抱歉之前想錯了...題主提的說法是對的...
對於線性無源網絡，給每個節點註入電流 I_i （滿足 \sum I_i=0 ），記由節點i直接流入節點j間的電流值為 I_{ij} ，給定約束 \sum_j^{j\ne i} I_{ij}=I_i ，即電荷守恒。那麽，真實存在的電流分布會使得如下函數在約束下取極小值
P = \sum_{i<j}I_{ij}^2R_{ij} = \frac{1}{2}\sum_{i\ne j}I_{ij}^2R_{ij}
而這個函數即為所有電阻元件上消耗功率之和。
為了證明這件事，我們需要考慮這樣一個約束極值問題如何求解。最通用的方法自然是拉格朗日乘子法。引入參數 \lambda_i ，我們考慮函數 L = \frac{1}{2}\sum_{i\ne j}I_{ij}^2R_{ij} + \sum_i \lambda_i\left(\sum_j^{j\ne i}I_{ij}-I_i\right) 的極小值問題以消去約束。將L對 I_{ij} 取偏導數，極值條件為偏導數為零，得（註意到 I_{ij}=-I_{ji} 為非獨立變量）
\frac{\partial L}{\partial I_{ij}}=I_{ij}R_{ij}+\lambda_i-\lambda_j=0
將上式沿一條環路求和，前一項為沿環路電勢升降之和，而後一項自相消去為零。我們便得到了沿環路電勢升降之和為零，即環路電壓定律。結合電荷守恒，我們透過取極小值得到得便是真實的電流分布。我們同時可以發現，引入的乘子 \lambda_i 為相應節點上電勢的負值。
其余討論無需改變。
原始回答：
跑個題？
事實上沒有什麽根據說電流一定走最省電的路徑
比較有根據的是下面這條：
對於線性無源網絡，給每個節點註入電流 I_i （滿足 \sum I_i=0 ），記兩節點間的電壓值為 U_{ij} 。那麽，真實存在的電壓分布（以及相應的電流分布）會使得如下具有功率因次的函數取極小值
L = \sum_{i\ne j}\frac{U_{ij}^2}{2R_{ij}} - \sum_i U_iI_i
從形式上來看，前一部份是各個電阻元件耗電量之和的一半，後一部份是從外部計算的功率的負值。這個玩意取極小值怎麽也對應不上更省電。
下面我們來證明這件事。將這個函數對 U_i 取偏導數，極值條件為導數為零
\frac{\partial L}{\partial U_i} = \sum_{j\ne i}\frac{U_i-U_j}{R_{ij}}-I_i=0
這個式子意味著什麽呢？第一項是從節點i流向所有其余節點j的電流之和，第二項是從外部流入節點i的電流。這兩項之差為零即代表電荷守恒，凈流入等於凈流出。也是真實電流分布所需要滿足的條件。
此外，容易看出函數L中的二次型是非負定的，因此極值點為極小值。
當然問題又來了，我們依舊可以問，為什麽電勢分布會使得這個函數取極小值？它在電路接通的一瞬間就知道整個電路的情況嗎？引入暫態過程可以逃過這個追問，但是，一個方程式組對應一個函數取極小值這件事其實是相當廣泛的，知乎上在這個問題下積累了一些討論
