事實上，對於另一位答主給的解答，我是很有些訝異的，沒有看懂第一步，雖然我們的最終結果是一樣的。我決計要寫一寫我的方法，倒也不是我的方法大約的確就會簡單些，至少我自己，跟能理解，同時也為解決這道題提供另一條死路。博學的大佬或許會批評我太垃圾了，這也罷，隨他去吧。
設我們的所求積分為 \color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{x}{\tan^2x}dx ，這道題，我們考慮使用組合積分法。我想找一個與之配對的積分，能把分母上 \tan x 約掉或者是盡量約，還想無論加減這兩個積分，都使積分變得稍微簡單一些，於是我找到了積分 \color{green}{\mathscr{U}}=\int\frac{2\tan x-x}{\tan^2x}dx 。
我們來組合一下試試。 \color{green}{\mathscr{U}}+\color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{2}{\tan x}dx=2\ln|\sin x|+C \color{green}{\mathscr{U}}-\color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{2\tan x-2x}{\tan^2x}dx ，第一個式子很簡單，但是第二個式子比較麻煩，拆開做也不行，不信可以試。
那咋辦？
我令 \color{blue}{\mathscr{J}}=\color{green}{\mathscr{U}}-\color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{2\tan x-2x}{\tan^2x}dx=\int\left( \frac{2}{\tan x}-\frac{2x}{\tan^2x} \right)dx ，現在要計算這個積分的值，感覺還更難了～～～沒關系，在哪裏跌倒，就要從哪裏爬起來。我們再次考慮組合積分法
我找到 \color{purple}{\mathscr{K}}=\int\left( \frac{2}{\tan x}-\frac{2x}{\sin^2x}-2x \right)dx
我們來組合試試， \color{blue}{\mathscr{J}}+\color{purple}{\mathscr{K}}=\int\left( \frac{4}{\tan x}-\frac{2x}{\sin^2x}-\frac{2x}{\tan^2x}-2x \right)dx
=\int\left( \frac{4}{\tan x}-\frac{4x}{\sin^2x} \right)dx=4\ln|\sin x|-4\int\frac{x}{\sin^2x}dx
\color{blue}{\mathscr{J}}-\color{purple}{\mathscr{K}}=\int\left( \frac{2x}{\sin^2x}+2x-\frac{2x}{\tan^2x} \right)dx
=\int\frac{2x+2x\sin^2x-2x\cos^2x}{\sin^2x}dx=2x^2+C
其中又出現了不好解決的 L=\int\frac{x}{\sin^2x}dx ，我們考慮...... ......算了，還是不要組合積分了，認認真真的算一算，這個積分還是比較簡單。
L=\int\frac{x}{\sin^2x}dx=\int x\csc^2xdx\\ =\int x d(-\cot x)=-x\cot x-\int(-\cot x)dx\\ =-x\cot x+\ln|\sin x|+C
到這裏，應該知道，一切都計算完了。
\mathscr{J}+\mathscr{K}=\frac{4x}{\tan x}+C
\mathscr{J}-\mathscr{K}=2x^2+C
可知 \mathscr{J}=x^2+\frac{2x}{\tan x}+C ，\mathscr{K}=\frac{2x}{\tan x}-x^2+C
\mathscr{U}+\mathscr{I}=2\ln|\sin x|+C
\mathscr{U}-\mathscr{I}=\mathscr{J}=x^2+\frac{2x}{\tan x}+C
可知 \mathscr{U}=\ln|\sin x|+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{\tan x}+C ， \mathscr{I}=\ln|\sin x|-\frac{x^2}{2}-\frac{x}{\tan x}+C
而 \huge\color{red}{\mathscr{I}=\int\frac{x}{\tan^2x}dx=\ln|\sin x|-\frac{x^2}{2}-\frac{x}{\tan x}+C}
正好就是我們所要求解的值。
