質的區別？

核子 間的相互作用主要是 強力 ， 原子 間的相互作用主要是 電磁力 ，除了強力比電磁力要強一些以外，核反應和化學反應沒什麽太大的不同。

甚至，兩塊磁鐵在磁力作用下吸在了一起，這個過程跟核反應、化學反應也沒什麽本質的區別，無非就是把核子、原子換成了磁鐵，是不是這個道理？

如果核反應 沒什麽特殊 ，那 質子 和 中子 組成 氘核 釋放出能量， 碳原子 和 氧原子 組成 二氧化碳分子 （木炭燃燒）釋放出能量，兩塊 磁鐵 吸在一起釋放出能量（沒錯，的確釋放了能量，不然磁鐵碰撞時的聲音是哪來的？）的過程就應該是類似的。

如果 質子 和 中子 組成氘核的核反應會發生 質素虧損 ，那 木炭 燃燒會不會發生質素虧損？兩個磁鐵吸在一起會不會發生質素虧損？

有些人可能有點懵，因為他印象裏的「質素虧損」是一個非常高級的名詞，是一個違背了 質素守恒定律 的東西。這種反直覺的新玩意，只有全新的 相對論 與 核反應 才能與之相配，一般的化學反應怎配享有如此待遇？把兩個磁鐵放到這裏來就更過分了。

而且，中學化學也講過，化學反應前後物質的總質素是不變的。兩個磁鐵吸在一起，根據直覺，前後的質素就更加不可能變了。所以，根據 直覺 和 常識 ，他絕不相信化學反應、磁鐵吸在一起也會發生質素虧損。

但是，我上面的推理也很有道理啊，核反應也好，化學反應、磁鐵吸在一起也好，都是 兩個小東西組成了一個大東西 ，並且都釋放了 能量 。區別無非就是核反應釋放的 能量大 ，化學反應釋放的 能量中等 ，磁鐵吸在一起釋放的 能量少 ，並沒有什麽本質的不同。

還有， 質能方程式E=mc² 是愛因斯坦從狹義相對論的基本原理推出來的，所以， 狹義相對論成立的地方質能方程式也應該成立 。那麽，狹義相對論就只在核反應裏成立？化學反應和磁鐵相吸就不遵守狹義相對論了麽？顯然不是啊。

因此，從 直覺 和 常識 出發，我們覺得 只有 核反應才會發生質素虧損，虧損的質素和釋放的能量滿足質能方程式。從 邏輯 和 推理 出發，又似乎是核反應、化學反應、磁鐵吸在一起的過程 都 會出現質素虧損，虧損的質素跟釋放的能量之間都滿足質能方程式。

直覺和邏輯發生了沖突，我聽誰的？

當然是邏輯， 科學從來就不是為了符合你的直覺而建立的 。你要說直覺，亞里士多德的理論最符合直覺了，牛頓的都很反直覺，更別說相對論了。

所以，我們應該相信 核反應、化學反應、磁鐵吸在一起的過程中都發生了質素虧損 。

如果 化學反應 也有質素虧損，那虧損的 質素m 跟化學反應（比如木炭燃燒）釋放的 能量E 之間也會滿足 E=mc² 。只不過，化學反應釋放的 能量E 比較少，而 光速c 又很大，所以根據 E/c² 算出來的虧損 質素m 就非常小，小到平常根本察覺不出來，於是化學家們才總結出了 質素守恒定律 。

至於 磁鐵 ，它們吸在一起時釋放的能量就更少了，虧損的質素也就更小。所以，我們就更加不會察覺分開的磁鐵與吸在一起的磁鐵在質素上會有什麽不同了。

這樣，我們就能以一種 統一的邏輯解釋所有的事情 ，既不與理論相沖突（從狹義相對論推出的E=mc²是普適的，核反應、化學反應、磁鐵都應該遵守），也不跟實驗相沖突（核反應容易觀測到，化學反應、磁鐵不太容易觀測到）。

那問題的關鍵就來了： 如果這種邏輯是對的，如果核反應、化學反應甚至磁鐵吸在一起釋放能量時都發生了質素虧損，而我們又不能像牛頓那樣認為是組成物質的「材料」少了一塊，那它到底虧損了什麽？為什麽它的質素會減少？

這就涉及到一個非常關鍵問題： 在狹義相對論裏，我們應該如何看待質素？

16質素是能量的量度

木炭燃燒時，碳原子和氧原子結合成二氧化碳分子，這個過程釋放了能量，相應的質素也虧損了一點。這個結論已經不奇怪了，我們奇怪的是： 它的質素為什麽會減小 ？

如果我們還用牛頓的觀念思考這個問題，你就會發現怎麽也想不通。你覺得一個物體的 質素 是組成這個物體的所有粒子質素之和，然而碳原子、氧原子組成二氧化碳分子時，原子的種類和數量都沒有變，但 總質素 卻減小了。整個過程除了釋放了一定的 能量 之外，並沒有發生其它的事情。

