關於廣義相對論中的能量，是一個很subtle的問題，我補充一下孤立體系下的能量問題.
漸進平直時空下的能量：
所謂孤立體系，就是一個孤立的重力源，雖然在其周圍的時空可能很彎曲，但在無窮遠處一定是漸近平直時空。所以在無窮遠處有如下條件g_{\mu\nu}=\eta _{\mu\nu}+h_{\mu\nu} h_{\mu\nu} \ll 1 .
這是廣義相對論中的線性近似理論，即度規接近於閔氏度規的情況下，通常非線性的場方程式可以近似成線性的方程式。並且可以具有類似波動方程式的形式。
線性近似下的場方程式可以寫為如下形式：
H^{\mu\alpha\nu\beta},_{\alpha \beta}=16\pi T^{\mu\nu}
其中H^{\mu\alpha\nu\beta}=-(\bar{h} ^{\mu\nu}\eta ^{\alpha\beta}+\bar{h}^{\alpha\beta}\eta ^{\mu\nu}-\bar{h}^{\alpha\nu}\eta ^{\beta\mu}-\bar{h}^{\mu\beta}\eta ^{\alpha\nu})
\bar{h} ^{\mu\nu} 是線性近似理論常用的一種度規的形式，表示為\bar{h} ^{\mu\nu}=h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}h\eta ^{\mu\nu} .
如果體系是漸進平直時空，那麽無論內部表現成什麽情況，無窮遠處始終可以用線性近似的形式來進行求解。
借由此可以定義漸進平直時空的能量
P^{0}=\int_{\Sigma }T^{00}dx^{3}
並且可以根據Gauss定理和線性近似下的場方程式表示為
P^{0}=\frac{1}{16\pi } \int_{\Sigma }H^{0i0j},_{i}d\Sigma _{j} .
把上面關於H^{\mu\alpha\nu\beta} 的定義代入，化簡可以定義漸進平直時空的ADM能量。可見ADM能量的定義只需要時空滿足漸進平直性，而不需要存在一個timelike Killing 向量場。
重力場能：
在無窮遠處，我們總可以定義如下形式的能動張量
H^{\mu\alpha\nu\beta},_{\alpha \beta}-2G^{\mu\nu}=16\pi t^{\mu\nu}
通常形式的愛因斯坦場方程式是G^{\mu\nu}=8\pi T^{\mu\nu} 代入得到
H^{\mu\alpha\nu\beta},_{\alpha \beta}=16\pi (T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})
在右側除了愛因斯坦場方程式所包括的能動量張量之外，還包括一項，這一項被稱為重力場能。也就是說在考慮無窮遠處線性近似的時候，我們將能動量張量這一項不僅包括了通常的，也包括了一項重力場能。
其實到此為止只是形式上的變化而已，因為無論是H^{\mu\alpha\nu\beta} 還是t^{\mu\nu} 都是座標系依賴的（取度規在不同座標系下的分量，在無窮遠處度規h的分量就不同，算出的這兩個量也都不同，這樣的座標依賴的量稱之為贗張量）。不過有幾點值得特別註意。
1 左側的H^{\mu\alpha\nu\beta} 具有散度自動為零的特點，透過H^{\mu\alpha\nu\beta} 的定義式，我們不難看出它具有和黎曼曲率張量一樣的對稱反稱性質，（前兩指標反稱，後兩指標反稱，迴圈恒等式等），所以再對指標進行求導的時候對稱反稱縮並等於0），散度自動為0這一特點導致了在無窮遠處能量守恒。
2 這裏一個很大的變化就是在無窮遠處，能量守恒的式子由協變導數變成了普通導數，所以(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu}),_{\nu}=0 更容易理解為通常的連續性方程式，也就是說在無窮遠處包括了重力場能量的貢獻之後，能量會守恒。
3 上述能量守恒的式子和\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0 並無不同，因為如果將其展開
\partial_{\mu}T^{\mu\nu}+\Gamma ^{\mu}_{\mu\rho }T^{\rho\nu}+\Gamma ^{\nu}_{\mu\rho }T^{\rho\mu}=0 , 將克式符這一項寫成全微分的形式，就可以得到上面重力場能的運算式。這種尋找重力場能的表述的過程叫能量表述。比較有名的是朗道栗弗席茲表述，愛因斯坦表述等。
4 這種表述雖然是贗張量，也經受不少批判，不過恰當使用也是有用武之地的！
重力場能的不可定域性：
重力場能的不可定域性是很奇怪的性質，就此性質很多人認為可以舍棄重力場能的概念，但也有一部份人因為其具有的某些套用而繼續尋找準局域能量的工作。這些我了解不多，暫且不表。
透過上面的描述，重力場能和克氏符有著密切的關系， 根據等效原理，我們總可以取局域洛侖茲座標系（黎曼法座標）將克式符取成0。所以每一點，在承認等效原理的前提下，重力場能並不能表示出來。這也就是說只能談整個時空下的總的重力場能而不能談它在某一點的密度。
這種ugly的東西，確實讓人感覺比較蛋疼，不像是最後的理論，還需要在去探索。
註意：這一點非常重要，上述的所有討論都是在漸進平直時空下進行的，如果時空沒有漸進平直性，構造的任何東西都是沒有物理意義的。
綜上：關於能量守恒的問題，可以放棄它，認為能量不守恒，但是如果堅持能量守恒說不定可以看到一些新東西啦。雖然形式上有不盡如任意的地方，不過也不失為一種探索的方式 。
