這類題都可以用泰勒展開來估計，比另一個解答相對更普適也更簡單
首先\frac{\sin{n}}{\sin{n}+\sqrt{n}}=\frac{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}+1} ，且顯然 \lim_{n \rightarrow +\infty}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}}=0 ,再由 \frac{x}{x+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^nx^{n+1}}=x-x^2+o(x^2)(x\to 0) ，知 \frac{\sin{n}}{\sin{n}+\sqrt{n}}=\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}-(\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}})^2(1+o(1))(n\to +\infty)
所以 \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{n}}{\sin{n}+\sqrt{n}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}}-\sum_{n=1}^{+\infty}({\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}})^2(1+o(1)) (這個式子只是形式上的，因為後面兩個級數的收斂性尚不確定）
由狄利克雷判別法顯然 \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}} 收斂，同樣地 \sum_{n=1}^{+\infty}({\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}})^2=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1-\cos{2n}}{2n}} 發散；註意到 (\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}})^2(1+o(1))\sim(\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}})^2 (都是正項級數)，所以第二個級數 \sum_{n=1}^{+\infty}({\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}})^2(1+o(1)) 也發散，故原級數可以寫成一個收斂級數和一個發散級數之和，於是原級數發散