似乎是 能量減少了一點，質素就會減少一點，就好像質素不是用來衡量組成物質的微粒，而是用來衡量能量的多少似的。

沒錯，這正是問題的關鍵： 在狹義相對論裏，質素確實變成了一個衡量體系能量多少的量。你靜止時有多少能量，對應的質素就是多少，它們的關系由質能方程式E=mc²給出。質素不是別的什麽東西，它就是能量的量度，這才是一切問題的關鍵 。

以前，我們老覺得質素是物質的代名詞，覺得一卡車磚頭的質素等於每一塊磚頭的質素之和，所以每一個分子的質素就應該等於所有組成它原子的質素之和。我們是如此地相信還原論，相信所有的物質都可以還原為一個個基本粒子，相信物質的質素等於所有組成物質體子的質素之和。

而這，正是我們理解質能方程式的 最大障礙 。

現在我們要改變觀念，物質的 質素 不再是組成它基本粒子的質素之和，而是用來 度量能量 的。 物質的能量固然包含了組成物質的基本粒子的能量，但它還包含了基本粒子之間因為相互作用而具有的能量，比如各種勢能 。

比如，什麽叫重力勢能？我搬起一塊石頭，石頭就增加了一定的重力勢能。因為石頭和地球之間存在 重力 ，當石頭離開地面後，石頭和地球之間就存在這樣一種能量。石頭落地後，重力勢能減少了，度量能量的質素自然也跟著減小了，減少的 能量E 和 質素m 之間滿足 E=mc² 。

質子和中子組成氘核的情況也一樣，無非就是把質子和中子換成了地球和石頭，把質子和中子之間的 強力 換成了地球和石頭之間的 重力 ，一個釋放了 重力勢能 ，一個釋放了 核能 。

因此，只有我們認為「 質素是能量的量度 」，而不再是 牛頓觀念 裏 物質 的代名詞，不再是衡量物質所包含基本粒子的質素之和時，我們才能邏輯一致地看待上述所有問題，才能非常自然地解釋 質素虧損 。

為什麽質子和中子組成氘核之後，它們的質素會減小？因為獨立的質子和中子具有一定的 能量 ，而 質素是能量的量度 ，所以質子和中子組成的系統就具有一定的 質素 。質子和中子組成氘核後釋放了一定的 能量E ，系統的總能量減少了，度量能量的 質素m 自然也減小了，它們之間滿足 E=mc² 。

木炭燃燒變成了二氧化碳，碳原子和氧原子組合成二氧化碳分子時釋放了 能量E ，於是度量能量的 質素m 自然也減小了，它們之間依然滿足 質能方程式E=mc² 。

我用力拉開兩個磁鐵，其實是往磁鐵組成的系統裏註入了能量，磁鐵的 能量 增加了，度量能量的 質素 自然也跟著增加了。所以，分開的磁鐵會比吸在一起的磁鐵更重，你用多大能量把磁鐵拉開，它們的質素就增加了這個能量除以光速c的平方。

我們用力壓縮一個彈簧，彈簧的能量增加了，度量彈簧能量的質素自然也增加了。所以，壓縮的彈簧比松開的彈簧 更重 。

一個手電筒發出了一束光，因為光帶走了一部份能量，所以手電筒的能量減少了，度量手電筒能量的質素自然也減小了。於是，發光手電筒的質素會一直慢慢 減小 。

但是，如果我們把手電筒放在一個鐵箱子裏，雖然發光手電筒的質素在不斷減小，但手電筒發出的光並沒有逃出箱子，所以手電筒和箱子的總能量並沒有減少。於是，手電筒和箱子的總質素也 不會 發生變化。

為什麽要舉這麽多例子？當然是幫你快速洗腦。

我們在 牛頓 的世界裏浸泡了太久，已經形成了極大的思維慣性。當我們在談論物理，談論自然界的各種現象時，潛意識裏就會從牛頓的角度來思考問題，所以我們會覺得 相對論 和 量子力學 很奇怪。所謂奇怪，無非就是跟固有的觀念不一樣，在這裏就是跟牛頓的觀念不一樣。

17新的圖景

我們要不斷提醒自己： 現在的物理圖景已經不再是牛頓那樣了，宇宙並不是一堆微粒的集合，一個物體的質素也不是組成物體實物微粒的質素之和 。

如果你覺得「讓人不這樣思考」比較難，那可以接觸一下 量子場論 ，試著從量子場的角度來看待這個世界。畢竟，讓人忘掉熟悉的舊觀念很難，但是，一旦接受了新的觀念，舊觀念自然就忘了。

量子場論 首先是一種場論，它的核心思想是： 宇宙並不是由什麽「實物粒子」構成的，而僅僅是由場構成，一切都是場 。所謂粒子，不過是這些量子化場的激發態。

然後，量子場論是 量子力學 和 狹義相對論 聯姻的產物。為什麽我們要讓量子力學和狹義相對論聯姻呢？因為處理 微觀粒子 要用量子力學，處理 高速 （近光速）運動的物體要用狹義相對論。那麽，如果你想處理 高速的微觀粒子 ，就必須同時使用量子力學和狹義相對論，也就是它們聯姻後的 量子場論 。

