謝邀，這個問題其實挺有意思的，而且推導也並不trivial，我這裏簡要sketch一下怎麽匯出施瓦西解，具體詳細的推導大家可以任意找一本廣義相對論的書進行學習。
首先要明確我們要做的事情，對於廣義相對論而言，我們需要解的是 愛因斯坦場方程式
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu} \tag{1}
這裏的 R_{\mu\nu},R=R^{\mu}_{\mu} 分別是 裏奇張量(Ricci Tensor) ， 裏奇純量(Ricci Scalar) ， g_{\mu\nu} 是 度規(Metric) ， G 是 萬有重力常量 ， T_{\mu\nu} 是 能量-動量張量 。這個公式看起來比較嚇人，很大一部份原因是出現了希臘字母 \mu,\nu 等，但是它們 僅僅表示的是分量 ，也就是 \mu,\nu = 0,1,2,3 ,0分量就是時間，1,2,3分量就是空間分量，或者我們可以理解為，這些張量 T_{\mu\nu},R_{\mu\nu},g_{\mu\nu} 就是一些 4\times4 的矩陣，這樣就沒那麽嚇人了。
這個公式(1)有一個所謂的 trace-reversed版本 ，如下
R_{\mu\nu} = 8\pi G(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}Tg_{\mu \nu}) \tag{2}
其中 T = T^{\mu}_{\mu} 是我們對能動量張量求 跡(trace) 以後得到的純量，這個方程式(2)就好解多了，因為我們要求的是球對稱重力源周圍真空中的解，那麽此時 T_{\mu \nu} = 0,T=0 ，上述方程式直接簡化成如下形式
R_{\mu \nu} =0 \tag{3}
我們只要從方程式(3)裏解出來 g_{\mu \nu} 就好了。這時候就有人會問了，這裏都沒有出現度規 g_{\mu \nu} ，你怎麽解呢？這裏我們復習一下基礎的廣義相對論，對於一個度規 g_{\mu \nu} ，我們有 克里斯托弗聯絡(Christoffel Connection)
\Gamma^{\rho}_{\mu \nu} = \frac{1}{2}g^{\rho \sigma} (\partial_{\mu} g_{\nu \sigma} + \partial_{\nu} g_{\mu \sigma} - \partial_{\sigma} g_{\mu \nu}) \tag{4} 其中我們對相同的指標（啞指標） \sigma 求和，然後那個有上標的度規 g^{\mu \nu} 是我們正常度規 g_{\mu \nu} 的逆，即 g^{\mu \nu}g_{\mu \nu} = \mathbb{1}_{4\times 4} ，然後我們有 黎曼張量(Riemann Tensor)
R^{\rho}_{\sigma \mu \nu} = \partial_{\mu} \Gamma^{\rho}_{\nu \sigma} - \partial_{\nu} \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma} + \Gamma^{\rho}_{\mu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma}-\Gamma^{\rho}_{\nu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma} \tag{5}
我們把黎曼張量的第一和第三個指標縮並，就得到了 裏奇張量(Ricci Tensor) ，如下
R_{\mu \nu} = R^{\rho}_{\mu \rho \nu} = \partial_{\rho} \Gamma^{\rho}_{\nu \mu} - \partial_{\nu} \Gamma^{\rho}_{\rho \mu} + \Gamma^{\rho}_{\rho \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\nu \mu}-\Gamma^{\rho}_{\nu \lambda} \Gamma^{\lambda}_{\rho \mu} \tag{6}
當然，我知道如果我這樣從頭寫下來，第一次接觸廣義相對論的人肯定已經被勸退了，實際上我第一次接觸到這些復雜的運算式的時候，也無法第一時間消化，但是我們可以從直覺上intuitively地理解這些個公式在做什麽，我們看到公式(4)包含了度規 g_{\mu\nu} 的 一階導 ，然後在公式(5)的前兩項，我們 又對克里斯托弗聯絡求了一次導 ，所以實際上 黎曼張量 是一個度規 g_{\mu\nu} 的 一階導和二階導的一種組合 ，然後公式(6)無非是對公式(5)的指標進行了縮並而已，它自然 還是度規的一階導和二階導的組合 。
這讓我們想到了什麽？沒錯，不論是我們的 牛頓重力場方程式
\nabla^{2}\phi(\vec{x}) = 4\pi G\rho(\vec{x})\tag{7} 還是 電動力學裏的帕松方程式
\nabla^{2}\varphi(\vec{x}) = f(\vec{x})\tag{8}
都是呈一個 對場的勢取二階導（公式左邊） 等於 該場源的分布（公式右邊） 的形式，在愛因斯坦場方程式(1)裏，公式左邊 對重力場的勢，也就是度規 g_{\mu \nu} 求了二階導 （以及一些一階導）， 右邊的能動量張量就是重力場的源分布 ，因此這個方程式和我們已經學會的這些場方程式是非常相似的。
但是也有不同，愛因斯坦場方程式是一個高度 非線性(non-linear) 的方程式，所以我們幾乎只能在有很高的對稱性的情況下，才能找到它的解，一般來說，給定一個任意的能動量張量 T_{\mu \nu} ，要想透過愛因斯坦場方程式解出度規，是幾乎不可能的。
好的，那回到我們 施瓦西度規(Schwarschild Metric) 的求解，首先因為這是真空，然後我們又要求整個時空是球對稱的，在球座標 \{t,r,\theta,\phi \} 下，我們就有如下的 試解(Ansatz)
ds^{2} = -e^{2A(r)} dt^2 + e^{2B(r)}dr^{2} + r^2(d\theta^{2}+\sin^{2} \theta d\phi^2) \tag{9}
這裏我簡化了一些步驟，具體的步驟可以參考任意一本廣義相對論的書。一般來說，我們解偏微分方程式的唯一方法，就是猜一個Ansatz然後代進去看解出來的結果對不對，在廣義相對論裏我們也是這麽做的，但是因為這個非線性方程式的試解太難猜了，所以我們只有有限的解。為了方便大家理解，我這裏把這個度規(9)寫成矩陣的形式
