對@PorkingBun 的補充
由於 \frac{1}{n(n+1)} < \frac{1}{n^2} <\frac{1}{n(n-1)} \ , \forall n \geq 2
\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} x^{2n} 在 \frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)} x^{2n} 和 \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} x^{2n} 之間，
並且在 x 足夠小的情況下，高階的量大小不影響低階的量，
所以 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} x^{2n} 在 (\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)} x^{2n} + x^2) 和 \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} x^{2n} + x^2 -\frac{1}{4}x^4 之間，
而
\begin{aligned} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)} x^{2n} &= \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n-1} (\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}) x^{2n} \\ & = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n-1} x^{2n} - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2n} \\ &= (-x^2)(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2n}) - (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2n} - x^2) \\ &= -x^2\ln(1+x^2) - \ln(1+x^2) + x^2 \end{aligned}
由洛必達法則可知，
\lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n-1)} x^{2n} = \lim_{x \to 0 } (-1)\ln(1+x^2) - \frac{1}{x^2}\ln(1+x^2) + 1 = 0
同理，
\begin{aligned} \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2} \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} x^{2n} &= \lim_{x \to 0 } \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} x^{2n-2} \\ &= \lim_{x \to 0 } \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n-1)} x^{2n} \\ &= \lim_{x \to 0 } x^2\ln(1+x^2) + \ln(1+x^2) - x^2 = 0 \end{aligned}
所以由夾逼定理可得
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \frac{\ln (1+xt)}{t} dt = \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} x^{2n} = 1
不過這樣做實在太復雜了，改了好幾次，差點做不出來。
樓主，大家看出來了，你的積分上限沒換。
