Mathematica有一個最起碼的能力上限,它不能處理數學上本身無法處理的問題.5次以上方程式無一般根式解.
其實初中數學可知就算有根式解你也不能判斷是不是有理數.兩個三次方根之和是有理數的經典問題.
既然你已經證明了方程式唯一實根,當然已經發現了函數是單調的,下面就不證了
不妨設有理根 \frac{p}{q},(p,q)=1,q>0;p,q\in \mathbb{Z}
1+\frac{p}{q \cdot 1!}+\frac{p^2}{q^2 \cdot 2!}+\dots+\frac{p^{2021}}{q^{2021}2021!}=0 \\
兩邊乘以q^{2020} \cdot 2020! ,可得
q^{2020} \cdot 2020!(1+\frac{p}{q \cdot 1!}+\frac{p^2}{q^2 \cdot 2!}+\dots+\frac{p^{2020}}{q^{2020}2020!})+\frac{p^{2021}}{2021q} =0 \\
\frac{p^{2021}}{43 \times 47 \times q} \in \mathbb{Z} ,考慮(p,q)=1
可得,q=1,43 \mid p,47 \mid p ,從而x=p 是2021 的整數倍
但是由
f(x)=(1+x)+\frac{x^2}{3!}(3+x)+\dots+\frac{x^{2020}}{2021!}(2021+x) \\
顯然f(-2021)<0,f(0)>0 ,故x \in (-2021,0) ,沒有2021 的整倍數
從而方程式無有理解
