發現微分幾何裏面概念有些多，需要在每章後面來個胡亂寫的心得小結。目前只會寫個大框架，裏面詳細內容高興就補，不高興就不補了...用的教材是GTM 275。
首先，什麽是affine connection？它是 \mathbb R^n 中的方精靈數 D : \mathfrak X (\mathbb R^n)\times \mathfrak X (\mathbb R^n) \to \mathfrak X (\mathbb R^n) 的推廣。我們觀察 \mathbb R^n 中的方精靈數，發現它有一些很好的性質，於是我們希望把這些性質保留下來，並推廣到任意的流形 M 上。下面給出Affine connection的定義：
Affine Connections
一個流形 M 上的 affine connection 是一個 \mathbb R -linear map ：\nabla: \mathfrak X(M)\times \mathfrak X(M) \to \mathfrak X(M) \tag*{}
我們將 \nabla(X,Y) 記作 \nabla_XY 。它滿足下列兩個性質：（ \mathcal F 是 C^\infty (M) 構成的環）對於任意的 X,Y\in\mathfrak X(M) ，有
- \nabla _XY 在 X 的位置是 \mathcal F -linear的
- \nabla _XY 在 Y 的位置滿足 Leibniz 法則： \forall f\in \mathcal F,\nabla _X(fY) = (Xf)Y+f\nabla _XY
那麽作為方精靈數的推廣， \mathbb R^n 中的方精靈數自然就是 \mathbb R^n 上的 affine connection，也稱為 \mathbb R^n 上的 Euclidean Connection
Torsion and Curvature
回憶對於方精靈數我們有下列命題成立：
- (zero torsion) D_XY-D_YX-[X,Y]=0
- (zero curvature) D_XD_YZ-D_YD_XZ-D_{[X,Y]}Z=0
- (compatibility with the curvature) X\langle Y,Z\rangle = \langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle
那麽對於流形 M 上的affine connection來說，很自然的事就是問，Euclidean Connection的這些性質它還滿足嗎？額，結果顯然是否定的。實際上，對於 X,Y\in\mathfrak X(M) ，令 \begin{aligned} T(X, Y) &=\nabla_{X} Y-\nabla_{Y} X-[X, Y] \in \mathfrak{X}(M) \\ R(X, Y) &=\left[\nabla_{X}, \nabla_{Y}\right]-\nabla_{[X, Y]} \\ &=\nabla_{X} \nabla_{Y}-\nabla_{Y} \nabla_{X}-\nabla_{[X, Y]} \in \operatorname{End}(\mathfrak{X}(M)) \end{aligned} \tag*{}
我們把 T(X,Y) 稱作這個connection的 torsion ，把 R(X,Y) 稱作這個connection的 curvature 。
一個 M 上的affine connection實際上也蘊含了一個線性對映： \mathfrak{X}(M) \rightarrow \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{X}(M)), \quad X \mapsto \nabla_{X} \tag*{}
\mathfrak{X}(M) 和 \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{X}(M)) 都是Lie algebra
之前在列舉 \nabla _XY 的性質的時候 Y 並不是 \mathcal F -linear的，然而torsion和curvature在每個argument上都是 \mathcal F -linear的，即我們有如下結論：
Proposition 6.3 令 X,Y,Z 為流形 M 上的smooth vector fields with affine
connection ∇ ：
- The torsion T(X,Y) 對 X,Y 都是\mathcal F -linear的
- The curvature R(X,Y)Z 對 X,Y,Z 都是 \mathcal F -linear的
證明要用到這個挺重要的公式： \forall f\in \mathcal F 有 [f X, g Y]=f g[X, Y]+f(X g) Y-g(Y f) X \tag{6.1}
主要要用它把 [fY,Z] 這種東西展開...其它就follow the definition就行了
下面是最重要的Riemannian Connection。
Riemannian Connection
首先如果一個connection它的torsion為0，那麽稱它是torsion-free的。在一個黎曼流形上我們說一個connection是compatible with the metric 的，若 \forall X,Y,Z\in \mathfrak X(M) ，有 Z\langle X, Y\rangle=\left\langle\nabla_{Z} X, Y\right\rangle+\left\langle X, \nabla_{Z} Y\right\rangle 。我們隨後會發現加上這兩個條件之後就可以在一個Riemannian manifold上唯一確定一個connection。
Definition 6.4 像上面這種唯一確定的connection稱為Riemannian connection或者Levi-Civita connection
下面給出一個引理，這個引理說如果我們要確定一個在黎曼流形上的 C^\infty vector field X ，我們只要知道對於每個 Z\in\mathfrak X(M) ， \langle X,Z\rangle 的值就行了。
Lemma 6.5. A C^\infty vector field X on a Riemannian manifold (M,\langle ,\rangle) is uniquely determined by the values \langle X,Z\rangle for all Z\in\mathfrak X(M)
證明非常簡單，證明唯一性也就是若 X'\in \mathfrak X(M) 也滿足 \langle X,Z\rangle = \langle X',Z\rangle ，那麽有 X=X' 。令 Y=X-X' ，這也就是要證對於所有 Z\in\mathfrak X(M) 都有 Y=0 。取 Z=Y 我們就可以得到 \langle Y,Y\rangle =0 即 Y=0
下面我們來證明Riemannian connection的唯一性
Theorem 6.6. 在一個Riemannian manifold上存在一個唯一的Riemannian connection.
Proof. 設 \nabla 是 M 上的一個Riemannian connection。透過上面的引理我們知道若需要指定 \nabla_XY 實際上我們只需要知道 \langle \nabla_XY ,Z\rangle, \forall Z \in \mathfrak X(M) 。所以我們試著找出一個 \langle \nabla_XY ,Z\rangle 的公式來。
回憶定義。一個Riemannian connection滿足兩個公式： \nabla_{X} Y-\nabla_{Y} X-[X, Y]=0 \tag{6.3}
X\langle Y, Z\rangle=\left\langle\nabla_{X} Y, Z\right\rangle+\left\langle Y, \nabla_{X} Z\right\rangle \tag{6.4}
迴圈 (6.4) 中的指標得到 Y\langle Z, X\rangle=\left\langle\nabla_{Y} Z, X\right\rangle+\left\langle Z, \nabla_{Y} X\right\rangle \tag{6.5}
Z\langle X, Y\rangle=\left\langle\nabla_{Z} X, Y\right\rangle+\left\langle X, \nabla_{Z} Y\right\rangle \tag{6.6}
透過 (6.3) 我們可以把 (6.5) 式中的 \nabla _YX 寫成 \nabla _XY-[X,Y] ： Y\langle Z, X\rangle=\left\langle\nabla_{Y} Z, X\right\rangle+\left\langle Z, \nabla_{X} Y\right\rangle-\langle Z,[X, Y]\rangle \tag{6.7}
(6.4)-(6.6)+(6.7) ： 類似 \nabla_AB-\nabla_BA 的項由於torsion-fre