g_{\mu \nu} =\begin{pmatrix} -e^{A(r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{B(r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0& r^2 &0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2{\theta} \end{pmatrix}_{\mu \nu} \tag{10}
好了，現在我們的任務就是把這個Ansatz (10)代入愛因斯坦場方程式(3)去解出未定的函數 A(r), B(r) ，在廣相課上，我曾經寫過一個 mathematica的程式 ，可以把度規和座標輸入進去，直接得出裏奇張量，當然你也可以按照公式(4)-(6)一步一步往下求偏導，把裏奇張量算出來，一般來說 手算的話需要大概一天的時間 。我用我的Mathematica的程式，得到如下的裏奇張量及它們應該滿足的愛因斯坦場方程式 R_{\mu \nu} = 0
R_{tt} = e^{2(A-B)} (A^{\prime \prime} + A^{\prime 2} - A^{\prime} B^{\prime} + \frac{2}{r}A^{\prime}) = 0 \tag{11}
R_{rr} = -A^{\prime \prime} - A^{\prime 2} + A^{\prime} B^{\prime} + \frac{2}{r}B^{\prime} = 0 \tag{12}
R_{\theta \theta} = e^{-2B} (r(B^{\prime} - A^{\prime}) - 1) +1 = 0 \tag{13}
其中那些 ^{\prime} 是對座標 r 求的偏導。結合公式(11)及(12)，我們得到
e^{-2(A-B)} R_{tt} + R_{rr} = \frac{2}{r}\frac{d}{dr}(A+B) = 0 \tag{14}
這直接給出
B = -A + const \tag{15}
這個積分常數是trivial的，我們可以透過座標變換 t \to e^{-const} t 把它給吸收掉，所以實際上我們得到了一個重要的關系式 B = -A ，把這個關系式弄到公式(13)裏，我們得到了
R_{\theta \theta} = e^{2A} (-2rA^{\prime} - 1) +1 = -\frac{d}{dr}(re^{2A}) +1 = 0 \tag{16}
這個微分方程式解出來我們有
re^{2A} = r + \mu \tag{17}
其中\mu 是一個需要靠邊界條件決定的積分常數，到這裏我們已經把 A,B 都解出來了，結果如下
e^{2A} = e^{-2B} = 1 + \frac{\mu}{r} \tag{18}
而 施瓦西度規(Schwarschild Metric) 就是
ds^2 = -(1+\frac{\mu}{r})dt^2 + \frac{1}{1+\frac{\mu}{r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) \tag{19}
考慮邊界條件，在 離重力源無窮遠 的地方，我們希望這個度規 退化成閔考斯基度規(Minkowski Metric) ，即 時空是平直時空 （或者接近平直時空）。在弱場極限下（此處我不作推導），度規 g_{\mu \nu} 的 00 分量為
g_{00} \approx -1 -2 \Phi_{grav} \tag{20}
其中 \Phi_{grav} = -\frac{GM}{r} 就是經典的牛頓力學裏的 重力勢能 ，那麽我們最終得到施瓦西度規的解就是
ds^2 = -(1-\frac{2GM}{r})dt^2 + \frac{1}{1-\frac{2GM}{r}}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) \tag{21}
這就是大家經常見到的施瓦西度規了。有意思的是，這個度規會給出一個黑洞的 「視界(horizontal event)「 ，也就是在 r \to 2GM 的時候， 時間會膨脹並且發散到無窮大 ， 而長度會收縮到趨近於0 ，這裏我不做具體的解釋，大家有興趣地可以參考我的另一個回答
以上就是施瓦西度規的推導過程了。這裏還有個小故事，愛因斯坦在寫下他的愛因斯坦場方程式以後，自己都不相信這個方程式有解，但是施瓦西非常堅信愛因斯坦是對的，而且他在軍隊服役的過程中學習了相對論，並且給出了這樣一個解，讓愛因斯坦非常嘆服。但是施瓦西卻在給出這個解後英年早逝，沒有等到他的這個解被實驗驗證的那一天，唉，真的是英雄氣短，我覺得這可能是一個對科研如此虔誠的人最大的遺憾了吧。
思考題
在 2+1維的時空 中（施瓦西度規是3+1維的時空的解），我們可以有如下的類似的Ansatz
ds^2 = -e^{2A} dt^2 + e^{2B} dr^2 + r^2 d\phi^2 \tag{22}
而它的 裏奇張量 我直接給出
R_{tt} = e^{2(A-B)} (A^{\prime \prime} + A^{\prime 2} - A^{\prime} B^{\prime} + \frac{1}{r}A^{\prime}) \tag{23} R_{rr} = -A^{\prime \prime} - A^{\prime 2} + A^{\prime} B^{\prime} + \frac{1}{r}B^{\prime} \tag{24} R_{\phi \phi} = e^{-2B} r(B^{\prime} - A^{\prime}) \tag{25}
在宇宙學常量 \Lambda \neq 0 時，真空中（ T_{\mu \nu} = 0 ）的愛因斯坦場方程式變為
R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu \nu} = \Lambda g_{\mu \nu} \tag{26}
請問你能夠按照類似的方法，把 A,B 給解出來嗎？答案應當和我給出的式(18)類似，只保留到一個未定的常數 \mu ，解出來的朋友歡迎在評論區留言，我會及時回復的~
References
Jacob Barandes, Lecture Notes 30,33, Physics 210: General Theory of Relativity, Spring 2021, Harvard University