也因如此，當我們用 量子場論 看問題時，我們其實也是在用 狹義相對論 看問題。而 質能方程式 又是狹義相對論的結論，所以量子場論的圖景跟質能方程式是 相容的 。

畢竟，如果一切都是場，沒有什麽「實物粒子」，那自然就不存在什麽「 實物粒子被摧毀了變成能量 」的說法。如果一切都是場，各種物理現象就只是場與場之間的相互作用，不存在誰被摧毀了，自然也不存在什麽代表物質的「質素」轉化成了能量。

這樣，「 質素轉化成能量 」就完全站不住腳了。

而前面我們也說了，場是有 能量 的，場和場之間的相互作用自然會涉及能量的變化。 能量 在不斷變化，度量能量的 質素 自然也會不斷變化，它們的橋梁就是 質能方程式 。

這樣，我們就可以非常自然地接受「 質素是能量的量度 」這個觀念了，而這，才是開啟 質能方程式E=mc² 的正確方式。

18不動的質素

不過，需要註意的是，我上面說的" 質素是能量的量度 "，指的都是物體 靜止時 的能量，並不涉及物體的 動能 。

我們知道動能是跟 參考系 有關的，在一個參考系裏是靜止的物體（動能為0），在另一個參考系裏可能就是運動的（動能不為0），動能並不一樣。

因此，如果把 動能 考慮進去， 速度 的增加就會導致動能的增加，能量增加了對應的 質素 也會增加。這樣， 物體的質素就會隨著速度的增加而增加 ，也就是所謂的 動質素 。

但是，我非常不希望引入 動質素 。物理學要把握變化世界裏不變的東西， 質素 原本是跟物體的運動狀態無關的，你現在讓它隨著速度的變化而變化，何必呢？動質素又不是非用不可，我的文章從頭到尾都沒有動質素，不一樣可以講 質能方程式 麽？

我知道，有些地方是從 動質素 開始講質能方程式的。他們先定義動質素，再把狹義相對論的 新動量 定義為 動質素 和 速度 的乘積，然後去算新動能。

這樣讀者就會很困惑，你憑什麽把新動量定義為動質素和速度的乘積？難道狹義相對論就是用 動質素 替換掉原來的 質素 ，剩下的照搬？然後各種腦洞大開，胡思亂想。

在這篇文章裏，我只是堅持狹義相對論的基本原理，要求 動量守恒定律在勞侖茲變換下保持數學形式不變 ，然後自然就得到了 新動量 ：

這樣邏輯上就非常自然。在這個新動量裏， 質素m 依然是不隨物體的運動狀態而改變的 質素 ，動量是一個速度的函數，而不是 動質素 和速度的乘積。

另外，我們再看一看狹義相對論的 新動能 ：

愛因斯坦認為 mc² 是物體靜止時的能量， E 是物體的動能，所以 γmc² 就是物體的 總能量 （動能+靜能）： γmc²=E+mc² 。

現在我們說「 質素是能量的量度 」，如果這個能量指的是物體靜止時的能量mc²，那質素就是 （靜）質素 ；如果我們把動能E也加進來，認為能量是總能量γmc²， 那得到的就是 動質素 。

也就是說， 動質素 和 總能量 在某種程度上是在描述相同的東西。然而，總能量是一直都存在的，並且是個非常重要的 守恒量 。如果已經存在一個守恒的總能量，為什麽還要引入會導致混亂的動質素呢？

因此，我在文章裏提到的 質素 通通都是 （靜）質素 ，完全不用 動質素 這種東西，也省得大家胡思亂想，最後把自己帶溝裏去了。

當然，雖然學界的主流是 舍棄動質素 ，但也有少數學者認為動質素依然有存在的必要，這個我就不多說了，感興趣的自己去查。

19結語

寫到這裏，文章差不多就可以收尾了。

通觀全文，大家會發現 質能方程式 的推導還是很簡單的，只要遵守 狹義相對論 的基本原理， E=mc² 就會自動地從 動能運算式 裏冒出來。

真正困難的，還是理解 質能方程式 背後世界觀和物質觀的轉變，理解從牛頓到狹義相對論的轉變，理解從「 質素轉化成能量 」到「 質素是能量的量度 」的轉變。

雖然 相對論 和 量子力學 革命已經過去了百年，但牛頓的觀念還是深深地烙在許多人的心裏。畢竟，我們在中學都要學習牛頓力學，只有少數人會系統地學習 相對論 和 量子力學 ，而這方面的科普又比較少。

所以，習慣於用 牛頓 的觀念去理解 質能方程式 並不奇怪。

但話又說回來，畢竟如今已經是21世紀了，相對論和量子力學已經極大地改變了牛頓的世界觀和物質觀。如果你對 後牛頓時代 的物理學不感興趣也就罷了，如果感興趣（比如質能方程式），就一定要註意牛頓觀念的局限性。

我們不能總是從牛頓的角度來考慮這些後牛頓時代的物理學，否則，我們不僅無法掌握這些內容，還會誤入歧途 。

如果你能很好地理解 質能方程式 ，就能很好地理解 狹義相對論 ，也能很好地理解從牛頓到現代物理的轉變，這是一塊非常好的試金石。

所以，現在你明白 質能方程式E=mc² 了麽？

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