計算超球體的體積與表面積比較麻煩，這裏先直接給出公式
V_n(r) = \frac{(\sqrt{\pi}r)^n}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}, S_n(r)=\frac{2(\sqrt{\pi})^nr^{n-1}}{\Gamma(\frac{n}{2})}=\frac{nV_{n}}{r}
其中 V,S 分別是體積與表面積， r 是半徑，\Gamma 為gamma函數，滿足 \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) ， \Gamma(1) = 1, \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} 。
當 r=1 時，可計算不同維度 n 下的體積，如
V_5(1)=\frac{\pi^{2.5}}{\Gamma(\frac{7}{2})}=\frac{\pi^{2.5}}{\frac{5}{2}\Gamma(\frac{5}{2})}=\frac{\pi^{2.5}}{\frac{5}{2}\frac{3}{2}\Gamma(\frac{3}{2})}=\frac{\pi^{2.5}}{\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma(\frac{1}{2})}=\frac{8\pi^{2}}{15}
V_6(1)=\frac{\pi^{3}}{\Gamma(4)}=\frac{\pi^{3}}{3!}
當 n 趨於無窮時， V_n(1) 的分子以冪指數增長，分母以階乘增長，因此體積趨於0；當 r\gt 1 時，也是同樣趨於0。
瞎扯：突然間聯想到了三體中質子的展開過程，高維的質子體積非常小（在三維空間中的投影體積？），展開成2維面後，幾乎包裹了整個三體行星，可以在上面雕刻電路，制造成超級電腦。是不是可以對於到超球體的體積
ps：超球體的計算思路可參考圓與球體的體積 [1] 。對三維球切片可得到一系列不同半徑（ \sqrt{r^2-x^2} ）的二維圓（二維圓面積等於體積），從而高維體積可由低一維的體積積分而成。因此可得遞推式 V_n = \int_{-r}^{r}V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})dx ，其中 V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2}) 又可拆分成 V_{n-1}(\sqrt{r^2-x^2})=V_{n-1}(r)\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}^{(n-1)} （類比於三維球的一個切片面積為 s(\hat{r})=\pi \hat{r}^2=\pi(r^2-x^2)=\pi r^2*(1-\frac{x^2}{r^2}) ， x 視為切片高度）。之後再借助beta函數，gamma函數以及正態分布的積分知識，就可以推匯出超球體體積。
參考
- ^ 漫談超球體的體積公式 https://zhuanlan.zhihu.com/p/148405054
